分段函数问题

⑴分段价格  

例3.（2008年襄樊第23题）我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以 内（包括10吨）的用户，每吨收水费a元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨a元收费，超过10吨的部分，按每吨b元（b＞a）收费．

设一户居民月用水x吨，应收水费y元，y与x之间的函数关系如图13所示．http://s2/mw690/005NREnFgy6OttzaArDc1&690

（1）求a的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元？ 

（2）求b的值，并写出当x＞10时，y与x之间的函数关系式；  

（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？  

解析：（1）当http://s14/mw690/005NREnFgy6OttKSaSh1d&690时，有y=ax．将x=10，y=15代入，得a=1.5 ． 

  用8吨水应收水费8×1.5=12（元）．   

（2）当x＞10时，有y=b（x-10）+15．将x=20，y=35 代入，得  35=10b+15

∴b=2 ．     

故当x＞10时， y=2x-5． 

（3）因1.5×10+1.5×10+2×4＜46 ，  所以甲、乙两家上月用水均超过10吨．

设甲、乙两家上月用水分别为x吨，y吨，

则   http://s6/mw690/005NREnFgy6OtugFuYd45&690

解之，得 http://s16/mw690/005NREnFgy6OtujqJob6f&690

 故居民甲上月用水16吨，居民乙上月用水12吨．

 解分段价格问题的一般策略：

 ⑴分段函数的特征是：不同的自变量区间所对应的函数式不同，其函数图象是一个折线。解决分段函数问题，关键是要与所在的区间相对应。

⑵分段函数中“折点”既是两段函数的分界点，同时又分别在两段函数上。在求解析式要用好“折点”坐标，同时在分析图象时还要注意“折点”表示的实际意义，“折点”的纵坐标通常是不同区间的最值。 

⑶分段函数应用广泛，在收费问题、行程问题及几何动态问题中都有应用。

 ⑵几何图形中的动点  

例4.（2008年长沙第25题）在平面直角坐标系中，一动点P（x，y）从M（1，0）出发，沿由A（-1，1），B（-1，-1），C（1，-1），D（1，1）四点组成的正方形边线（如图①）按一定方向运动。图②是P点运动的路程s（个单位）与运动时间（t秒）之间的函数图象，图③是P点的纵坐标y与P点运动的路程s之间的函数图象的一部分.    

（1）s与t之间的函数关系式是                      ；  

（2）与图③相对应的P点的运动路径是：                      ；P点出发         秒首次到达点B；  

（3）写出当3≤s≤8时，y与s之间的函数关系式，并在图③中补全函数图象. 

解析：(1)由图象可知为正比例函数。http://s11/mw690/005NREnFgy6OtvHjYdYca&690(t≥0)  。

(2)由图象③，M纵坐标为0变为1， 则路径为：M→D→A→N， 10秒  

 (3)当3≤s＜5，即P从A到B时，y=4-s；  当5≤s＜7，即P从B到C时，y=-1；   当7≤s≤8，即P从C到M时，y=s-8．（补全图象略）．

求解几何图形中的动点问题一般策略：

 ⑴解决几何图形中的动态问题，关键是看动点运动的路径，在不同的路径上，所对应的线段长（高）等不同，由此引起其它变量的变化。因此根据不同路径以确定自变量的变化区间至关重要。

 ⑵在不同的区间上求函数表达式，应注意紧密结合几何图形的特征，会将将函数中的变量关系转化为几何图形上的对应线段关系。

  ⑶动点（动线）问题，引起图形中相关量的变化，多以面积为主。本题给出的坐标变化相对降低了难度。但给出的图象较多，涉及到路程与时间、路程与坐标三个变量，共两种函数，在解决问题时，应认真审题。