不同纬度的昼夜长短如何通过公式计算？

昼夜长短的计算    昼长=（12—日出时刻）×2=（日落时刻—12）×2 =日落时刻—日出时刻
6月22日，太阳直射在北回归线上，北半球昼最长，夜最短。

1.晨昏圈和昼夜交替
地球是个非透明的球体，阳光只能照亮它的一半。阳光照射的半球为昼半球，该半球处于白昼状态；背着太阳的半球为夜半球，该半球处于黑夜状态。随着地球自转，昼半球和夜半球的分界线在地表不断地移动着。从夜半球到昼半球的昼夜界线为晨线；从昼半球到夜半球的昼夜界线为昏线。晨线和昏线都是半圆弧，二者构成地球上的一个大圆，叫做晨昏圈。由于地球的自转，晨昏圈通过的地方，就是该地一天中的早晨或黄昏。昼半球和夜半球是不断相互交替出现的，这种现象称为昼夜交替。
2.昼夜长短的计量
晨昏圈一般都把地球的纬线分成两部分，即两个弧段。位于昼半球的那段纬线，称为昼弧；位于夜半球的那段纬线，称为夜弧。昼弧和夜弧的相对长度，决定着某纬线上各点的昼夜长短。若昼弧长于夜弧，则昼长夜短；若夜弧长于昼弧，则昼短夜长；若昼弧等于夜弧，则昼夜等长。
某地昼弧和夜弧的变化，即昼夜长短与哪些因素有关呢？一是当地的地理纬度，用α表示；二是太阳赤纬，用δ表示。
设某地纬度为α，该日太阳赤纬为δ，圆弧ABCD即为太阳周日视运动的轨迹。当太阳处于A点时，太阳升出地平，也就是白昼的开始和黑夜的结束；当太阳处于B点时，即太阳上中天，当地此时是正午，白昼的时间已经过去了一半；当太阳处于C点时，太阳落入地平，也就是白昼的结束的黑夜的开始；当太阳处于D点时，即太阳下中天，当地此时为子夜。所以，昼长实际上就是，太阳自出地平（A点）经上中天（B点），到落地平（C点）的时间间隔，它等于做周日视运动的太阳由B点运移到C点所需时间的两倍。而太阳由B点运行到C点所需的时间，就是太阳落地平时的时角。所以，昼长等于太阳落地平时的时角的两倍。我们把太阳落地平时的时角，叫做半昼长。
通常选用T代表昼长，用t代表半昼长，则有T=2t。
根据球面三角学的原理，得到：
cost=-tanδ·tanα   

(其中α为纬度，δ为该日太阳赤纬,t代表半昼长的度数，T=2t代表昼长度数，若要换算成时间(小时)，则用T/360*24即可得到）
这就是半昼长的计算公式。在计算时，按照习惯，δ和α都以北半球为正号，南半球为负号。利用这个公式，可以计算出任何地点、任何日期的白昼和黑夜的长短。
例如，在北纬40°，立秋（太阳赤纬是16°19′），半昼长为：t=7小时18分52秒，昼长则为：T=14小时37分44秒。

公式D=2arccos(-tanδtanφ) ÷15°

式中D是昼长，δ是太阳直射点纬度（通过日期可以查出来），φ是地理纬度
由上述公式可知，第一，在同一时间，即δ为一定值时，t则随着α而变化，即在一定时间内，昼夜长短随纬度的不同而不同；如果α是个固定的值，即对一定的地点来说，则t随着δ的不同而变化，即在同一地点，昼夜长短随时间的变化而变化。第二，如果使得t＞6小时，则T＞12小时，即昼长夜短，必须使cost＜0，则有： -tanδ·tanα＜0
要满足这个条件，必使δ、α为同号。因为，在北半球永远是正值，若使北半球昼长夜短，必须是δ取正值，即在天球上太阳运行于天赤道以北，太阳直射点在北半球。在南半球永远是负值，则其昼长夜短的条件是，δ取负值，即在天球上太阳运行于天赤道以南，太阳的直射点在南半球。第三，如果使得t＜6小时，则T＜12小时，即昼短夜长，必须使cost＞0，则有： -tanδ·tanα＞0
要满足这个条件，必使δ、α为异号。同理可得，在北半球昼短夜长的条件为δ必须取负值，则在天球上太阳运行于天赤道以南，太阳的直射点在南半球。在南半球昼短夜长的条件，则为δ必须取正值，此时在天球上太阳运行于天赤道以北，太阳的直射点在北半球。
3.昼夜长短的纬度变化
在同一日期，太阳赤纬可以看成是个常数，即δ是个固定值，则昼夜长短随纬度的不同而改变，即随着的变化而不同。现将其变化的特征说明如下：
第一，在赤道上。因为α=0°，则有cost=0，于是t=90°，即半昼长为6小时，昼长为12小时。这表明，在赤道上，终年昼夜等长，不随季节的变化而改变。因为赤道是所有纬线中唯一的一个大圆，晨昏圈也是地球上的大圆，两者相交，在任何时刻都互相等分，各成两个180°的弧。因此，不论什么季节，赤道上的昼弧和夜弧总是等长的，即赤道上终年昼夜等长，各为12小时。
第二，在纬度=90°-δ的地方，则有：
cost=-tanδ·tan（90°-δ） （如果α+δ＝90°，则说明所在的纬度有极昼和极夜现象出现）
=-tanδ·costδ =-1
因此，t=180°，即半昼长为12小时，昼长为24小时。该日当地24小时都是白昼。这种昼长持续24小时的现象，称为极昼。
第三，在纬度=-（90°-δ）的地方，则有：
cost=-tanδ·tan[-（90°-δ）] =tan·costδ =1
因此，t=0°，即半昼长和昼长均为0，该日当地24小时都是黑夜。这种夜长持续24小时的现象，称为极夜。
应该说明的是，一般情况下，极昼、极夜现象都是发生在一定区域范围内的现象，而不仅仅是某一条纬线上的现象。因为太阳赤纬的变化范围为-23°26′～+23°26′，所以出现极昼极夜现象的纬度范围为北纬66°34′至北极，和南纬66°34′至南极。我们把北纬66°34′和南纬66°34′的纬线分别称为北极圈和南极圈。另外，虽然北极圈以北和南极圈以南的范围内，都有极昼、极夜现象，但是情况还是有所不同。在极圈上，一年内极昼、极夜现象的日数分别只有1天（24小时），随着纬度的增高，极昼、极夜现象的日数将增多，在地球两极，除二分日太阳在地平圈上周日视运动之外，一年皆处于极昼和极夜之中，即半年极昼，半年极夜。
由此可见，随纬度的增加，昼夜长短的变化越来越大，即昼长年较差随纬度的增加而增大。在赤道上，昼夜终年等长，昼长年较差为0，到南北极圈上发展到了极端，最长昼达24小时，最短昼仅为0，昼长年较差达24小时。北极圈以北和南极圈以南，极昼极夜的日数，随纬度的增加而增多，到了极地达到最大值。但是，不论在哪个纬度，当地的全年平均昼长和平均夜长都是相等的，都是12小时。
4.昼夜长短的季节变化
在同一地点，纬度是个常数。因此，同一地点的昼夜长短，取决于太阳赤纬δ的变化情况，即昼夜长短随季节的不同而改变。这种情况在中高纬地区更为明显，中纬地区的人们总结出这样的谚语：“长五月，短十月，不长不短二八月”。这里所说的月份是指我国的农历而言。如前所述，这种情况在赤道上是不存在的，赤道上始终是昼夜等长。
现将昼夜长短的变化特征说明如下：
大约在每年的3月21日，即春分时，太阳赤纬δ=0°，因此tanδ=0，不论纬度如何变化，cost=0，即t=90°。也就是说，全球各地昼夜平分，各为12小时。从天球的角度来说，如图4－7，该日太阳的周日视运动轨迹与天赤道重合，被地平圈等分。所以太阳在地平圈以上的运行时间与在地平圈以下的运行时间是相等的，各为12小时，春分日太阳直射赤道，晨昏圈与经圈重合，把所有的纬圈都等分为两个180°的弧，所以各地昼夜等长。
春分之后，太阳直射点逐渐北移，太阳赤纬在正值的范围内逐渐增大，则t的量值在北半球逐渐增加，白昼延长，黑夜缩短， 极昼的范围从北极逐渐向南扩大。南半球情况相反，昼在缩短，夜在延长，极夜的范围从南极逐渐向北扩大。到了大约6月22日，即夏至日，这些情况达到了极端，太阳赤纬值极大，为23°26′，太阳直射点北移到北回归线，在北半球有昼夜交替的任何纬度，t均达到最大，昼最长，夜最短；北半球极昼的范围最大，北极圈及其以北的广大地区均处于极昼。南半球情况相反，昼最短，夜最长；极夜的范围最大，南极圈及其以南的广大地区，均处于极夜。
从天球的角度来讲，夏至日太阳周日视运动轨迹与天赤道向北偏离最远，不被地平圈等分，太阳在地平圈以上运行时间长于在地平圈以下的运行时间，两者相差最多，昼最长，夜最短。夏至日地球上的情况，此时太阳直射点移到北回归线上，晨昏圈通过北纬66°34′和南纬66°34′，北半球昼弧达到最长，夜弧减至最短，北极圈以北完全处于昼半球；南半球昼弧最短，夜弧最长，南极圈以南完全处于夜半球。
夏至之后，太阳赤纬δ逐渐减小，太阳直射点自北回归线开始南移。虽然北半球仍是昼长于夜，但是昼夜长短之差逐渐变小， 北半球极昼的范围逐渐缩小；南半球昼渐延长，夜渐缩短，极夜的范围逐渐缩小。到了大约9月23日，即秋分日，太阳赤纬δ=0°，太阳直射点又移到了赤道上，昼夜状况与春分日完全相同，全球各地昼夜平分。
秋分之后，太阳在天赤道以南运行，太阳赤纬δ＜0°，太阳直射点移到了南半球。在北半球，t逐渐减小，昼渐短，夜渐长，北极附近出现极夜现象，其范围逐渐扩大；在南半球，昼渐长，夜渐短，南极附近出现极昼现象，其范围也逐渐扩大。这种情况可一直持续到大约12月23日，即冬至日。此时，太阳赤纬达到最小值，即δ=23°26′，太阳直射点移到了最南的纬度，即南回归线上。这时，北半球有昼夜交替的任何纬度上，t均达到最小，昼最短，夜最长，极夜的范围也最大，北极圈以北地区均处于极夜。南半球相反，昼最长，夜最短，极昼的范围最大，南极圈以南地区均处于极昼。
冬至日北纬的情况。该日太阳周日视运动轨迹与天赤道向南偏离最远，太阳在地平圈以上运行时间短于在地平圈以下运行时间，两者相差最多，昼最短，夜最长。冬至日太阳直射在南回归线上，晨昏圈通过北纬66°34′和南纬66°34′，北半球昼弧最短，夜弧最长，北极圈以北完全处于极夜状态。南半球昼弧最长，夜弧最短，南极圈以南完全处于极昼状态。
冬至以后，太阳赤纬δ逐渐增大，太阳直射点逐渐北移，到春分时，太阳赤纬δ又变为0°，太阳直射点又回到了赤道，全球又出现了昼夜平分的现象。
如此循环返复，昼夜长短就是这样以回归年为周期随着季节有规律地变化着。
由此可见，造成昼夜长短变化的直接原因是，太阳直射点在南北回归线之间周期性的移动，而这种移动是因为太阳赤纬（δ）在-23°26′～+23°26′之间，呈周期性地变化，也就是太阳的回归运动造成的。
5.影响昼夜长短的其它因素
上述关于昼夜长短的纬度分布和季节变化，是一种理论上的结论，它是在“理想状况下”的产物，即地球是个正球体、太阳光线是平行光、地表没有大气对于太阳光的折射作用，并且地表各地点无海拔高度的差异，昼长以太阳中心升落地平的时间来计算等。事实上，昼夜长短还受许多其它因素的影响。其中，以下两个因素是必须考虑的：
第一，太阳的视半径。在天球上，太阳不是一个点，而是一个圆面，它的视半径大约是16′。所以，实际上日出时，视太阳中心并未在东方地平圈上，日没时，视太阳中心也并未在西方地平圈上，都是位于地平以下16′。因此，实际上以太阳边缘出地平和落地平而得到的昼长，要比以视太阳中心为参考点而计算的昼长要长一些。
第二，地球大气的折射作用。地球周围存在着一层很厚的大气，由于大气的折射作用，当视太阳中心位于地平圈上时，实际上，太阳中心却位于地平线以下34′。
综合上述两种影响，可得，当我们看到太阳的上边缘与地平线相切时，即日出和日没的瞬间，太阳的中心实际上位于地平线以下50′处（如下图）。

http://s7/bmiddle/005FJdFPty6Ldeuo15Y96&690

因此，实际上地球上的晨昏圈并非一个大圆，无论在什么季节，晨昏圈都不会以地心为圆心，昼半球向四周扩大了50′，夜半球相对缩小50′。昼长在全球加长，夜长则缩短。赤道上终年昼夜等长的现象也就不存在了。南北两极极昼的范围都有所扩大，极夜的范围均有所缩小，极昼的日期多于极夜的日期。又由于地球公转速度的不等，当北半球处于夏半年时，地球公转速度较慢，处于冬半年时，公转速度较快；南半球正相反。所以，北半球的极昼日期多于南半球，极夜日期少于南半球。
现将各纬度的最长昼和最短昼以及极区各纬度的极昼和极夜长短。
另外，昼夜长短还受局部性的因素影响。例如，地势的高低，站在高山上，能早些见到日出，较晚见到日没，所以高山上的白昼长于同纬度的平地。
下表是各纬度最长昼和最短昼

http://s13/mw690/005FJdFPty6LddIUU563c&690

我自己推出的太阳直射北半球时某纬度夜（昼）长计算公式是：

T（夜）＝24*arccos（tanθ*tanα）(其中θ代表太阳直射点的纬度，α代表当地的纬度）

T（昼）＝24*（1－arccos（tanθ*tanα））

南半球同理可推导（略）

http://s11/mw690/005FJdFPty6Lde7F0im9a&690

http://s16/mw690/005FJdFPty6Ldedi0izbf&690

 正午太阳高度角计算方法

⑴正午太阳高度公式：H=90度—|（当地地理纬度）+/-（当时太阳直射点纬度）|
简单来说，就是          H= 90度—| （直射点与当地的纬度差/和）度 |
如得知南京在北纬32度（当地地理纬度），设当时太阳直射点在23度26分（当时太阳直射点纬度），则可以求出：90°—| 23°26′+32°|=34°34′，所以，南京冬至日的正午太阳高度为34度34分。

 ⑵测出正午太阳高度的方法有“测竿法”：把一支已知长度（暂设长度为1m）的竹竿垂直与地面，立“竿”见影，测出影长（设影长为2m），把它们看作是个二维三角形，用“三角函数”的方法求出底边与斜边的夹角。这样便可求出当地正午太阳高度。
         但是，这两种方法之间又有什么联系呢？
         我们可以画出地球受太阳直射的横截图（略），通过相似三角形的角相等的定理，可推导出：当地地理纬度的垂线（垂直于地平面）与当时太阳直射点纬度（也是垂直于地平面）之间的夹角是等于“测竿法”中的三角形底边与斜边的夹角的。
因此，测竿法是绝对可靠的！至于“正午太阳高度公式”的推导过程，则恐怕在画出“地球受太阳直射的横截图”后才能清楚解析。

 高中地理计算公式总结