三论同心圆等分弧定理及其应用说明图

江苏省盐城市盐都区秦南镇人民东路36号戴长川

关于三等分角的问题，因为早有定论，是不可能分的，而且已有权威证明，但我们要相信权威，但不能迷信权威。我发现的同心圆等分弧定理却可以三等分角，任意等分弧。也许有人会说风凉话，这可能吗？但实践是检验真理的标准，只要你亲手试一试就可以得到论证。

一、同心圆等分弧定理：

同心圆中小于等于90°角所夹的弧长与对应的同心圆半径成正比。即同心圆的半径增大一倍，同心圆中对应角所夹的弧长增大一倍。

二、同心圆等分弧定理的推论：

以同心圆中小于等于90°的角所夹各等分点的基本单位弧长为单位，可直接将其对应边上各对应等分点所夹的同心圆的弧等分为对应的等分。即可以把任意角任意等分。

三、同心圆等分弧定理的使用说明图：

http://s12/small/005HIMpEgy6LM09L7on9b&690

如图1

（1）先作任意角（小于等于90°）∠AOB，后在OB边上以任意长为基本单位取OB边的各等分点1,2,3,4,5……

（2）作∠AOB的角平分线OP交AB(⌒)于P点，再作∠POB的角平分线OM交AB(⌒)于M点。

（3）以O为圆心，过2等分点C点作弧CF(⌒)交OP于G点，交OA于F点，以O为圆心过3等分点D点作DH(⌒)交OA于H点。以O为圆心，过4等分点E点，作EN(⌒)弧交OA于N点交OM于K点。

（4）连接GK交DH(⌒)于L点，延长线交AB(⌒)弧于Q点……，则可得到各等分点的基本单位弧，CG(⌒)，DL(⌒)，EK(⌒)，BQ(⌒)……，则可用各等分点的基本单位弧长为单位，直接将其对应等分点所夹的同心圆的弧等分为对应的等份。

如3等分点DL(⌒)弧为单位，可三等分DH(⌒)，即可三等分任意角，5等分点的BQ(⌒)弧为单位可五等分AB(⌒)弧，即可五等分任意角……

5、从图1中可以看出各等分点的基本单位圆，半径是随各等分点同心弧的弧弓变小而逐渐增长的，但它的变化很小，在实际作图中，几乎没有起多大作用，所以我在“大家跟我学”一文中有两种提法：一是各点基本单位弧可分各点同心弧。二是第一基单位弧，可分各点同心弧，我在此给予纠正和说明：第一种方法，理论上各点基本单位弧长可分各点同心弧是精确的，但实际作图中要细心才准确。第二种方法是虽然理论上是近似值，但不影响作图，作图时，实用、简单而方便。

同心圆等分弧定理是否成立，欢迎大家及媒体批评指正，欢迎传播。

四、用圆规和直尺把任意角分成三等分的两种方法：

作法一，如图2：

1、作任意角（小于90°）∠AOB并作AB(⌒)，再作∠AOB的角平分线OD交AB(⌒)于D点，交AB弦于C点。

2、在CO线段上量取CE=AD弦长得E点。以O为圆心，以OE为半径画弧FG(⌒)交OA于F点，交OB于G点。

3、以G为顶点作∠HGB=30°角交AB(⌒)弧于H点，以BH(⌒)弧长为单位，量取HR(⌒)使BH(⌒)弧长=HR(⌒)弧长，则AR(⌒)=BH(⌒)=HR(⌒)

连接OH,OR,则∠AOR=∠ROH=∠HOB,

http://s14/small/005HIMpEgy6LM0cFdtb3d&690

分析：

假设如图H点为AB(⌒)上三等分点

则AH(⌒)弧长=2HB(⌒)弧长，过H点作HT垂直于OB垂足为T

在直角△GHT中

∵ ∠HGT=30°

∴HT=½GH

连接AH,则AH为AH(⌒)的弦

∴AH=2HT

∴AH=GH

∴G点是H点三等分弧的关键点

那么GB的长是多少呢？

设FG(⌒)与角平分线OD的交点为E,

则DE（的长度）=BG      (两个同心圆所夹的线段相等)

而DE=EC+CD

当AB(⌒)弧长确定时CD与AD的长度也已确定

∴CE的长是确定ED的关键，

而当CE=AD时DE的长=BG的长即可确定

完全与假设成立

∴作EC=AD,则GB=DE,

∴GH=AH

∴H点为弧AB的三等分的一个分点。

证明：∵EC=AD,ED=BG,∴HA=GH,

∵∠HGB=30° ∴HT=½GH

http://s5/small/005HIMpEgy6LM0eBV9a54&690

∴AH=2HT

∴AH(⌒)弧长=2BH(⌒)弧长

又HR(⌒)=HB(⌒)

∴AR(⌒)=BH(⌒)=HR(⌒)

∴∠AOR=∠ROH=∠HOB。

作法二（如图3）

1、作任意角（小于等于90°）∠AOB，作∠AOB的角平分线OP交AB(⌒)弧于P点，在OB边上取G、D、F三点，使OG=GD=DF=FB，则G、D、F、B为OB边上的1,2,3,4，四个等分点。

2、过D点作CD(⌒)弧交OA边于C点，交OP于E点，过F点作FH(⌒)弧交OA于H点，作∠POB的角平分线ON交AB(⌒)弧于N点。

3、连接E、N交HF(⌒)弧于K点，则KF(⌒)弧为三等份HF(⌒)的基本单位弧长。 

4、以KF(⌒)

弧长为单位量取HK(⌒)可得L点，使LK(⌒)=KF(⌒)，正好HL(⌒)=LK(⌒)=KF(⌒)。

5、连接OL、OK，则∠HOL=∠LOK=∠KOF。

证明：

过K点作∠KRB=30°交OB于R，以K为圆心，KR为半径 画弧，正好交HF(⌒)弧于H点，则KR=HK。过K作KQ⊥RQ，垂足为Q，则KQ=1/2RK=1/2HK，又KF=KL。

∴HL=LK=KF，和作法1方法不同，结果一样。

∴∠HOL=∠LOK=∠KOF，三等分角成立。

说明：

∵弧长与弧径和弧弓两种因素有关

∴3等分点为弧长与2、4等分点的弧长，不能用简单的弧径的长进行对比

∴不能用传统的方法弧径的长来证明，只能用验证的方法证明。