1．向量的有关概念

(1)向量：既有     ，又有        的量叫向量；向量的大小叫做向量的    ．

(2)零向量：长度为     的向量，其方向是    的．

(3)单位向量：长度等于          的向量．

(4)平行向量：方向      或      的非零向量，又叫   向量，

规定：         与任一向量共线．

(5)相等向量：长度      且     相同的向量．

(6)相反向量：长度      且方向     的向量．

2．向量的线性运算

向量运算	定义	法则(或几何意义)	运算律
加法	求两个向量和的运算	三角形法则   平行四边形法则	(1)交换律：               ； (2)结合律： (a＋b)＋c＝
减法	求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差	三角形法则	a－b＝a＋(－b)
数乘	求实数λ与向量a的积的运算	(1)|λa|＝       ； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向     ；当λ＜0时，λa的方向与a的方向   ；当λ＝0时，λa＝     ;	λ(μ a)＝        ； (λ＋μ)a＝        ；    λ(a＋b)＝        ；

 

3．共线向量定理

向量a(       )与b共线的充要条件是存在      一个实数λ，使得         。

[试一试]：1．若向量a与b不相等，则a与b一定(　　)

      A．有不相等的模　　　     B．不共线

      C．不可能都是零向量       D．不可能都是单位向量

2．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________.

 

1．向量的中线公式:

若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则＝            ．

2．三点共线等价关系:A，P，B三点共线⇔＝λ (λ≠0)⇔＝            (O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔＝             (O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝       )．

[练一练]：1．D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于(　　)

A．－＋2(1)                           B．－－2(1)

C．－2(1)    D．＋2(1)

2．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.

 

考点一

向量的有关概念

 

1.给出下列命题：

①若|a|＝|b|，则a＝b；   ②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；   ③若a＝b，b＝c，则a＝c；

④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；   ⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.

其中正确命题的序号是(　　)

A．②③　　　　B．①②      C．③④       D．④⑤

2．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是(　　)

   A．0    B．1    C．2    D．3

平面向量中常用的几个结论

(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．

(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时不要把它与函数图像的平移混为一谈．

(3)|a|(a)是与a     的单位向量，－|a|(a)是与a     的单位向量．

考点二

向量的线性运算

 

[典例]　(1) 如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　)

A．0　　　　　B．         C．     D．

(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝2(1)AB，BE＝3(2)BC.若＝λ1＋λ2 (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．

[针对训练]：若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：

①＋＝＋； ②＋＝＋；

③－＝＋.其中正确的有(　　)

A．0个       B．1个    C．2个      D．3个

考点三

共线向量定理的应用

 

[典例]　设两个非零向量a与b不共线，

(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，

求证：A，B，D三点共线．

 

 

 

 

[课堂练通考点]

1．给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．

②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．

③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零．   ④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．

其中错误的命题的个数为(　　)

A．1　　　　B．2      C．3       D．4

2.如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝(　　)

A．a＋4(3)b　　　　B.4(1)a＋4(3)b        C.4(1)a＋4(1)b      D.4(3)a＋4(1)b

3．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝(　　)

 A．a　　　　　　B．B          C．c        D．0

4.如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于D，若AB＝4，且＝4(1)＋λ (λ∈R)，则AD的长为(　　)

A．2      B．3        C．4       D．5

5．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．

6．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝________.

  [课下提升考能]

1．设a、b是两个非零向量(　　)

A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b

B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|

C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa

D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|

2．设D，E，F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与 (　　)

A．反向平行  B．同向平行   C．互相垂直  D．既不平行也不垂直

3．在△ABC中，N是AC边上一点，且＝2(1)，P是BN上的一点，若＝m＋9(2)，则实数m的值为(　　)

   A.9(1)       B.3(1)        C．1       D．3

4．已知平面内一点P及△ABC，若＋＋＝，则点P与△ABC的位置关系是(　　)

A．点P在线段AB上        B．点P在线段BC上

C．点P在线段AC上        D．点P在△ABC外部

5．设O在△ABC的内部，且有＋2＋3＝0，则△ABC的面积和△AOC的面积之比为(　　)

A．3           B.3(5)           C．2          D.2(3)

6．(2013·淮阴模拟)已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.