2012年6月20日，水集中心小学李浩齐老师在“青岛市小学数学骨干教师教学风采展示研讨会”上执教本课，以第二名的成绩获得省优质课比赛资格（9月16日在威海举行）。本课在教学设计上大胆突破往者的教学思路，其突出一点在于让学生在多种解决问题的策略中发现平均数的价值和必要性，这是我们经过反复思考讨论确定的思路。但是，很多人似乎存有许多的不理解。现将设计意图、教案以及不同的观点或建议予以转发，期盼引起更深入的讨论。

我这样教《平均数的意义》

    李浩齐

众所周知，关于小学阶段平均数的教学，从《教学大纲》到《课程标准》经历了从作为应用题教学到作为统计初步知识教学的变迁。在统计学中，平均数是一种常用的统计量，它刻画的是一组数据的集中趋势。把平均数作为统计初步知识来教学，就是真正回归了它的本来面目，这也是我教学本课所要致力体现的价值趋向。

当我确定讲“平均数的意义”这个题目后，思考了三个问题：1、平均数到底是一个什么样的数？如何让学生感受到它的统计意义？2、如何让学生切实感受到求平均数的必要性？ 3、“移多补少”是求平均数的方法吗？带着这些问题，我反复研读课标、教材和有关资料，观看名师关于平均数的意义的教学视频，逐渐使这些问题的答案清晰起来，最终形成了我教学本课的基本思路。反思我的教学，我感觉在以下三个方面的尝试基本达到了预期的目标：

一、从学生的生活经验出发，让学生体会理解“整体水平”的含义。我们知道，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它反映的是一组数据的整体水平。那么，什么是“整体水平”？如何将“整体水平”变得看得见摸得着，让学生能够比较直观地感受到“整体水平”呢？我觉得这是教学“平均数意义”的关键所在，如果不能突破对这个问题的理解，应该说平均数的意义的教学就不到位。为解决这个问题，我设计了课前观察比较“水位高低”的游戏活动，一开始呈现给学生两组不同颜色的水，每一组的水位一样高，学生很容易看出哪一组的水位高，这时提示学生：每一组的水位就是它们的平均水位。然后，呈现的是每一组水位不一样高的两组水杯，这是学生遇到了困难，有的学生想到将每组的两杯水匀一匀使其一样多，就能找到每组水的平均水位，这样就容易看出来了。这样设计的目的，是为了丰富学生的生活经验，初步感知可以用平均水位进行比较，为课堂上理解“整体水平”的意思进行铺垫。从课堂效果看，学生还是有一定的感悟，并且将这种感悟应用到了对新知识的理解上。

二、让学生从解决问题的策略的多样化比较中感受求平均数的必要性。让学生感受到求平均数的必要性是本课教学的重点之一。教材呈现的是，因为7号和8号队员上场次数不同，用总分比不合理，用平均每场得分比才合理，然后用“移多补少”的方法和计算的方法求出7号和8号队员各自平均每场的得分，得出应该派7号队员上场的结论。对此，我产生这样的疑问：比总分一定不合理吗？当上场次数多总分又高的时候，比总分不合理，而当上场次数尽管多总分却不高的时候，比总分更快更简洁。如此看来，如果仅按教材呈现的内容来教学，显然有很大的片面性。那么，平均数的必要性到底应该在什么情况下体现出来呢？我认为，应该在比总分和比平均每场得分都合理的情形下，面对特殊情况经过比较发现，只有比平均每场得分才合理，并且比平均每场得分可以应用于各种情况，这样教学才能真正发掘出平均数的必要性。也就是说，让平均数在不同解决问题策略的比较优化中产生，才能真正体现平均数产生的必要性。基于这样的认识，我在教学中尝试改造情境图，将原情境图中的2名替补队员改为3名，教学中分三个层次进行：

第一个层次，在上场次数相同的情况下，探究解决问题的多种策略。在这个层次中，引导学生运用不同的方法进行比较，重点突出用总分比较和用平均得分比较，因为在上场次数相同的情况下，用总分比较和用平均得分比较的结果是一致的。这样教学通过引导学生探究解决问题策略的多样性，有利于培养学生发散思维的能力，养成全面思考问题的习惯，同时形成对平均数意义的初步理解，为体验运用平均数进行决策的必要性做好铺垫。

第二个层次，在上场次数不同的情况下，通过对解决问题策略的比较选择，形成对平均数产生的必要性的认识。在这个层次中，重点引导学生比较不同选派方法对于决策的意义，认识到当用总分比较和用平均得分比较产生矛盾时，应该根据平均得分（也就是整体水平）做出判定，这样才能保证决策的科学合理，从而形成对平均数产生的必要性的深刻感悟。

第三个层次，揭示概念，深化理解平均数的意义。在这个层次中，重点引导学生充分利用搜集的素材，在完整表述、对比分析中加深对平均数意义的理解。

这样，经过三个层次的教学让学生经历了“可以用多种方法比较——用平均数比较——用平均数比较具有普适性”的过程，达到体会平均数产生的必要性、理解平均数的意义、会求平均数的三层目的。

三、淡化“移多补少”法，突出“求和平均”法。 “移多补少”的本质是“削峰填谷”，严格的讲，它是“平均分”的方法，不是求平均数的方法。因此，本课教学中没有将“移多补少”作为一种求平均数的方法，只是作为引导学生理解平均数意义的手段，通过课前倒水、课中移补学具等具体操作，帮助学生理解“整体水平”和平均数的意义。

《平均数的意义》教学设计与意图

 莱西水集中心小学   李浩齐

【教学内容】

《义务教育课程标准实验教科书·数学》（青岛版）五年制四年级上册第八单元信息窗1，第131页—第134页。

【教材简析】

本课教学是在学生学习了简单的统计图表的基础上进行的，是学习利用统计量描述数据特征的开始，是进一步学习统计知识的基础。教材创设“篮球赛该换谁上场”的问题情境并提供了替补运动员在小组赛中的得分情况统计表，引入对平均数知识的探索和学习，体验平均数产生的必要性，学习求平均数的基本方法，理解平均数的意义。

【教学目标】

1、在具体情境中，感受求平均数是解决实际问题的需要，并通过进一步的操作和思考理解平均数的意义，知道平均数是代表和理解一组数据的一个代表值，是描述和比较数据的统计量；学会计算简单数据的平均数。

2、在解决实际问题的过程中，进一步积累分析和处理数据的办法，发展统计观念。

3、在探索知识的过程中，提高学生自主学习的能力。

【教学重点】理解平均数的意义，学会求简单数据的平均数。

【教学难点】引导学生加深对平均数意义的理解。

【教学过程】

一、创设情境，提出问题

谈话: 同学们，今天我们继续学习有关统计的知识（板书课题），统计在日常生活中的应用非常广泛。比如，篮球比赛中的换人就要用到统计。请看屏幕（课件出示情境图）这是一场正在进行的篮球赛，红、蓝两队打得非常激烈，你争我抢，你攻我防。突然，蓝队一名队员受伤了，这时候蓝队的比分还落后，怎么办？                  

二、解决问题，理解概念

(一）上场次数相同时派谁上场？初步感知平均数的意义。

1、讨论收集信息的标准。

（1）问题。谈话：现在有7号和8号两名替补队员，假如你是教练，你准备派谁上场？根据什么？

（2）交流。                                                                                                                                                                                                                                                                    

预设：①看身高，谁高就让谁上。②看速度，谁跑的快就让谁上。③看经验，谁打球时间长经验多就让谁上。④看得分，谁的得分多就让谁上。

（3）小结。谈话：同学们想到了这么多！不管是看身高、看速度还是看经验，都是为了这个队员上场后能干什么？所以，决定派谁上场，应该比较他们的什么情况？

【设计意图：篮球比赛的情境对于三年级的小学生来说并不是太熟悉，怎样引领学生走进情境呢？我采用适当渲染的办法，让学生感受赛场的紧张与激烈，从而激发学生的学习和探究兴趣。在此基础上，引导学生讨论派谁上场的根据，也就是收集数据的标准，为下一步呈现并分析数据铺平道路。】

2、收集处理数据，作出决策。

	第一场	第二场	第三场	第四场	第五场
7号	9	没上场	8	10	没上场
8号	7	6	11	没上场	没上场

（1）问题。谈话：请看屏幕，（课件出示7、8号队员得分表），这是7号和8号队员在小组赛中的得分统计表，看了这个表，你知道了什么？根据对得分情况的分析，你觉得应该派谁上场？

（2）思考。谈话：不仅要说出派谁上场，还要讲清楚比较的方法，先自己想想，再和组内同学说说。

（3）交流。

预设：

办法一：派7号上场，因为7号总分高。追问：7号总分怎么算的？那么8号的呢？随机板书算式；

办法二：前两场7号比8号多4分，第三场7号比8号少1，因为7号比8号一共多3分，所以要派7号上。

办法三：把8、10提上去，一场对一场，因为7号两胜一负，所以要派7号上。

（4）追问：现在有这么多方法确定派7号上场，看来解决一个问题，方法可以有多种多样，想一想，还有没有其它办法？

预设：学生想不到用平均得分比较。教师引导：想一想课前倒水的经验，还可以根据什么分进行比较？怎样找到平均得分？可以利用学具摆一摆，也可以算一算。

（5）交流：

预设：

①移多补少。引导学生用学具演示并解释移多补少的过程。

②列式计算。（结合学生交流，板书算式，引导学生弄清先算什么再算什么。）

（４）总结

   谈话：刚才同学们用多种方法比较，最后都确定应该派7号队员上场。看来解决一个问题可以用不同的方法进行分析思考。

【设计意图：统计的作用在于帮助分析解决问题。本环节通过对7号和8号队员三场得分的多种方法比较，让学生体会解决问题策略的多样性，初步感知平均数的意义，为后面学习平均数产生的必要性进行铺垫。】

（二）上场次数不同时派谁上场？体会平均数产生的必要性，进一步感知平均数的意义。

	第一场	第二场	第三场	第四场	第五场
7号	9	没上场	8	10	没上场
6号	7	8	没上场	11	6

1、问题。谈话：正当教练准备派7号队员上场时，（ 课件出示）6号队员急急忙忙的跑过来也要求上场。这时候还要把3个人放在一块比吗？请看6号、7号两位队员的得分统计表。你觉得应该派谁上场，为什么？

2、思考、交流。

预设：

（1）根据总分比较。追问：同意吗？为什么？引导学生明白：6号队员因为上场次数多，所以总分多，在这里用总分比较就不合理。

（2）根据平均每场得分比较。追问：怎样计算6号队员的平均每场得分？根据得分应该派谁上场？用总分比较行不行？引导学生明白：6号队员因为上场次数多，所以总分多，在这里用总分比较不合理。

3、小结。谈话：刚才通过对6号和7号的比较，你觉得在上场次数不同的情况下，用什么方法来确定人选比较合理？（平均每场得分）。在这里，通过比较平均得分，最终确定还是应该7号上场。看来，上场次数相同和上场次数不同的情况下，都可以用平均得分来比较。

【设计意图：本环节的设计承接上一环节，让学生在不同场次不同方法的比较中感知用平均得分比较的合理性和普适性，从而形成用平均得分进行比较的必要性的认识，进一步感知平均数的意义，为揭示概念提供支撑。】

三、借助素材，总结概念

1、揭示概念。谈话：同学们看黑板，我们把通过移多补少或计算得到的同样多的这个数，在数学上，就叫做原来这几个数的平均数。

2、分析理解。谈话：（指8号队员的平均得分8）这里的8是7、6、11这三个数的平均数，它表示的是哪一场的得分吗？那么它表示什么意思？（它不是8号哪一场的得分，而是8号三场的平均数，表示8号三场的整体水平。这就是说，平均数反映的是一组数据的整体水平。

追问：谁能说一说，在这里9是哪几个数的平均数？它表示什么意思？

3、归纳总结。谈话：平均数在统计中经常用到，它能较好地反映一组数据的整体水平。也可以代表一组数据与其它组数据进行比较。

【设计意图：平均数是一个比较抽象的概念。为了让学生能够较好的理解，本环节充分利用搜集的素材，引导学生在完整表述、对比分析中加深认识。】

四、巩固拓展、应用概念

 

1号

队员

身高 （cm）

50

100

150

200

140

170

150

130

160

2号

3号

4号

5号

谈话：刚才，我们用平均数帮助蓝队教练确定了上场的人选，再来用平均数的知识研究一下两队队员的身高情况。

1、估计平均身高，体会平均数的取值范围。

出示问题：红队场上五名队员的身高如右图。

（1）小明说：红队队员的平均身高是 130厘米。他说的对吗？为什么？

（2）算一算，他们的平均身高到底是多少？

小结：平均数一定比该组数据中的最大数小，比最小数大，也就是在最大数和最小数之间。

2、猜身高，进一步体会平均数的意义。

（1）两人比较。

①提问。谈话：接下来我们继续来研究队员的身高问题。请看屏幕，这是7号和9号的平均身高，这是9号队员的身高，谁能说说7号队员的身高在哪个位置？为什么？

②演示交流。预设：7号身高应该比平均身高高。同意吗？高到什么程度谁来演示一下？把你的想法跟大家说说。

③小结。谈话：看来7号高出平均身高的部分和9号比平均身高矮的部分应该是相同的。

（2）三人比较。

①提问。谈话：现在2号又来了，如果现在的平均身高是2号、7号和9号三人的平均身高了，那2号应该多高？如果7号和9号一样高，那2号又应该是多高？

②演示交流。谈话：谁来演示一下？把你的想法跟大家说说。

③小结。谈话：看来2号高出平均身高的部分和7号、9号比平均身高矮的部分的和应该是相同的。也就是说，平均数就是把多的和少的匀一匀，匀得正好一样多。

3、改编课本自主练习第2题，借助图片，帮助学生直观地体会平均数描述的是一组数据的整体水平，而不是个体的水平。

【设计意图：“平均数”这一概念的抽象性在于难以确定其外延。为了让学生能够深入的理解，本环节设计三个层次的练习，第一层体会平均数的取值范围，第二层次体会移多补少的过程，第三层次体会整体水平的含义，引导学生在观察、分析、比较的过程中逐步深化对平均数的理解。】

五、回顾总结、梳理方法

谈话：通过本节课的学习，你有什么收获？学会了什么知识？掌握了什么方法？有什么感受？

总结：通过今天的学习，知道平均数是一种常用的统计量，在生活中经常帮助人们进行统计分析并作出决策。

【设计意图：通过回顾，引领学生全面反思，加深对所学内容的理解，提升学生自主梳理知识，自主反思建构的能力。】

六、举例（生活中的平均数）

谈话：同学们学得不错！其实生活中还有很多地方运用到了平均数的知识，我们一起来看一看。谁还能举个例子？

【设计意图：平均数是为了解决实际问题而产生的。当学生理解了平均数的意义之后，就应该让学生回归多样化的生活情境，列举并交流与平均数有关的实例，进一步体会数学与生活的密切联系，产生学习数学的兴趣，感受成功的喜悦。】

                 

                 不同的声音

之一：

《平均数的意义》：

建议一：整节课前面十五分钟，老师铺垫的痕迹太强，感觉老师刻意牵引孩子的痕迹较重，如果上课前想让孩子体会移多补少，可以课前出示一个水槽，中间有几个隔板，隔板内的水位不同，让学生猜想一下，如果挡板撤掉了，水槽里的水会怎样变化？既可以知道水位高的水会往下流，流到水位低的里面，最后水位会变平，无论平均水位在哪儿都会比最高水位矮，比最低水位高。

建议二：建议开课用课本教材提供的信息讲，因为场次相同的时候没有人会多此一举比平均数，而且这样会与孩子的认知发生冲突，调不起孩子的积极性，会让孩子觉得新知识解决起来更麻烦，还是建议老师直接出示场次不同，比总分不公平，比平均分，这一过程，充分激起学生的探究兴趣。

建议三：最后一个问题老师想让孩子体会整体水平的含义，老师做的学具很用心，却有点身体比例失调，而且学生身高查的距离想想的也不可能那么精确，用小镊子操作起来也不便捷，我们可不可以换一个情景，就是两个队投球比赛或者打射击比赛几环。这样更便于学生的理解。

之二：

1、组织教学内容既要与本节课联系密切，又要充分调动学生的积极性，留给学生一定的思考和想象空间。

2、在上场次数相同时，派谁上场？这一环节中点要抓得准，重点突出，不要太拖沓。

3、要充分借助素材（场次相同，可以看总分，场次不同，不能看总分，要看平均分），引导学生自己观察比较，理解平均数的意义。

4、练习题猜身高问题设计得很好，但没有考虑到学生身高的实际情况，同一队的队员身高的的差距悬殊，实际上不可能那么大。建议降低差距就可以了。问题要简洁，让学生听明白，多让学生表述。

5、练习题是否可以举生活中学生常见的事例，让学生在辩析中进一步巩固平均数的意义。

之三：

《平均数的意义》：

1、师：红队场上五名运动员的身高，最高170cm，最矮130cm。小明估计：红队平均身高130cm，他估计的对吗？为什么？

生1：平均身高比最高的低。

师：说平均数的范围。

生2：比最高的低，比最低的高。

师：估计平均身高是多少？

生：150cm。

然后教师引导学生通过计算来得出平均身高。

改进建议：学生估计平均身高时，教师引导学生看图讲解通过移多补少的办法进行估计，而不是凭直觉猜测，进行估算方法的指导，有利于学生估算策略的形成。

    2.在处理7号和8号该派谁上场的问题时，学生出现了列式计算和移多补少两种方法求平均分，教师重点让学生介绍了计算的方法，但对于移多补少的方法处理比较简单，建议这里用直观形象的课件来演示移和补的过程，并注意让学生来交流想法，让他们真切体验到“移多补少”也是一种求平均数的方法。这样，到巩固拓展、应用概念环节，“猜身高”的练习时，学生就会很自然的应用这种方法，并体会“移多补少”的过程。

3.本节课创新点：先出示场次相同的7号和8号，再出示场次不同的7号和6号。出示场次相同的7号和8号，其目的是让孩子明白在场次相同的情况下可以直接用总数表示，没必要再去求平均数，在这不必浪费过多的时间，紧接着出示场次不同的6号和7号，教师可以直接追问：可以用总数比较吗？让孩子自己思考、验证，“不能，为什么？”说明理由。“如果不能，该怎么办？”从思考中自主产生困惑，激发孩子探究新知的欲望。

   4. 教师引导学生理解了平均数的意义之后，是否可以出示6号、7号每场分数及平均分的条形统计图，引导孩子观察所求平均数的特点及渗透移多补少的方法。然后将下面“用平均数比较两队的身高情况”，作为一道实际问题检验孩子学习情况。

 

之四：

《平均数的意义》

本节课后半部分的设计给人印象非常深刻，很好地体现了平均数的意义，而且生动有趣，激发起学生进一步的思考。但前面有个别地方还可以再调整一下。

改进建议：

1.课前互动环节目的是为了帮助学生理解移多补少，但是倒水的过程显得很零散，感觉有点像讲授新课的内容。建议将课前互动的内容改为与平均数有关的师生谈话。

2.对教材的调整没有体现出平均数出现的必要性，建议直接出第二个表格即可。

之五：

平均数的意义

存在问题：

1.课前铺垫过于细致，帮助学生理解“平均水平”占用时间太长，意义不大。学生对平均数的探究过程完全可以在老师的点拨下独立完成，不需要这样的思维铺垫。另外，课前交流时间过长，挤占了学生的课间休息时间。

2.“解决问题，理解概念”环节没有必要再补充场次相同的情况。

   建议：

1.从课堂上学生的反应来看，不少学生对篮球比赛的知识比较陌生，建议课前谈话改成了解篮球知识的内容。

2.利用教材的信息窗展开学习就挺好。象教材上一样直接出示场次不同的情况，引发学生的认知冲突，让学生在交流争论中明确：出场次数不同，比总分是不公平的。这时“平均数”产生的必要性也就水到渠成了。然后放手让学生探究如何找到平均数，可以借助学具板摆一摆，也可以算一算。

3.教师在课件中出示的7号和8号队员的得分情况统计表如：

 

	第一场	第二场	第三场	第四场	第五场
7号	9	没上场	8	10	没上场
8号	7	6	11	没上场	没上场

对于两名队员几场没有成绩的统计，应该采用课本中原来的格式，也就是人们在统计表中应用的普遍的方法，即表中几处“没上场”还要用“——”来表示，这才是尊重数学的符号性和简洁性的特点。

4.在“巩固拓展，应用概念”环节1题中，可以在让学生判断了小明的说法：红队队员的平均身高是130（170）都不对后，不是直接计算平均身高，而是可以加上一个小环节：估一估平均身高，然后再计算。这样，我觉得学生通过看图先估再算的过程中，加深对平均数以及它的取值范围的理解。

5.“巩固拓展，应用概念”环节中的第2小题：猜身高进一步体会平均数的意义。本题设计较好，但是演示队员的身高拉长时只是腿变长了，感觉身体比例不对，不够严谨，如果再想办法设计得严谨一点会更好。（此环节可能借鉴了名家的思路而换成了不太严谨的素材，建议去省上课尽量独创的好，总归大家的思路听课的骨干教师很熟悉）