教过正比例和反比例这部分知识的教师，在教学时可能深有感触：教学虽能顺畅地朝前推进，但感觉学生对正比例和反比例含义的认识仍然浮在表面。从学生的作业中也可以看出来：一是判断两个量是否成正比例或反比例时，列表法呈现可能还好点，但是用语言叙述的（我称之为表述法呈现），类似“圆柱体的体积一定，底面积和高……”、“三角形的高一定，面积和底……”的问题错误率就非常高，有些学生甚至显得不知所措、无从下手；二是当面对可以用比例方法解决的问题时，许多学生往往看不出题中两种量的比例关系，不是用正（反）比例的意义特点去分析数量关系，而是完全运用方程的思想去列出等式。这充分说明学生对成正（反）比例的两种量的特点、变化规律不是很清晰，以致实际应用解决问题时就暴露出问题来了。下面，就正比例的教学谈谈我的想法。

一

　　为什么会出现这些问题呢？我想与有时教师仍在用“教教材”的思想处理教材有很大关系，表现在两个方面。
　　（一） 正比例意义的揭示过程：由定义而教定义，忽视对两种量变化规律的深入体验
　　人教版教材中对正比例意义用下定义的方法做了描述。那么教学时是不是只要引导学生对定义中提到的“两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化”和“这两种量相对应的两个数的比值一定”这两点有所体验，就可以揭示正比例概念了呢？我的回答是不能。因为定义的语句准确简洁，概括性强，重在揭示概念的本质属性。至于是否有助于学生的理解、是否有助于学生建立概念的表象，虽然也是在下定义时重点考虑的，但往往受制于科学性、简约性等因素。
　　有些教师意识到了这个问题，他们采取了一些对策。如正比例定义中的“一种量变化，另一种量也随着变化”，许多教师认为把它改成“一种量扩大，另一种量也随着扩大；一种量缩小，另一种量也缩小”（说法一），学生更易理解。还有些教师认为“这两种量相对应的两个数的比值一定”这句话，对于判断两种量是否成正比例很方便，但对于学生建立正比例概念的表象而言，可能不如“一种量扩大（或缩小）几倍，另一种量也随着扩大（或缩小）相同的倍数”（说法二）这样的描述形象。
　　严格地说，说法一和说法二联合起来也不能完整地描述正比例。等学生升至初中，就会学习正比例函数的性质：正比例函数的关系式可以表示为y=kx（k为常数，k≠0），当k＞0时，函数值y随着自变量x的增大而增大；当k＜0时，函数值y随着自变量x的增大而减小。因此，说法一和说法二其实只是描述了k＞0的情况。
　　虽然说法一和说法二不太全面，但是在小学里不会涉及k＜0这种情况，而且这样的说法跟“成反比例的两种量，一种量扩大，另一种量反而随着缩小；一种量缩小，另一种量反而随着扩大”形成对比，正好一正一反，有助于小学生更准确地把握成正比例的两种量的变化规律，有助于小学生区分正、反比例的不同，对于小学生学习正、反比例帮助很大。但是，小学这样教，到初中学生会不会被弄糊涂了？我的观点是：定义是不可改变的，但小学阶段为了能引导学生对成正比例的两种量的变化规律有深刻的体验和把握，可以引导学生进行“一种量扩大（或缩小），另一种量是扩大还是缩小”、“两种量扩大或缩小的倍数之间有什么联系”等体验，放手让学生多角度地去认识成正比例的两种量的变化特点。这样将浓缩了的正比例定义充分稀释，便于学生吸收，以帮助学生有效建立模型。等学生升至初中，随着数系的扩张和认知能力的提高，必然也能够接受k＜0的情况。如何在课堂上有效地沟通、融合以下两个活动，才是我们要思考的：多元、多角度地放手体验成正比例的两种量的变化特点，简约概括正比例的定义。

（二） 运用正比例意义判断的过程：重结论的机械运用，忽视两种量变化规律的动态体验
　　正比例的意义渗透了函数思想，从事物运动变化的角度研究两个变量之间的关系，而“变量”的“变”是通过数据来说明的，离开数据来研究量之间的关系，那就是空谈。为什么学生面对用列表法呈现两个变量关系的时候能轻而易举地正确判断是否成正（反）比例，而用表述法呈现时却错误率非常高，甚至显得不知所措、无从下手？因为列表法呈现时表格中有数据罗列，“变”的过程可以通过数据的变化看得很清晰，学生可以依托数据的变化情况作出判断。而表述法呈现时只有文字，没有数据的变化情况来帮助支撑学生的思考，有些学生就觉得无从下手了。那么，面对这种情况，教师是怎么处理的呢？我问过身边的同事，也去网上查了查，教师的诀窍很多，但基本相似，以下介绍两种。
　　方法一：告诉学生看题目中“一定”的这个量，如果“一定”的这个量是用除法计算得到的，那么另外两个变量就成正比例。如：报纸的单价一定，总价与订阅的份数成（　　）比例。因为报纸的单价一定，而报纸的单价等于总价除以订阅的份数，所以总价与订阅的份数成正比例。反之，如果“一定”的这个量是用乘法计算得到的，那么另外两个变量就成反比例。如工作总量一定，工作效率和工作时间成（　　）比例。因为工作总量一定，而工作总量等于工作效率乘以工作时间，所以工作效率和工作时间成反比例。
　　方法二：从正比例公式x÷y=k（一定），反比例公式x×y=k（一定），可以看出正比例是找一个除法关系（商一定），而反比例是找一个乘法关系（积一定）。如果将判断正比例关系的除法转化成乘法，那么判断正比例和反比例的式子就都统一到乘法关系上来：因数×因数=积。判断时分下面三步来进行：
　　第一步，列乘法关系式。正、反比例必定存在乘除法关系，若是加减法关系则直接判断不成比例。
　　第二步，划一定量。如果乘法式子中还有常量，那么一定量和常量可进行合并。
　　第三步，分析判断正、反比例。若乘法式子中一个因数一定，则成正比例；若乘法式子中积一定，则成反比例。
　　如三角形的底一定，高和面积成（　　）比例，可以这样分析：
　　第一步，列式子：a×h÷2=S；
　　第二步，划一定量：a×h÷2=S；
　　第三步，分析判断：此题中既有一定量a又有常量2，需进行合并，即a÷2×h=S，合并后因数（即a÷2）一定，所以成正比例。
　　我觉得，这样的诀窍都不可取。它不是从借助数据、研究数据入手研究两种量的变化规律，而是机械地套用字母关系式来判定。学生对要判断的两种变量的“变化情况”既无从感知，也无需感知就去判断，结果会使学生容易忽略成正（反）比例关系的两种量必须是“变量”这个最起码、最基本的认识。难怪有学生认为“直径一定，圆周率和周长成正比例”。此外，学生判断表述法呈现的两种变量的比例关系时，可能会忽视是否“一定”的判断。笔者曾经让学生说理由或者将理由用数量关系式的形式写出来，结果学生写的数量关系式错误率很高。例如，“长方形的长一定，判断面积和宽这两种量的比例关系”，学生写的关系式主要有以下几种错误：（1） 面积÷宽=长，漏写了“（一定）”——学生只关注成正比例的两种量的相除关系，却忽视比值是否“一定”的判断；（2） 面积÷长=宽（一定）或长×宽=面积（一定）——学生搞不清变量与常量的含义，对变量的“变”感悟不够。
　　因此，我觉得判断两种量的比例关系，特别是面对表述法呈现的两种量时，应该淡化结论的机械运用，而重视两种变量隐性动态变化的显性展现。

二

　　为了尽可能地在课堂上实现“对成正比例的两种量变化特点的多元、多角度的放手体验”和“对正比例定义的简约概括”这两者的有效沟通、融合，我尝试用下定义的方法引导学生自主探索、逐步概括，形成正比例概念，收到良好的效果。
　　（一） 教学邻近的属概念--相关联的量
　　出示：（　　）÷（　　）=4。
　　师：你想到什么？
　　生：被除数可能是8，除数是2。
　　师：如果除数是1--
　　生：被除数是4。
　　师：如果除数是2.5--
　　生：被除数是10。
　　……
　　形成下表：
    ①
    被除数   4   8   10   12   16   ……
    除数     1   2   2.5  3   4    ……
　　师：除数变，被除数呢？
　　生：也要变，要不商就不是4了。
　　师：一种量变化，另一种量也随着变化，我们就说这两种量是两种相关联的量。像这里的被除数和除数，除数变了，被除数肯定也会随着变化，所以我们就说被除数和除数是两种相关联的量。
　　教师让学生判断下面的两种量是不是相关联的量：
    ② 六（1）班的分组情况
    每组人数   20   10   8   5   4
    班级组数   2    4    5   8   10
    ③ 哥哥与弟弟的年龄情况
    哥哥年龄   10   15   20   25   30
    弟弟年龄   3     8   13   18   23
    ④
    时间（时）  1    2    4   7    10   ……
    路程（千米）15   30   60  105  150  ……
　　⑤ 圆周长和圆周率。
　　⑥ 王叔叔的年龄和身高。
　　下定义是揭示概念内涵的逻辑方法，是把概念所反映对象的本质属性揭示出来，表达一般用“种差 邻近的属概念=被定义概念（种概念）”的形式。教材中对正比例概念的定义可以看作采用了这种形式：“两个相关联的量”是“邻近的属概念”，“这两种量相对应的两个数的比值一定”相当于“种差”。而学生对“相关联的量”是陌生的，所以课始着重引导学生认识什么是相关联的量，并提供以各种各样不同类型、不同形式呈现的两种量开阔学生的视野，使学生明白两种量之间的关系是多种多样的，并在比较辨析中准确把握相关联的两种量的特征，为进一步教学做好准备。另外，⑤⑥纯文字形式的呈现，使学生意识到要借助数据才能研究（可以通过设数、列举等方法）。

（二） 巧用排除，分析种差--体悟成正比例的两种量的特点
　　师：这节课，我们学习成正比例的量，什么是成正比例的量呢？（教师把上面⑤⑥中的两种量都打上“×”）这两题中的两种量都不是成正比例的量，你知道成正比例的量首先要符合什么条件吗？
　　学生回答后，教师再指出②中的每组人数和班级组数这两种量也不是成正比例的量（打上“×”），让学生思考成正比例的两种量还有什么特点。
　　同样待学生比较和回答后，教师最后指出③中的哥哥年龄和弟弟年龄这两种量也不是成正比例的量（打上“×”），只有①和④中的两种量成正比例。让学生仔细观察后思考：成正比例的两种量还有什么特点？
　　这样边排除边引导学生比较、思考、体验成正比例的两种量的多元特征：
　　① 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化；
　　② 一种量扩大，另一种量也随着扩大；一种量缩小，另一种量也随着缩小；
　　③ 一种量扩大几倍，另一种量也随着扩大相同的倍数；一种量缩小几倍，另一种量也随着缩小相同的倍数；
　　④ 这两种量是相除关系；
　　⑤ 这两种量相对应的两个数的比值一定。
　　成正比例的两种量与其他相关联的两种量存在着哪些本质的区别呢？这里我巧妙地设计了“逐步排除”的环节，有效地引发学生对“被排除”与“未排除”的比较辨别，使学生逐步发现了成正比例的两种量与其他相关联的两种量的一些区别，明确了概念的内涵和外延。更重要的是，通过比较、辨别、找寻“不同”，使学生多角度、全方位地对成正比例的两种量的变化规律进行充分地感知、体验，在头脑中形成丰富的表象。
　　（三） 整合信息，简约表达--感悟判断方法，形成定义
　　师：判断下面题中的两种量是不是成正比例的量。
　　（表格式呈现的两种量四题，题略）
　　指名回答后，教师引导：谁有更简单省力的办法？（判断两种量是不是成正比例，是不是要对上面的这些特点一一验证呢？）
　　着重引导学生审视成正比例的两种量的多元特征，通过比较、辨析，使其明白：根据比的基本性质（或商不变性质），有特征③必有特征⑤，有特征⑤必有特征③，⑤与③两者只要判其一即可，而一般情况下⑤比③易判，再加上有⑤必有④，有③必有②，因此判断两种量是否成正比例时只要考虑特征①和⑤。从而揭示出正比例的概念。
　　读书的最高境界是将书读厚再读薄，厚积而薄发。上述正比例定义的学习过程与之颇有异曲同工之处。在引导学生给正比例下定义的过程中使学生对正比例的认识经历了由“厚”到“薄”的解读，使学生对正比例量的特点及定义的形成了然于胸，而且还让学生在这个过程中初步体验给概念下定义的方法和过程，同时比较辨析能力、信息筛选能力、归纳概括能力等也得到锻炼。
　　（四） 借助数据、字母，突破呈现方式障碍
　　上面谈到“学生面对用列表法呈现两个变量关系的时候能轻而易举地正确判断是否成正（反）比例，而用表述法呈现时错误率却非常高，甚至显得不知所措、无从下手”的原因是学生的思维缺少数据支撑，使得学生的学习与上面“表格式呈现方式”衔接不上，出现了断层；再加上教师引导时重结论的机械运用，却忽视两种量变化规律的动态体验，使学生刚刚清晰的正比例一下变得扑朔迷离。如何与上面的表格式呈现方式做好衔接，使学生的概念学习不致受到阻碍，我做了如下尝试——

教师出示：平行四边形的高一定，面积和底是不是成正比例关系？（肯定有很多学生无从下手，一片茫然）
　　教师可以引导：为什么表格式呈现时大家很容易判断，而这样却无从下手了呢？
　　生：表格式有数字，而这个没有。
　　师：遇到不会的问题，我们要想办法把它转化成会的问题，这是我们数学里面比较常用的解决问题的好方法。（渗透化归思想）表格式的我们会判断了，如果能把它变成表格式的话，那么问题就解决了。你有办法把它变成表格式吗？（出示空白表格）
　　接着，教师选择一些有代表性的填法呈现给学生，让学生在互动交流中明确怎样的填法是对的、怎样的填法是错的。通过填表、交流、辨析，不但可以使学生对变量和常量有进一步深入的认识，而且对成正比例的两种量的变化规律也会有进一步的体验。然后引导学生观察表格中数据的特点，判断面积和底到底成不成正比例。
　　（当然，这样的操作是比较麻烦的，特别是数据的假设，要先计算，很费时费力，所以教师还要进一步引导学生向更高层次的水平迈进）
　　师：变成表格式后，我们可以很轻松地进行判断了。但是，变成表格式要假设数据，要先计算，很费时费力，有没有更好的办法呢？（还有好方法啊，学生顿时振奋许多）我们学过用字母表示数，如果请字母来帮忙，会省却很多麻烦！
    平行四边形的面积    A1    A2    A3    A4    A5    A6
    平行四边形的底
　　（A1、A2、A3、A4、A5、A6表示不同的数字，并且A1＜A2＜A3＜A4 ＜A5＜A6。）
　　假如对应的平行四边形的底用B表示，这6个B相等吗？
    平行四边形的底    B    B    B    B    B    B
　　生：不会相等，因为要想高不变，平行四边形的面积变了，那么底也要变，6个A不相等，所以6个B也不相等。
　　师：哪个B最大，哪个B最小？你能把这6个B的大小顺序指出来吗？
　　根据学生的回答，形成：B1＜B2＜B3＜B4＜B5＜B6，并完成表格。
　　师：表格完成了，你能根据这张字母表格判断平行四边形的面积和底成不成正比例吗？
　　最后引导学生得出：
　　A1÷B1=平行四边形的高；
　　A2÷B2=平行四边形的高；
　　……
　　A6÷B6=平行四边形的高。
　　因为平行四边形的高一定，所以A1÷B1=A2÷B2=……=A6 ÷B6，商（比值）一定，平行四边形的面积和底成正比例。
    这样引导，将表述法呈现和表格法呈现很好地衔接起来，借助数据、字母使学生的思考有了依托，使抽象的思考具体了许多，还使学生感受到字母表示的优越性。