关于M个球分到N个盒子的分析

    

楚香凝QQ：6872565  微信号：chu6872565

 

    前几天有考生问过其中几个，楚老师总结了一下，这类题型总共有八类，太简单的例子很多考生说不具有代表性，所以我们拿出一个相对复杂的情况M=50、N=3来逐一分析。

 

    我们先从简单的进行分析：

①50个不同的球分到3个不同的盒子，有多少种方法？

楚香凝解析：这时候是不同元素分到不同盒子里，相当于每个球都有3种选择，则总情况数=350种；

 

②50个相同的球分到3个不同的盒子，有多少种方法？

楚香凝解析：插板法的三个条件：相同元素  分到  不同盒子 、 每个盒子至少一个

这时候满足了前两个条件，我们可以这样想，先从3个盒子中各借一个球，总共变成了53个球，因为借了需要还回去，所以最后每个盒子至少要有一个球，这样就转化为----------

53个相同的球分到3个不同的盒子，每个盒子至少一个，有多少种方法？

利用插板法，C（52  2）=1326种。

 

③50个相同的球分到3个相同的盒子，有多少种方法？

楚香凝解析：

解法一：为了防止重复，我们分组时统一按照增序进行计数，这样就不会出现类似于1、2、47和2、1、47这样的重复情况。

第一个盒子为0个球，此时另外两个盒子共有50个球，组合方式有0+50、1+49…25+25，所以共26种；

第一个盒子为1个球，此时另外两个盒子共有49个球，组合方式有1+48、2+47…24+25，所以共24种；

第一个盒子为2个球，此时另外两个盒子共有48个球，组合方式有2+46、3+45…24+24，所以共23种；

第一个盒子为3个球，此时另外两个盒子共有47个球，组合方式有3+44、4+43…23+24，所以共21种；

第一个盒子为4个球，此时另外两个盒子共有46个球，组合方式有4+43、5+42…23+23，所以共20种；

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至此我们可以看到，当第一个盒子为奇数时，情况数分别为24、21、18…呈等差数列；当第一个盒子为偶数时，情况数分别为26、23、20…也呈等差数列；

我们来观察最后几种情况，

第一个盒子里为15个球，此时另外两个盒子共有35个球，组合方式有15+20、16+19、17+18三种；

第一个盒子里为16个球，此时另外两个盒子共有34个球，组合方式有16+18、17+17两种；

第一个盒子里为17个球，此时另外两个盒子共有33个球，组合方式有17+16，不符合增序，所以到此为止。

总情况数=24+21+…+3+（26+23+20…+2）=27*8/2+（28*9/2）=234种；

解法二：我们把3个盒子看做不同的话，总共有C（52  2）=1326种；不同到相同需要除以A（3 3）=6；比如说（1、 2、 47）这种分组，对于盒子不同的时候是六种，而变为盒子相同时则只有1种；但是对于（0、0、50）这种分组，对于盒子不同时候是三种，而变为盒子相同时也只有1种，所以我们对于分组时出现相同个数的情况，比如（1、1、48）这种，只需要补上3种，让其变为六种，然后就可以统一除以6进行计算。

分组出现相同个数的情况有（0、0、50）（1、1、48）（2、2、46）…（25、25、0），共26种，所以我们需要补26个3，即78，所以可得总情况数=（1326+78）/6=234种；

 

④50个不同的球分到3个相同的盒子，有多少种方法？

楚香凝解析：我们不妨以4个不同球放三个相同盒子和5个不同球放三个相同盒子入手进行归纳总结，找出相应的规律。

4个不同球放三个相同的盒子，相当于把ABCD四个球分成三组。

（0、0、4）此时只有1种；

（0、1、3）此时有C（4  1）=4种；从ABCD中选出一个即可。

（0、2、2）此时有C（4  2）/A（2  2）=3种；AB/CD、AC/BD、AD/BC。

（1、1、2）此时有C（4  1）*C（3  1）*C（2  2）/A（2  2）=6种；A/B/CD、A/C/BD、A/D/BC、B/C/AD、B/D/AC、C/D/AB。

总情况数有1+4+3+6=14种；

如果是4个不同球放三个不同的盒子，总共34种；我们可以看到

（一）对于（0、1、3）这种情况，如果是三个相同的盒子，就有4种；如果是三个不同的盒子，需要排列，就有4*A（3  3）=24种；

（二）对于（0、2、2）这种情况，如果是三个相同的盒子，就有3种；如果是三个不同的盒子，因为两个2是不同的组合，所以还是需要排列，就有3*A（3  3）=18种；

（三）对于（1、1、2）这种情况，如果是三个相同的盒子，就有6种；如果是三个不同的盒子，因为两个1是不同的组合，所以还是需要排列，就有6*A（3  3）=36种；

（四）对于（0、0、4）这种情况，如果是三个相同的盒子，就有1种；如果是三个不同的盒子，这个时候只需要选出哪一个盒子装4个球即可，是三种；

综上，对于（一）（二）（三），我们从不同盒子变为相同盒子时，可以直接除以6，而对于（四）这种，我们需要补个3，然后再除以6，综合起来就是（34+3）/6=14种；

我们可以再以5个不同球放三个相同盒子进行检验一下。

5个不同球放三个相同盒子，相当于把ABCDE五个球分成三组。

（0、0、5）此时只有1种；

（0、1、4）此时有C（5  1）=5种；从ABCDE中选出一个即可；

（0、2、3）此时有C（5  2）=10种；AB/CDE、AC/BDE、AD/BCE、AE/BCD、BC/ADE、BD/ACE、BE/ACD、CD/ABE、CE/ABD、DE/ABC。

（1、1、3）此时有C（5  1）*C（4  1）*C（3  3）/A（2  2）=10种；A/B/CDE、A/C/BDE、A/D/BCE、A/E/BCD、B/C/ADE、B/D/ACE、B/E/ACD、C/D/ABE、C/E/ABD、D/E/ABC。

（1、2、2）此时有C（5  1）*C（4  2）*C（2  2）/A（2  2）=15种；A/BC/DE、A/BD/CE、A/BE/CD、B/AC/DE、B/AD/CE、B/AE/CD、C/AB/DE、C/AD/BE、C/AE/BD、D/AB/CE、D/AC/BE、D/AE/BC、E/AB/CD、E/AC/BD、E/AD/BC。

总情况数有1+5+10+10+15=41种=（35+3）/6，可以看到除了（0、0、5）这种情况从不同盒子变为相同盒子时，需要补3，其余几种情况都可以直接除以6。

这个题目跟③的区别就在于③是相同的球，分组时只需考虑个数，组内不需要排列，而这个题目因为是不同的球，在分组的时候虽然个数相同，但是是由不同的球组成，所以变为不同盒子的时候，依然要乘以A（3  3）。只有在（0、0、x）这种情况中，从不同盒子变为相同盒子，不同盒子时是3种，相同盒子时是1种，所以要想跟其他分组归为一类，必须补一个3，使其也变为6种，再整体除以6即可。

至此，我们可以得出这个题的答案为（350+3）/6。

 

⑤50个不同的球分到3个不同的盒子，每盒至少一个，有多少种方法？

楚香凝解析：在①中我们分析过，如果去掉每盒至少一个这个条件的话，是350种，我们只需要减去有空盒的情况即可，有两个空盒的情况有3种，分别是（0、0、50）（0、50、0）（50、0、0），有一个空盒的情况，先选出空盒C（3  1），相当于把50个球放到另外的两个盒子里，每个球有2种选择，共有250种，但是这时候包括了50个球都进同一个盒子的两种情况，所以要减掉。最后总情况数为350-3-C（3  1）（250-2）=350-3*250+3。

 

⑥50个相同的球分到3个不同的盒子，每盒至少一个，有多少种方法？

楚香凝解析：相同元素  分到  不同盒子 、  每盒至少一个

插板法C（49 2）=1176种。

 

⑦50个相同的球分到3个相同的盒子，每盒至少一个，有多少种方法？

楚香凝解析：

解法一：为了防止重复，我们分组时统一按照增序进行计数，这样就不会出现类似于1、2、47和2、1、47这样的重复情况。

第一个盒子为1个球，此时另外两个盒子共有49个球，组合方式有1+48、2+47…24+25，所以共24种；

第一个盒子为2个球，此时另外两个盒子共有48个球，组合方式有2+46、3+45…24+24，所以共23种；

第一个盒子为3个球，此时另外两个盒子共有47个球，组合方式有3+44、4+43…23+24，所以共21种；

第一个盒子为4个球，此时另外两个盒子共有46个球，组合方式有4+43、5+42…23+23，所以共20种；

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至此我们可以看到，当第一个盒子为奇数时，情况数分别为24、21、18…呈等差数列；当第一个盒子为偶数时，情况数分别为23、20、17…也呈等差数列；

我们来观察最后几种情况，

第一个盒子里为15个球，此时另外两个盒子共有35个球，组合方式有15+20、16+19、17+18三种；

第一个盒子里为16个球，此时另外两个盒子共有34个球，组合方式有16+18、17+17两种；

第一个盒子里为17个球，此时另外两个盒子共有33个球，组合方式有17+16，不符合增序，所以到此为止。

总情况数=24+21+…+3+（23+20+17…+2）=27*8/2+（25*8/2）=208种；

解法二：我们把3个盒子看做不同的话，总共有C（49 2）=1176种；不同到相同需要除以A（3 3）=6；比如说（1、 2、 47）这种分组，对于盒子不同的时候是六种，而变为盒子相同时则只有1种；但是对于（1、1、48）这种分组，对于盒子不同时候是三种，而变为盒子相同时也只有1种，所以我们对于分组时出现相同个数的情况，比如（1、1、48）这种，只需要补上3种，让其变为六种，然后就可以统一除以6进行计算。

分组出现相同个数的情况有（1、1、48）（2、2、46）…（24、24、2），共24种，所以我们需要补24个3，即72，所以可得总情况数=（1176+72）/6=208种；

 

⑧50个不同的球分到3个相同的盒子，每盒至少一个，有多少种方法？

楚香凝解析：原理跟③推④类似，我们知道了50个不同的球分到3个不同的盒子，每盒至少一个，有350-3*250+3种方法，因为条件说了每盒至少一个，所以不存在（0、0、x）这种需要补3的情况，我们直接除以6即可，所以总情况数=（350-3*250+3）/6。