加载中…【五年级数学】长方体的认识知识总结
(2020-03-29 17:37:59)
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五年级数学 |
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知识要点：
（1）长方体
由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。分别用字母a、b、h表示。
（2）长方体特点
1、有6个面，8个顶点，12条棱，相对的面的面积相等，相对的棱平行，且的长度相等。
2、一个普通的长方体最多有6个面是长方形，最少有4个面是长方形，最多有2个面是正方形。
（3）正方体
由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。
（4）正方体特点
1、正方体的12条棱长度都相等。用字母a表示。
2、正方体的6个面都是正方形，每个面的面积都相等。
3、正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。
（5）能围成正方体的展开图（共11种）
（6）棱长计算公式
长方体的棱长总和＝长×4+宽×4+高×4
L=（a＋b＋h）×
4
正方体的棱长总和=棱长×12
L=a×12
（7）表面积
长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积。
（8）表面积计算公式
长方体的表面积 =
长×宽×2＋长×高×2＋宽×高×2
S=2（ab＋ah＋bh）
做具体题目时要注意有无盖、底。例如：
油箱、罐头盒等都是6个面
游泳池、鱼缸等都只有5个面
水管、烟囱等都只有4个面。
（9）表面积的增加
1、用刀分开物体时，每分1次增加2个面。
2、长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积会按倍数的平方关系扩大。
（10）体积
物体所占空间的大小叫做物体的体积。
（11）体积单位
常用的体积单位有立方米（m3）、立方分米（dm3）、立方厘米（cm3）等。
体积相邻单位间的进率是1000
1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米
1立方分米＝1000立方厘米
（12）体积计算公式
长方体的体积=长×宽×高
V=abh
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
V=
a3，读作“a的立方”表示3个a相乘（即a×a×a）
（13）底面积
长方体或正方体底面的面积叫做底面积。有些题目求占地面积，其实也是在求底面积。
长方体（或正方体）的体积=底面积×高，
用字母表示：V=S
h
应用这个公式，有时会用横截面积代替底面积，用长代替高。
（14）容积
箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。
（15）容积单位
固体的容积一般就用体积单位
计量液体的容积，如水、油等。常用的容积单位有升（L）和毫升（mL）。
1升=1立方分米（1L =
1dm3
1毫升=1立方厘米（1mL = 1cm3）
1升=1000毫升（1L = 1000mL）
（16）容积的计算
1、形状规则的物体可以用公式直接求体积
例如长方体或正方体容器，容积的计算方法，跟体积的计算方法类似。但注意要从容器里面量长、宽、高。所以，对于实际物体，体积大于容积。在数学模型中，常忽略容器壁厚，此时容积近似等于体积，计算方法与体积相同
2、形状不规则的物体可以用排水法求体积
1）排水的状态分为三种
当满满一杯水放入物体，水会溢出。
当水面离杯口较远，水面会上升。
当水面接近杯口，水面上升至杯口后溢出。
2）水面升高的排水法计算公式：
V物体
=V现在－V原来
3）注意，物体因高度较高没有完全浸入水下时，排水的体积是物体浸没在水中部分的体积。
容易错的概念：
（1）一个长方体中，如果有两个面是正方形，则这个长方体一定是正方体。（×）
一个普通的长方体有可能存在相对两个面是正方形的情况
（2）一个长方体中，如果相邻的两个面是正方形，则这个长方体一定是正方体。（√）
如果相邻两个面都是正方形，那么说明相交于一个顶点的三条棱都相等
也就是说这个长方体的长、宽、高都相等，只能是正方体了。
（3）正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体。（√）
（4）正方体棱长是6厘米时，它的体积和表面积相等。（×）
棱长是6厘米的正方体。
体积为6×6×6=216（cm3），
表面积为6×6×6=216（cm2）
虽然数值相同，但单位不同，无法比较大小，不能认为他们是相等的。
（5）正方体棱长是6厘米时，它的体积和表面积数值大小相等。（√）
注意与上一道题的区别。
（6）表面积相等的两个长方体，体积也相等。（×）
比如一个长方体，长、宽、高分别是6、4、2。
另一个长方体，长、宽、高分别是10、2、2
它们的表面积分别是
6×4×2+6×2×2+4×2×2=88
10×2×2+10×2×2+2×2×2=88
它们的体积分别是
6×4×2=48
10×2×2=40
常见题型：
（1）一粒黄豆的体积大约是0.25（立方厘米），一块橡皮的体积大约是10（立方厘米），一块火柴盒的体积大约是20（立方厘米），一个文具盒的体积是200（立方厘米），一组大衣柜的体积大约是4（立方米），钢笔吸一次墨水大约是2（毫升），一袋早餐奶约250（毫升），大瓶可乐约2.5（升），一个游泳池的容积约150（立方米）。
（2）下面正方体的棱长总和是（60）cm、表面积是（150）cm2、体积是（125）cm3。
正方体有12条棱，总棱长=12×5=60（cm）
正方体有6个面，表面积=6×5×5=150（cm2）
体积=5×5×5=125(cm3)。
（3）要拼出一个大正方体，至少要用（8）个相同的小正方体。
（4）如果正方体的棱长扩大到原来的3倍，棱长总和扩大到原来的（3）倍、表面积扩大到原来的（9）倍、体积扩大到原来的（27）倍。
（5）用丝带捆扎长宽高分别是34厘米、22厘米、8厘米的礼品盒，如下图，接头处长60厘米。至少需要准备（20.4）分米的丝带。
至少需要34×2+22×2+8×4+60=204(厘米)。
注意单位换算，答案是204÷10=20.4(分米)。
（6）一个领奖台的尺寸如图所示（单位分米），现在要给它涂上油漆（底面不涂）。涂漆部分的面积有（240）平方分米。
正面涂漆面积：4×6+4×7+4×4=68（平方分米）
背面涂漆面积=正面涂漆面积=68（平方分米）
左面涂漆面积=4×7=28（平方分米）
右面涂漆面积=4×7=28（平方分米）
上面涂漆面积=4×4+4×4+4×4=48（平方分米）
至少需要68+68+28+28+48=240（平方分米）
（7）如下图所示的一根长方体木料截成4段，表面积比原来增加（A）平方厘米。
截成4段也就是截3次，每截一次增加2个截面，共3×2=6（个）截面
增加的表面积=6×6×6=216（cm2）
（8）一个正方体切成8个小正方体后表面积变为原来的（2）倍。
设切成小正方体后棱长是a，则小正方体总的表面积为8×6a2=48a2
大正方体棱长为2a，表面积为6×2a×2a=24a2
48a2 24a2
（9）一个长方体的表面积是420平方厘米，这个长方体正好可以截成3个相同的小正方体，则每个小正方体的表面积是（180）平方厘米。
设截成的小正方体棱长是a，则每个小正方体的表面积为6a2
没截之前的长方体，长为3a、宽和高都为a
表面积=4×3a2+2×a2=14a2=420（平方厘米）
解得a2=30，即6a2=6×30=180（平方厘米）
（10）一个长15cm，宽12cm，体积1.44dm3的包装盒，想用它装长13cm，宽7cm，高9cm的花瓶，（A）装得下。
A.能 B.不能
包装盒体积=1.44dm3=1440cm3
包装盒的高=1440÷15÷12=8（cm）
计算后发现：包装盒的长15cm＞花瓶的长13cm，包装盒的宽12cm＞花瓶的宽7cm，
但是包装盒的高8cm＜花瓶的高9cm
此时不要着急得出装不下的结论，可以尝试将花瓶调整一下方向再装。
包装盒的长15cm＞花瓶的长13cm，
包装盒的宽12cm＞花瓶的高9cm，
包装盒的高8cm＞花瓶的宽7cm，
所以是能装得下的。
（11）一个长18cm，宽12cm，体积4.32dm3的包装盒，想用它装长15cm，宽10cm，高22cm的花瓶，（B）装得下。
A.能 B.不能
包装盒体积=4.32dm3=4320cm3
包装盒的高=4320÷18÷12=20（cm）
包装盒的长、宽、高均小于花瓶的高22cm，所以不管如何调整方向也不能装得下。
（12）一个鱼缸长6dm，宽2dm，里面装水4.4dm，放入8条金鱼后，水面上升到4.5dm。平均每条小鱼的体积约是（0.15）dm3。
本题考察排水法，放入物体的体积等于水面升高部分的体积。
求8条小鱼的总体积：V=s×（h现在－h原来）=6×2×（4.5-4.4）=1.2（dm3）
每条金鱼平均体积=1.2÷8=0.15（dm3）
（13）把一个底面直径是2分米、高3分米的圆柱形容器装满水，垂直插入一根底面积0.6平方分米，高是4分米的方钢，溢出水的体积是（1800）ml。
本题考察排水法中，装满水的容器放入物体后水会溢出的情况。
但是要注意，这里的物体高度较高，无法全部放入水中。
所以排开水的体积只是最后浸在水面下部分的体积。
V=sh=0.6×3=1.8（立方分米）
1.8×1000=1800（立方厘米）=1800（ml）
（14）下图是一个长方形容器，里面的水深5.6dm。把一个南瓜放入（南瓜全部浸没在水中）后，从容器里溢出4L水。这个南瓜的体积是（14）dm3。
本题属于排水法中，水面接近杯口，放入物体后水面先上升至杯口，然后溢出的情况。
水面上升部分的体积：V=sh=5×5×（6-5.6）=10（dm3）
溢出的水有4L即4dm3
所以南瓜的体积等于两部分体积和：10+4=14（dm3）
拓展题型：
（1）下图是一个厚度均匀的硬纸壳，尺寸如图所示。单位：厘米。这个纸盒的表面积是（1552）平方厘米。
这道题求不规则图形的表面积，思路是把它变成规则图形。
纸盒的表面积包括底部的外表面、四个侧面的外表面、四个侧面的内表面、四个侧面的上表面以及底部的上表面。
想象一下把底部的上表面升高，则可以和四个侧面的上表面组成一个大长方形。
而这个大长方形加上底部的外表面和四个侧面的外表面，其实就是长方体的表面积
于是这道题变成了求长方体表面积加上4个侧面的内表面
S=（20×16+20×8+16×8）×2+16×6×2+12×6×2=1552（平方厘米）
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