从“截一个几何体”对圆锥曲线进行再思考

 

邱 凌

（成都列五中学  四川  610017）

 

摘要：现行的新课程北师大版初中数学教材在开篇第一章《生活中的立体图形》中有这样一节内容：用平面截几何体，教学的目标之一是要求学生掌握同一种几何体的不同截面形状。但是在具体的教学中，却有学生提出这样一个问题：用平面截一个圆锥，得到的只能是圆和三角形吗？

从这个问题出发，通过对圆锥曲线进行理论和实践两方面深入的研究，找到了在初中阶段让刚接触到立体几何的初中生掌握截圆锥体产生的曲线的知识，并在一定程度上让学生了解“圆锥曲线”这个概念。可以说是对教材这部分内容的进一步提升，同时对教师在教学中的理论指导起到了引领作用。

 

 

 

关键词： 几何体   截面   圆锥曲线   母线   椭圆   抛物线   双曲线

 

 

一、问题的提出

 

送完了一届学生，又迎来了新一届学生。仔细算算，这已是我教的第三届学生了。和往届一样，教学还是按部就班的进行着，教学内容还是没变，教学思路也是依旧，教学方法、教学过程……我仿佛犯了经验主义，这些好像都用不着改变。正当我在教学的轮回中沉沦的时候，当头一声棒喝把我惊醒。学生不再是以前的学生，他们不再满足于教学的要求——他们向我提出：“用一个平面截圆锥的过程中，截出的图形是否一定是三角形或圆？”“为什么用平面截正方体的时候有斜着截的情况，而截圆锥却没有呢？”“如果斜着截一个圆锥，会得到什么样的图形呢？”……

通常遇到这样的情况，我都会鼓励学生课后亲自动手试着截一下，那样会得到答案。因为教参中对这种截法进行了回避，知识与能力目标要求学生掌握圆锥的纵截面和横截面，情感、态度与价值观目标也只是培养学生实际动手能力和协作能力。在一般教学中，这类问题都是能避免则避免，避免不了也只是有针对性的给部分学生讲讲。这也符合学校“教什么，考什么；考什么，教什么”的要求。但是，学生们却并不善罢甘休，他们穷追不舍：“截出来的面像椭圆，是不是斜着截就产生椭圆呢？”“不对，有的时候也不是椭圆，比如垂直底面截，只能得到椭圆的一部分”

学生的问题引起了我的思考：“是啊，正方体都要斜着截，为什么圆锥、圆柱又没有斜着截呢？” 而且对于学过椭圆的人来说，如果截出来的都是椭圆，那么它们的方程是什么呢？特别是学生提出的“垂直于底面截”，这样截出来的肯定不是椭圆！因为圆锥如果往底面无限延伸的话，这会是一个怎样的椭圆啊？！

学生提出的“简单”问题一时间难住了我，让我不得不对这个问题进行仔细的思考，如何利用学生已有的知识来为他们讲解这部分内容，这就是我目前面对的问题。

 

二、问题的理论探讨

 

圆锥曲线包括椭圆、双曲线、抛物线，它的发展还得追溯到公元前4世纪，当时希腊有位著名的学者叫梅内克缪斯，他试图解决数学上的著名难题“倍立方问题”——即用无刻度的直尺和圆规把立方体体积扩大一倍。他把直角三角形 的 的角平分线作为轴，旋转三角形 一周，得到曲面 （如图 1）。用垂直于 的平面去截此曲面，可得到曲线 ，梅内克缪斯称之为“直角圆锥曲线”。他想以此解决“倍立方问题”，但未获成功。

但是他随后就对“圆锥曲线”进行了专门的研究。他发现：若以直角三角形 中的长直角边 为轴旋转三角形 一周，得到曲面 （如图2）；用垂直于 的平面去截此曲面，其切口为一曲线，他称之为“锐角圆锥曲线”；若以直角三角形 中的短直角边 为轴旋转三角形 一周，可得到曲面 （如图3）；用垂直于 的平面去截此曲面，便得到切口曲线 ，他称之为“钝角圆锥曲线”。当时希腊人对平面曲线还缺乏认识，而上述三种曲线均是以“圆锥曲面”为媒介得到，因此被称为圆锥曲线的“雏形”。

经过约二百年的时间，希腊的两位著名数学家阿波罗尼奥斯和欧几里得在圆锥曲线的研究方面取得重大突破。阿波罗尼奥斯在他的著作《圆锥曲线论》中，系统地阐述了圆锥曲面的定义及利用圆锥曲面生成圆锥曲线的方法，而且还对圆锥曲线的性质进行了深入的研究，他发现：

①椭圆、双曲线任一点 处的切线与 ， （ 为两定点，后人称之为焦点）的夹角相等；

②对于椭圆， （ 为常数，且大于 ）；

③对于双曲线， （ 为常数，且小于 ）．

但是，阿波罗尼奥斯对抛物线没有发现这类性质。欧几里得在他的巨著《几何原本》里描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义。

又经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《汇篇》中，完善了欧几里得的关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明。他指出，平面内一定点 和一定直线 ，从平面内的动点 向 引垂线，垂足为 ，若 的值一定，则当 的比值小于 时，动点 的轨迹是椭圆，等于 时是抛物线，大于 时是双曲线。至此，圆锥曲线的定义和性质才比较完整地建立起来，我们得到了圆锥曲线的定义：

到定点的距离与到定直线的距离的比 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当 时为椭圆；当 时为抛物线；当 时为双曲线.

以下则是目前我们对各类圆锥曲线的定义和方程：

1.圆：到一个定点的距离为定长的点的集合

参数方程：

直角坐标:

2.椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即：

参数方程：

直角坐标（中心为原点）：

3.双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即

参数方程：

直角坐标（中心为原点）：  (开口方向为 轴）；

(开口方向为y轴）

4.抛物线：到一个定点和一条定直线的距离相等的动点轨迹叫做抛物线。

参数方程： ( 为参数)

直角坐标： (开口方向为 轴, )

(开口方向为 轴, )

三、问题的实践探讨

 

以上是圆锥曲线在理论方面发展和定义，那么在实践当中我们如何来实现以上的曲线呢？也就是说，当我们回到最初，如何以理论为基础来正确的引导学生获得以上的曲线。通过理论方面对圆锥曲线的再次深刻认识，我认为关键是如何区分以上四类曲线。

第一类曲线——圆，由于它的普遍存在性和形状的特殊性，同学们对其有着自然的基本识别，这种识别虽然是建立在日常实践当时，可是足以将其正确辨识出来。

第二类曲线——椭圆，也由于日常生活中的普遍性，同学们也能区分这种可以称之为“不规范”的圆。

以上两类都是封闭的曲线，和第三类和第四类有着本质的区别。那么，第三类曲线——抛物线和第四类曲线——双曲线，这两类不封闭的曲线，从形状上看非常的相似，那么如何区分它们呢？

通过对这两类曲线方程的深刻认识，我们很容易知道，双曲线有两条相交直线作为其渐近线——也即在无穷远处，它们的斜率绝对值是一样的；而抛物线却没有以上的性质。

有了以上的基础认识以后，利用平面来“切割”圆锥曲面就可以得到下面的各种曲线：

1.产生圆。首先曲线必须封闭，因此水平倾斜角度应该小于 ，即切割面在母线和水平线之间。封闭后，由于圆是中心对称图形，因此，水平倾斜角度应该为 。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2．产生椭圆。即在曲线封闭的前提下，形状必须不“规范”，因此水平倾斜角度应该在 到 之间。

3.产生抛物线。通过对以上两种曲线的切割，我们发现 是一个很特殊的角度，因为在该角度上存在圆锥曲面的母线，也就是圆锥曲面的侧表面。因此，我们以这个特殊角度为水平倾斜角做切割，得到了此类曲线。

4．产生双曲线。当水平倾斜角度在 到 之间时，我们又得到一类不封闭的曲线，但是此次这类曲线是成双出现的。

通过对圆锥曲面切割的实践过程，再结合其对应的数学方程，我们将切割平面的角度作了以下很自然的区分，即以 ， ， 这三个值来对切割角度进行分类。然后通过切割时产生了一支不封闭曲线（抛物线）和两支不封闭曲线（双曲线）来对抛物线和双曲线行进区别。

 

四、问题的初级表述

 

最后，则是对学生提出问题的解答，为了更深刻和直观的回答问题，我们需要在具体实践中来完成。

在我的指导下，学生利用橡皮泥做成圆锥的实物模型，然后拿小刀对其进行切割。通过多位同学的多次切割，接下来我们只需要对其进行分类和命名。

利用以上四种曲线的区别，首先很容易区分封闭类（圆和椭圆）和不封闭类（直线，抛物线和双曲线）。在封闭类中，同学们能够自行利用生活中获得的直观认识来区分圆和椭圆。在不封闭类中，切割时恰好仅能出现一条曲线的时候得到的曲线叫抛物线，能出现两条曲线的时候得到的曲线叫双曲线，并且利用“双”字来强调成对出现的结果。这时，学生就能基本认识以上几种曲线了。

 

 

 

 

参考文献：

1. 王佩其. 《圆锥曲线的产生与发展》. http://www.mathschina.com

2. 刘美. 《椭圆的定义及标准方程教学设计》.

3. 郑英昇. 《圆锥曲线的定义在解题中的应用》.

4. 张志让 刘启宽. 《大学数学基础教程（三）线性代数与空间解析几何》. 高等教育出版社