变量之间的关系、表达方法复习

知识要点

表示变量的三种方法：列表法、解析法（关系式法）、图象法

◆要点1   变量、自变量、因变量
(1) 在一变化的过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量，常量和变量往往是相对的，相对于某个变化过程。
(2) 在一变化的过程中，主动发生变化的量，称为自变量，而因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。例如小明出去旅行，路程S、速度V、时间T三个量中，速度V一定，路程S则随着时间T的变化而变化。则T为自变量，路程为因变量。

◆要点2   列表法与变量之间的关系
(1) 列表法是表示变量之间关系的方法之一，可表示因变量随自变量的变化而变化的情况。
(2) 从表格中获取信息，找出其中谁是自变量，谁是因变量。找自变量和因变量时，主动发生变化的是自变量，因变量随自变量的增大而增大或减小

◆要点3   用关系式表示变量之间的关系
(1) 用来表示自变量与因变量之间关系的数学式子，叫做关系式，是表示变量之间关系的方法之一。
(2) 写变化式子，实际上根据题意，找到等量关系，列方程，但关系式的写法又不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。即实质是用含自变量的代数式表示因变量。
(3) 利用关系式求因变量的值，①已知自变量与因变量的关系式，欲求因变量的值，实质就是求代数式的值；②对于每一个确定的自变量的值，因变量都有一个确定的与之对应的值。

◆要点4   用图象法表示变量的关系
(1) 图象是刻画变量之间关系的又一重要方式，特点是非常直观。
(2) 通常用横轴（水平方向的数轴）上的点表示自变量，用纵轴（竖直方向的数轴）上的点表示因变量。
(3) 从图象中可以获取很多信息，关键是找准图象上的点对应的横轴和纵轴上的位置，才能准确获取信息。如利用图象求两个变量的对应值，由图象得关系式，进行简单计算，从图象上变量的变化规律进行预测，判断所給图象是否满足实际情景，所给变量之间的关系等。
(4) 对比看：速度—时间、路程—时间两图象
★若图象表示的是速度与时间之间的关系，随时间的增加即从左向右，“上升的线段”①表示速度在增加；“水平线段”②表示速度不变，也就是做匀速运动，“下降的线段”③表示速度在减少。
★若图像表示的是距离与时间之间的关系，“上升的线段”①表示物体匀速运动；“水平线段”②表示物体停止运动，“下降的线段”③表示物体反向运动。如图BL—01(1)、(2)：

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易错易混点

(1) 在列表中，不能够通过表格中的数据全面得出两个变量之间的关系规律，易出现片面性错

误；(2) 有的变量是由不变量与变量之和组成的，在解题时易忽略不变部分（在个别问题中，一定条件下变量也可能成为不变量）而导致错误；

典型例题

【例1】              果子成熟从树上落到地面，它落下的高度与经过的时间有如下的关系：
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）如果果子经过2秒落到地上，那么请估计这果子开始落下时离地面的高度是多少米？

相关题型：在弹性限度内，弹簧挂上物体后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表：

(1) 弹簧不挂物体时的长度是多少？
(2) 如果用x表示弹性限度内物体的质量，用y表示弹簧的长度，那么随着x的变化，y的变化趋势如何？请写出y与x之间的关系式。
(3) 如果此弹簧的最大挂重为25千克，您能够预测当挂重为14千克时，弹簧的长度是多少吗？

【例2】              一辆汽车正常行驶时每小时耗油8升，油箱现有52升汽油。(1) 如果汽车行驶时间为t(时)，那么油箱中所存油量Q (升)与t(时)的关系式是什么？(2) 油箱中的油总共可供汽车行驶多少小时？(3) 当t的值分别为1，2，3时，Q相应的值是多少？

【例3】              一个梯形，它的下底长比上底长长2cm，它的高为3cm，设它的上底长为x cm，它的面积为y cm²。
(1) 写出y与x之间的关系式，并指出哪个变量是自变量，哪个变量是因变量？
(2) 当x由5变到7时，y如何变化？
(3) 用表格表示当x从3变到10时(每次增加1)，y的相应值；
(4) 当x每增加1时，y如何变化？并说明你的理由；
(5) 这个梯形的面积能等于9cm²吗？能等于2cm²吗？为什么？

 相关题型：长方形的长是20cm，当宽由小到大地变化时，长方形面积也随之变化。
(1) 在这个变化过程中，自变量是____________，因变量是___________。
(2) 如果长方形的宽为a cm，面积为S cm²，则S与a之间的关系式为_________。
(3) 当a=15cm时，S是__________。
(4) 当面积S是280时，这时的宽a是______________。

【例4】              小丽和她的邻居小明一起离家步行上学。
(1) 小丽一开始就跑，跑累了便走着去，小明开始走着，当他快到学校时跑了起来，他们同时到达学校。图BL—02中，图________表示小丽的行程，图______

表示小明的行程最好。

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(2) 若小丽在上学的路上以固定的速度前进，如图BL—03中虚线所示，小明在上学的路上以小丽速度的2倍行进，小名的速度以实线表示，他们先后到达学校，

则图______可以描述这种情况。

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相关题型：小明所在学校离家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行使了5分钟后，因故停留10分钟，继续骑了5分钟到家，如图BL—04中，哪一个图象能大致描述他回家过程中离家的距离s(千米)与所用的时间t（分）之间的关系（   ）

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【例5】              某中学校长决定带领市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行社承诺：“如果校长买全票一张，则学生可享受半价优惠”；乙旅行社承诺：“包括校长在内所有人按全票的6折优惠”，若全票价甲乙旅行社均为240元。
(1) 设学生为x，甲乙旅行社收费分别为y_甲(元)和y_乙(元)，分别写出两个旅行社收费的关系式；
(2) 哪家旅行社收费更优惠？

 

 

 

 

 

【例6】              某移动通信公司开设了“全球通”和“金卡快捷通”两种业务，前者每月先缴30元月租费，每通话1分钟付费0.4元，后者不缴月租费，但每分钟付费0.6元，若某人的每月通话时间在200分钟左右，则他应选用哪种业务比较合算？并简明叙述理由。（思路1：直接计算200分钟应付的话费进行比较；思路2：先求出付费相同的通话时间，再看200分钟比这个时间多还是少。）

 

 

 

 

练习提高

1.        一棵树苗栽下去时高0.8m，以后10年内每年平均长高0.4m，x年后树高y m。
(1) 这个问题中，常量是_________，变量是_________；
(2) 这个问题中x值是________量，y值是_________量；
(3) 生长5年后树高_______m，生长了10年树高__________m；
(4) 请你写出y随x变化而变化的关系式_______________。

2.        长方形的长为a cm，宽为6 cm，则它的周长C与长a 之间的关系为______。

3.        某种情况下，声音在空气中传播的速度y(m/s)与气温x (℃)之间存在如下关系： ，(1) 当气温x=15℃时，声音的速度y=________ m/s；
(2) 当气温x=22℃时，某人看到烟花燃放5s 后才听到声音响，则此人与燃放的烟花所在地相距________m。

4.        某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量x与售价y的关系如下表：

则y与x的关系式为___________。

5.        如图BL—05，一个矩形推拉窗高1.5米，则活动窗扇的通风面积a(平方米)与拉开长度b(米)之间的关系式为__________。

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6.       

BL—06

BL—07

某电影院有1000个座位，门票每张3元可达客满，若每张票提高x元，将有200x张门票不能售出，提价后每场电影票房收入y元与提高的票价x元之间的关系是_______________。

7.        小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，形成情况如图BL—06所示，若返回时上坡、下坡的速度仍保持不变，那么小亮从学校骑车回家用的时间是________分钟。

8.        根据河道的剩水量Q(m³)与水泵抽水时间t (h)的关系图象如图BL—07，回答下列问题：
(1) 水泵抽水前，河道内有_________的水，水泵最多抽________小时；
(2) 水泵抽8小时后，河道剩水量为_________ m³；
(3) 当河道剩水量为100 m³时，水泵已抽水__________小时；
(4) 水泵平均每小时抽水_________ m³。

9.        有一边长为2 cm的正方形，若边长增加x cm，面积就增加y (cm²)，则y =________。

10.    一杯开水10分钟后冷却下来，在这个变化过程中，自变量是_________，因变量是________。

11.    亮亮拿6元钱去邮局买面值为0.80元的邮票，买邮票所剩钱数y(元)与买邮票的枚数x(枚)的关系式为______________，最多可以买________枚。

12.   

根据图BL—08所示的程序计算，若输入的x的值是 ，则输出的结果是（    ）

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A.     B.     C.    D.

13.    在关系式y=3x+5中，下列说法：

①      x是自变量，y是因变量；②x的数值可以任意

选择；③ y是变量，它的值与x无关；④用关系式表示的不能用图象表示；⑤y与x的关系还可以用列表法和图象法表示。其中说法正确的是（    ）
A. ①②③  B. ①②④    C. ①③⑤    D. ①②⑤

14.   

中国工程院院士袁隆平研究的超级杂交水稻以单季亩产1138kg创世界纪录，农户王文清家有x亩地，今年晚稻改种超级杂交水稻，如果每亩产量达到1130kg，那么王文清家水稻的总产量y与x之间的关系为（    ）
A. y=1130x        B. y=1138x  

C. y=(1138-1130)x  D. y=(1130+1138)x

15.    托运行李p千克(p为整数)的费用为c元，已知托运第一个1千克需付2元，以后每增加1千克(不足1千克按1千克计)需增加费用5角，则计算托运行李费用c的公式是（    ）
A. c=0.5p        B. c=0.5p+1   

 

C. c=0.5p+1.5    D. c=0.5p+2

16.    在地球某地，温度T(℃)与高度d (m)的关系可近似地用来表示，则当高度

d=900 m时，温度T为（   ）
A. 4℃    B.   3℃     C. 2℃    D. 1℃

17.    如图BL—09是某市5月1日至5月7日每天最高、最低气温的折线统计图，在这7天中，日温差最大的一天是（    ）

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A. 5月1日    B. 5月2日     C. 5月3日     D. 5月5日

18.   

从山顶上滚到山脚下的一块石头，图BL—10中能大致描述速度v随时间t变化的图象是（   ）

19.    某礼堂的座位排列呈弧形，横排座位按下列方式设置：

排数	1	2	3	4	…
座位数	20	24	28	32	…

则第n排有座位(    )个
A. 10n+4   B. 20+4n 
C. 20+4(n-1)   D. 20+3(n-1)

20.    丽丽放学回家进门后觉得口渴，可家里没有凉开水，于是她用水壶接了水，放在炉子上烧开，烧开后又倒入水杯中晾凉后才喝到嘴里，如图BL—11中，可以近似地刻画出水的温度随时间的变化而变化的图象是（     ）

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