欧几里得几何是指按照欧几里得的《几何原本》构造的几何学，是几何学的基础。

欧几里得几何基于五条公理或者说公设：

1.   从一点向另一点可以引一条直线。

2.   任意线段能无限延伸成一条直线。

3.   给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。

4.   所有直角都相等。

5.   若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交

第五条公理又称平行公理，可以推导出另一个命题：

通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。

欧几里得五条公理的前4条显然没有什么问题，但第五条公理则更像一条假设而非定理，只能说从人的直观上或者经验上讲没什么问题，但从数学的严谨性和公理化的角度来讲是不严谨的。很多几何学家都试图证明此条公理的正确性，但均告失败。

俄罗斯数学家罗巴切夫斯基假设：

6.    通过一个不在直线上的点，至少可以找到两条相异的直线且不与该直线相交，

即改变第五条公理。罗巴切夫斯基发现基于公理1~4以及假设6可以推导出另外一种异于欧几里得几何但完全自洽的几何，后世称为罗氏几何（其实他是想用反证法证明公理5的正确）。虽然在罗巴切夫斯基在世时罗氏几何并未得到承认，罗巴切夫斯基也郁郁而终。但在其去世以后罗氏几何却得到了广泛的认可并被认为是划时代的发现。罗氏几何与欧式几何的不同可以通过几个例子简单说明：

·         欧式几何:

·         同一直线的垂线和斜线相交。

·         垂直于同一直线的两条直线互相平行。

·         存在相似的多边形。

·         过不在同一直线上的三点可以作且仅能作一个圆。

·         罗式几何

·         同一直线的垂线和斜线不一定相交。

·         垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷。

·         不存在相似的多边形。

·         过不在同一直线上的三点，不一定能作一个圆。

罗氏几何实际上是欧式几何几何学在双曲面上的延伸，1868年意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧氏空间的曲面上实现。这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧氏几何命题，如果欧氏几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。或者说从本质上讲，罗氏几何与欧式几何是同一几何学不同曲面上的不同表现，直到此时罗氏几何才得到广泛关注与赞誉，但可惜罗巴切夫斯基已于1856年去世。下图即为在双曲面上的罗氏几何，图摘自维基百科。

http://s6/mw690/005Lutm5gy6MkjIXKmxb5&690

黎曼几何其实是一个定义非常广的概念。严谨的说，黎曼几何是指黎曼流形上的几何学。不过我们这里讲的是较为狭义的黎曼几何概念。若将公理5改为：

7.    过直线外的一点不可能作一条直线点外的直线平行

就又可以推导出与欧式几何和罗氏几何不同的自洽的几何体系，称为黎曼几何。这里说的黎曼几何是在椭圆面或球面上的几何学，如下图，图摘自百度百科

http://s16/mw690/005Lutm5gy6MkjKnLjh2f&690

黎曼几何的一个直接推论是三角形三内角之和小于一百八十度。

相对与罗氏几何，黎曼几何更广为人知，原因是黎曼几何是广义相对论的基本数学工具。广义相对论认为我们处于的时空由于引力的作用是弯曲的，而这个弯曲的时空正是由黎曼几何所描述。其实也正是在黎曼几何在物理中得到应用之后，整个的黎曼几何系统（这里指广义的黎曼几何）才得到迅速的发展和关注。

黎曼几何、欧式几何、罗氏几何它们之间的关系是可以相互转化的，一点都不矛盾。欧式几何是把认识停留在平面上了，所研究的范围是绝对的平的问题，认为人生活在一个绝对平的世界里。因此在平面里画出的三角形三条边都是直的。两点之间的距离也是直的。但是假如我们生活的空间是一个双曲面，（不是双曲线），这个双曲面，我们可以把它想象成一口平滑的锅或太阳罩，我们就在这个双曲面里画三角形，这个三角形的三边的任何点都绝对不能离开双曲面，我们将发现这个三角形的三边无论怎么画都不会是直线，那么这样的三角形就是罗氏三角形，经过论证发现，任何罗氏三角形的内角和都永远小于180度，无论怎么画都不能超出180度，但是当把这个双曲面渐渐展开时，一直舒展成绝对平的面，这时罗氏三角形就变成了欧式三角形，也就是我们在初中学的平面几何，其内角和自然是180度。在平面上，两点间的最短距离是线段，但是在双曲面上，两点间的最短距离则是曲线，因为平面上的最短距离在平面上，那么曲面上的最短距离也只能在曲面上，而不能跑到曲面外抻直，故这个最短距离只能是曲线。若我们把双曲面舒展成平面以后，再继续朝平面的另一个方向变，则变成了椭圆面或圆面，这个时候，如果我们在这个椭圆面上画三角形，将发现，无论怎么画，这个三角形的内角和都大于180度，两点间的最短距离依然是曲线，这个几何就是黎曼几何。这个几何在物理上非常有用，因为光在空间上就是沿着曲线跑的，并非是直线，我们生活在地球上，因此我们的空间也是曲面，而不是平面，但为了生活方便，都不做严格规定，都近似地当成了平面。