几个常见数字特性的证明

    

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（1） 被2整除特性：一个数的最后一位能被2整除，说明这个数能够被2整除。如果不能被2整除，说明这个数就不能被2整除；

证明：以五位数为例，假设这个数为abcde，则有

abcde=（a*10000+b*1000+c*100+d*10）+e，可以看出括号内必为2的倍数，所以如果e是2的倍数的话，就可以得到原数abcde是2的倍数；

并且当e不是2的倍数时，e和原数abcde对于2同余；例如125除以2的余数和5除以2的余数相同。

 

 

（2）被5整除特性：一个数的最后一位能被5整除，说明这个数能够被5整除。如果不能被5整除，说明这个数就不能被5整除；

证明：以五位数为例，假设这个数为abcde，则有

abcde=（a*10000+b*1000+c*100+d*10）+e，可以看出括号内必为5的倍数，所以如果e是5的倍数的话，就可以得到原数abcde是5的倍数；

并且当e不是5的倍数时，e和原数abcde对于5同余；例如126除以5的余数和6除以5的余数相同。

 

 

（3）被3整除特性：一个数字的每位数字相加能被3整除，说明这个数能够被3整除。如果不能够被3整除，说明这个数就不被3整除；

证明：以五位数为例，假设这个数为abcde，则有

abcde=a*10000+b*1000+c*100+d*10+e=[a*9999+b*999+c*99+d*9]+（a+b+c+d+e），可以看出中括号内必为3的倍数，所以如果（a+b+c+d+e）也是3的倍数的话，就可以得到原数abcde是3的倍数；

并且当（a+b+c+d+e）不是3的倍数时，（a+b+c+d+e）和原数abcde对于3同余；例如125除以3的余数和（1+2+5）除以3的余数相同。

 

例：某商场促销，晚上八点以后全场商品在原来折扣基础上再打9.5折，付款时满400元再减100元。已知某鞋柜全场8.5折，某人晚上九点多去该鞋柜买了一双鞋，花了384.5元，问这双鞋的原价为多少钱？    【国家2008】

A.550元       B.600元       C.650元      D.700元

楚香凝解析：根据选项可得原价大于400，所以最后付款时需要减去100，设原价x，可得x*0.95*0.85-100=384.5，即x*0.95*0.85=484.5，484.5是3的倍数且0.95和0.85都不是3的倍数，则x必为3的倍数，选B

 

 

（4）被9整除特性：一个数字的每位数字相加能被9整除，说明这个数能够被9整除。如果不能够被9整除，说明这个数就不被9整除；

证明：以五位数为例，假设这个数为abcde，则有

abcde=a*10000+b*1000+c*100+d*10+e=[a*9999+b*999+c*99+d*9]+（a+b+c+d+e），可以看出中括号内必为9的倍数，所以如果（a+b+c+d+e）也是9的倍数的话，就可以得到原数abcde是9的倍数；

并且当（a+b+c+d+e）不是9的倍数时，（a+b+c+d+e）和原数abcde对于9同余；例如125除以9的余数和（1+2+5）除以9的余数相同。

 

例：某单位招录了10名新员工，按其应聘成绩排名1到10，并用10个连续的四位自然数依次作为他们的工号。凑巧的是每个人的工号都能被他们的成绩排名整除，问排名第三的员工工号所有数字之和是多少？   【联考2011】

A. 9      B. 12     C. 15     D. 18

楚香凝解析：假设第三名的工号是abcd，工号和是a+b+c+d=x，则x是3的倍数；因为第十名的工号和是10的倍数，所以第十名工号最后一位是0，则前九名工号的最后一位依次为1、2、3、4、5、6、7、8、9；第三名的工号是abcd，则第九名的工号是abc(d+6)，工号和是a+b+c+d+6=x+6，所以第九名的工号和（x+6）必为9的倍数，观察选项只有B满足，选B

 

 

（5）被4整除特性：一个数的后两位能够被4整除，则这个数就能被4整除；

证明：以五位数为例，假设这个数为abcde，则有

abcde=[a*10000+b*1000+c*100]+（d*10+e），可以看出中括号内必为4的倍数，所以如果（10*d+e）是4的倍数的话，就可以得到原数abcde是4的倍数；

      并且当（10*d+e）不是4的倍数时，（10*d+e）和原数abcde对于4同余；例如125除以4的余数和25除以4的余数相同。

 

 

（6）被25整除特性：一个数的后两位能够被25整除，则这个数就能被25整除；

证明：以五位数为例，假设这个数为abcde，则有

abcde=[a*10000+b*1000+c*100]+（d*10+e），可以看出中括号内必为25的倍数，所以如果（10*d+e）是25的倍数的话，就可以得到原数abcde是25的倍数；

      并且当（10*d+e）不是25的倍数时，（10*d+e）和原数abcde对于25同余；例如128除以25的余数和28除以25的余数相同。

 

例：某剧院有25排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有70个座位。这个剧院共有多少个座位？   【北京2005】

A. 1104     B. 1150     C. 1170    D. 1280

楚香凝解析：总共25排并且呈等差数列，所以总座位数=25*第13排座位数，则总数必为25的倍数，25的倍数只需保证后两位是25的倍数即可，选B

 

（7）被6整除特性：兼具被2整除和被3整除的特性即可，或者可以叙述为原数为偶数且各位数字之和是3的倍数，则原数是6的倍数；

 

 

（8）被7整除特性：

①割尾法：一个数字的末一位的两倍，与剩下的数之差为7的倍数，说明这个数能被7整除。

证明：令m=a1+a2*10+a3*100+a4*1000……+an*10(n-1)   ，则m去掉末位后剩下的数与末位2倍的差为 n=   a2   +a3*10  +a4*100……+an*10(n-2) - 2a1   

2m+n=a2*21+a3*210+a4*2100+……+an*21*10(n-2)  = 21*[ a2+a3*10+……+an*10(n-2)  ]

因为2m+n必为7的倍数，所以若m是7的倍数的话，可得n也必为7的倍数；

 

②末三法：一个数字的末三位划分，大的数减去小的数除以7，能整除说明这个数就能被7整除。

证明：以五位数为例，假设这个数为abcde，则有

abcde=ab*1000+cde=ab*1001+（cde-ab）=[ab*7*11*13]+（cde-ab）

因为中括号内必为7的倍数，所以如果（cde-ab）为7的倍数的话，就可以得到原数abcde是7的倍数；

并且对于（cde-ab）＞0，当（cde-ab）不是7的倍数时，（cde-ab）和原数abcde对于7同余；例如4321除以7的余数和317（321-4）除以7的余数相同。  

 

 

（9）被8整除特性：一个数的后三位能够被8整除，则这个数就能被8整除；

证明：以五位数为例，假设这个数为abcde，则有

abcde=[a*10000+b*1000]+（c*100+d*10+e），可以看出中括号内必为8的倍数，所以如果（100*c+10*d+e）是8的倍数的话，就可以得到原数abcde是8的倍数；

      并且当（100*c+10*d+e）不是8的倍数时，（100*c+10*d+e）和原数abcde对于8同余；例如3450除以8的余数和450除以8的余数相同。

 

（10）被125整除特性：一个数的后三位能够被125整除，则这个数就能被125整除；

证明：以五位数为例，假设这个数为abcde，则有

abcde=[a*10000+b*1000]+（c*100+d*10+e），可以看出中括号内必为125的倍数，所以如果（100*c+10*d+e）是125的倍数的话，就可以得到原数abcde是125的倍数；

      并且当（100*c+10*d+e）不是125的倍数时，（100*c+10*d+e）和原数abcde对于125同余；例如3450除以125的余数和450除以125的余数相同。

 

（11）被11整除特性：

①叉减法：把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差；如果这个差是11的倍数(包括0)，那么原来这个数就一定能被11整除

证明：以五位数为例，假设这个数位abcde，则有

abcde=a*10000+b*1000+c*100+d*10+e

     =（11000-1100+110-11+1）*a+（1100-110+11-1）*b+（110-11+1）*c+（11-1）*d+e

     =[（11000-1100+110-11）*a+（1100-110+11）*b+（110-11）*c+（11）*d]+（a-b+c-d+e）

可以看到中括号内必为11的倍数，所以如果（a-b+c-d+e）是11的倍数的话，就可以得到原数abcde是11的倍数； 

并且对于（a-b+c-d+e）＞0，当（a-b+c-d+e）不是11的倍数时，（a-b+c-d+e）和原数abcde对于11同余数；例如54321除以11的余数和3（5+3+1-4-2）除以11的余数相同。

 

②末三法：一个数字的末三位划分，大的数减去小的数除以11，能整除说明这个数就能被11整除。

证明：以五位数为例，假设这个数为abcde，则有

abcde=ab*1000+cde=ab*1001+（cde-ab）=[ab*7*11*13]+（cde-ab）

因为中括号内必为11的倍数，所以如果（cde-ab）是11的倍数的话，就可以得到原数abcde是11的倍数；

并且对于（cde-ab）＞0，当（cde-ab）不是11的倍数时，（cde-ab）和原数abcde对于11同余；例如12345除以11的余数和333（345-12=333）除以11的余数相同。

 

（12）被13整除特性：

①割尾法：一个数字的末一位的4倍，与剩下的数之和为13的倍数，说明这个数能被13整除。

证明：令 m=  a1+a2*10+a3*100+a4*1000……+an*10(n-1)  ，则m去掉末位后剩下的数与末位4倍的和为 n=4 a1+a2   +a3*10  +a4*100……+an*10(n-2)   

m+3n=a1*13+a2*13+a3*130+a4*1300+……+an*13*10(n-2)  = 13*[ a1+a2+a3*10+……+an*10(n-2)  ]

因为m+3n必为13的倍数，所以若m是13的倍数的话，可得n也必为13的倍数；

 

②末三法：一个数字的末三位划分，大的数减去小的数除以13，能整除说明这个数就能被13整除。

证明：以五位数为例，假设这个数为abcde，则有

abcde=ab*1000+cde=ab*1001+（cde-ab）=[ab*7*11*13]+（cde-ab）

因为中括号内必为13的倍数，所以如果（cde-ab）为13的倍数的话，就可以得到原数abcde是13的倍数；

并且对于（cde-ab）＞0，当（cde-ab）不是13的倍数时，（cde-ab）和原数abcde对于13同余；例如4321除以13的余数和317（321-4）除以13的余数相同。