第一类     分数、百分数的应用

 

典型例题

1、一只足球的表面积是黑白相间的皮拼接而成的，现知道黑色皮块的块数是白色皮块的块数的 ，如果黑色皮块共有12块，那么这只足球上黑白皮块共有几块？

2、小丽计划三天看完一本书，第一天看了全书的 ，第二天看了全书的 ，那么第三天小丽应该看完全书的几分之几呢？

3、某工厂去年产量是280吨，如果今年该厂计划产量是350吨，那么今年该厂计划比去年增产及分之几？

4、某小区的房价（平均价）原来是每平方米4200元，现上涨了30% ，

   （1）那么现售价为每平方米多少元？

   （2）买房子还需交纳总房价的1．5% 的契税，一套120平方米的房子，按现价买应付多少元？

5、2002年12月3日，在摩纳哥举行国际展览局第132次大会，确定2010年世博会主办城市，在最后一轮投票中，共有88个成员国参加了投票，中国上海赢得了54票，成为2010年世博会的主办城市。问上海在这一轮投票中的得票率是多少？

6、汽车配件厂每天生产汽车零件1000个，其中次品有25个。求产品的合格率。

7、某商店四月份的营业额是25万元，五月份的营业额是27万元，求五月份的增长率是多少？

8、（统计问题）下图是某学校七年级学生考试成绩的分布图。如果该年级学生总人数是308名，根据图表中的数据，分别计算出分数在81～85、86～90、91～95的人数占学生总人数的百分比。

分数	60—75	76—80	81—85	86—90	91—95	96—100
人数	19	68	126	62	27	6

9、（恩格尔系数问题）经济学家将家庭或个人在食品消费上的支出与总消费支出的比值称作恩格尔系数，

即

恩格尔系数=消费支出总额÷食品消费支出总额×100%

恩格尔系数可以用来刻划不同的消费结构，也能见解反映国家不同的发展阶段，联合国粮农组织的规定如下表所示：

恩格尔系数	恩格尔系数	恩格尔系数	恩格尔系数	恩格尔系数
大于或等于60%	在50%～60%之间	在40%～50%之间	在30%～40%之间	小于30%
绝对贫困	温饱	小康	富裕	最富裕

（注：在50%～60%之间是指含50%而不含60%的所有数据，以此类推。）

根据上表，结合我国城市和乡村居民的恩格尔系数，请你判断下列年份属于哪个阶段。

	年份	1978年	1995年	2001年
恩格尔系数
城市		57.50%	49%	37.90%
乡村		67.70%	58.60%	47.70%

10、（盈亏问题）甲商店以每件200元的批发价购得100件衬衫，以每件售价280元卖出，乙商店以每双300元的批发价购得100双皮鞋，以每双390的售价卖出，见下表：

品  种	成 本	售 价	盈 利
衬  衫	200元	280元	280-200=80元
皮  鞋	300元	390元	390-300=90元

试问：卖衬衫和卖皮鞋，甲商店与乙商店哪家店的盈利率更大？

14、商店里的某件商品的原价是360元，现在降价72元后出售，这件商品的售价打了几折？

15、（利税问题）小杰将1500元存入银行，月利率是0.11%。存满一年，到期需支付20%的利息税。求到期后小杰可拿到税后利息多少元。

16、（利税问题）李先生以4.5%的年利率向银行贷款12万元，借期五年，以单利计算，到期时支付的利息是多少元？

解法指导：这类应用问题比较简单，在这里不一一解答，只做归纳总结。解答分数、百分数应用题的步骤是：一找，二看，三判断。

一找既找出单位“1”是谁？怎样找单位“1”是学生最头痛的问题。这里说说我的看法：有的看的前，有比看比后既在应用题的叙述中找这两个关键的字眼。
    二看既看单位“1”知道不知道。在题目中找单位1的量告诉没有。
    三判断既如果单位“1”知道用乘法，单位“1”不知道用除法。或者说求单位“1”的量用除法，不是求单位“1”的量用乘法，但量与率必须相对应。
到复习时，我们必须进一步概括，分数、百分数应用题概括为三种类型：（1）普通型，（2）增加型，（3）减少型。单位“1”的量定为标准量，另一个（一个数的几分之几是多少的量）量叫比较量。量与率必须相对应，增加型的分率为（1+增加的分率），减少型的（1-减少的分率），求标准量用除法，求比较量用乘法，或者仍然采用解题步骤中第三步进行解决。这是教学的一个过程，到复习时“点精”，学生解决分数、百分数的应用题问题容易解决多了。

 

 

第二类     有理数的加减法的应用

典型例题

1、已知一辆运货物的卡车从A站出发，先向东行驶15千米，卸货之后再向西行驶25千米装上另一批货物，然后又向东行驶20千米后停下来，问卡车最后停在何处？

2、上海冬天的某两天的天气温度情况如下表所示：

	最高温度（）	最低温度（）
第一天	9.1	2.3
第二天	5.2	－2.3

 两天中哪天的温差比较大？

解法指导：第一步：将所有数据用正负数表示；第一步：根据题目要求，将有理数用“＋”连接。注意最后所得结果的正负号的实际意义。

第三类     一元二次方程（组）的应用

 列一元二次方程解应用题的一般步骤：“审”、“设”、“列”、“解”、“答”五环节，其中正确找出应用题的等量关系是列一元二次议程应用题的难点所在，我认为可以采取如下方式探寻等量关系。首先要正确熟练地作语言与式子的互化；其次充分运用题目中的所给的条件；再次要善于发现利用间接的，潜在的等量关系；最后对一般应用题，可以利用关键语句、公式、定理等方面寻找相等关系。举例如下：

一、 数字问题解这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。

例1，一个两数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得新的两位数与原来的两位的乘积为736，求原来的两位数。等量关系：新的两位数×原来的两位数解：由题意得：[10x+（5-x）][10（5-x）+x]=736解得：x1=2，x2=3即两位数为23或32

二、 几何问题这类问题要结合几何图形的、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合知识检验。

例2：已知一直角三角形三边长为三个连续偶数，试求这个三解形三边长及面积。通常用勾股定理列出方程，求解。解，设直角三角形三边为n、n+2、n+4（n为偶数），根据题意得 n2+（n+2）2=（n+4）2解得 ：n=6 ∴三边长为6、8、10，面积为24。

三、 增长率问题此类问题中一般有变化前的基础（a），增长率（x），变化的次数（n），变化后的基数（b），这四者之间的关系可用公式a（1+x）n=b表示 这类问题中等量关系通常由这个公式及由相关的词语“译”出。

例3：某企业去年对m产品的生产投资为2万元，预计今明两件的投资总额为12万元，求该企业这两两年在m产品投资上的平均增长率是多少？解：设这两个在m产品投资上的平均增长率为x，根据题意得2（1+x）+2（1+x）2=12解得：x1=1 x2=4（舍去）即该企业这两年在m产品上的平均增长率为100%。

四、 估测型问题这类问题要结合生活经验，生产实际情况及合理运算后作出大胆的估测。

例4：读诗词解题[列出方程式，并估算周瑜去世时的年龄]大江东去浪淘尽，千古风流人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数。十位恪小个位三，个位平方与寿符。哪位学子算得快，多少年华属周瑜？分析：由题意“则立之年督东吴”可估计周瑜年龄就在30-50之间。解，设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为（x-3）。依题意得x2=10（x-3）+xx2-11x+30=0由题意可知：x-3在3，4之间选择，则x为6或7。当x=6时，年龄为36，符合“个位平方与寿符”。当x=7时，年龄为47，不符合题意。故周瑜去世时年龄为36岁。

五、 买卖问题这类问题要考虑购买物品的数量与价格

例5：小王从店买回一块矩形铁皮，他将矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1m的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个窖为15m3的无盖长方体箱子，且此箱子底面长比多2m，现已知购买这种铁皮每玉米需20元钱。问小王购回这块矩形铁皮花了多少钱？本题的展开图是矩形，其实质是先求展开图面积。解：设这种无盖箱子底部宽为xm，则长为（x+2）m，依题意得x（x+1）×1=15解得：x1=3，x2=-5（舍去）面积为：（5+2）（3+2）=35（m2）做一个这样的箱子要花35×20==700元钱。

六、 方案设计问题这类问题常规根据题中的条件，联想应用相关知识计算，对结果与实际要求，已知法则、定理对照作出判断。

例6：如图有长为24m的篱笆，一面用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。（1）如果花圃的面积为42m2，求花圃的宽AB的长。（2）花圃的面积能围成45m2吗？如果能，请求出这时花圃的宽AB的长，若不能，请说明理由。（3）花圃的面积能围成48m2吗？若不能，请求出这时花圃的宽AB的长；若不能，说明理由。解：设宽AB=xm，则BC=（24-3x）m，依题意得（1）x（24-3x）=42。解得x1=4+2 ,x2=4-2当x=4-2时，BC=24-3（4-2）=12+3 2（不合题意。舍去）∴AB=（4+2）m（2）x（24-3x）=45，解得x1=5，x2=3当x=3时，BC=24-3×3=15＞10（舍去）

∴AB=5m（3）x（24-3x）=48，解得x1=x2=4此时BC=24-3x=12＞10，舍去，故不能围成

第四类    一次函数的应用

　　一、 方案优化问题 

　　我市某乡A、B两村盛产柑桔，A村有柑桔200吨，B村有柑桔300吨.现将这些柑桔运到C、D两个冷藏仓库，已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨；从A村运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B村运往C、D两处的费用分别为每吨15元和18元.设从A村运往C仓库的柑桔重量为x吨，A、B两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为yA元和yB元. 

　　（1）请填写下表，并求出yA，yB与x之间的函数关系式； 

　　（2）试讨论A、B两村中，哪个村花的运费较少； 

　　（3）考虑到B村的经济承受能力，B村的柑桔运费不得超过4830元.在这种情况下，请问该怎样调运才能使两村运费之和最小？求出这个最小值. 

　　解：（1）yA=-5x+5000（0≤x≤200）， 

　　yB=3x+4680（0≤x≤200）. 

　　（2）当yA=yB时，-5x+5000=3x+4680，x=40； 

　　当yA>yB时，-5x+5000>3x+4680，x<40； 

　　当yA40. 

　　当x=40时，yA=yB即两村运费相等； 

　　当0≤x<40时，yA>yB即B村运费较少； 

　　当40　　（3）由yB≤4830得3x+4680≤4830∴x≤50 

　　设两村的运费之和为y，∴y=yA+yB. 

　　即：y=-2x+9680. 

　　又0≤x≤50时，y随x增大而减小， 

　　∴当x=50时，y有最小值，y最小值=9580（元）. 

　　答：当由A村调往C仓库的柑桔重量为50吨、调往D仓库为150吨，由B村调往C仓库为190吨、调往D仓库110吨的时候，两村的运费之和最小，最小费用为9580元. 

要点提示：解答方案比较问题，求函数式时，对有图象的，多用待定系数法求；对没有给出图象的，直接依题意列式子；方案比较问题通常与不等式、方程相联系；比较方案，即比较同一自变量所对应的函数值，要将函数问题转化为方程、不等式问题；解答方案比较问题尤其要注意：不同的区间，对应的大小关系也多不同.

二、利润最大化问题 
　　某个体小服装店主准备在夏季来临前，购进甲、乙两种T恤.两种T恤的相关信息如下表： 
　　根据上述信息，该店决定用不少于6195元，但不超过6299元的资金购进这两种T恤共100件.请解答下列问题： 
　　（1）该店有哪几种进货方案？ 
　　（2）该店按哪种方案进货所获利润最大，最大利润是多少？ 
　　（3）两种T恤在夏季很快销售一空，该店决定再拿出385元全部用于购进这两种T恤，在进价和售价不变的情况下，全部售出.请直接写出该店按哪种方案进货才能使所获利润最大. 
　　解：（1）设购进甲种T恤x件，则购进乙种T恤（100-x）件. 
　　可得，6195≤35x+70（100-x）≤6299. 
　　解得，701/35≤x≤23. 
　　x为解集内的正整数，∴x=21，22，23. 
　　∴有三种进货方案： 
　　方案一：购进甲种T恤21件，购进乙种T恤79件； 
　　方案二：购进甲种T恤22件，购进乙种T恤78件； 
　　方案三：购进甲种T恤23件，购进乙种T恤77件. 
　　（2）设所获得利润为W元. 
　　W=30x+40（100-x）=-10x+4000. 
　　k=-10<0，∴W随x的增大而减小. 
　　∴当x=21时，W=3790. 
　　该店购进甲种T恤21件，购进乙种T恤79件时获利最大，最大利润为3790元. 
　　（3）购进甲种T恤9件、乙种T恤1件. 
　　要点提示：在一次函数y=kx+b中，x、y均可取一切实数.如果缩小x的取值范围，则其函数值就会出现最大值或最小值.求一次函数的最大值、最小值，一般都是采用“极端值法”，即用自变量的端点值，根据函数的增减性，对应求出函数的端点值（最值）. 
　　三、行程问题 
　　从甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路.小明骑车从甲地出发，到达乙地后立即原路返回甲地，途中休息了一段时间.假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进.已知小明骑车上坡的速度比在平路上的速度每小时少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5km.设小明出发x h后，到达离甲地y km的地方，图1中的折线OABCDE表示x与y之间的函数关系. 
　　（1）小明骑车在平路上的速度为 km/h；他途中休息了 h； 
　　（2）求线段AB、BC所表示的y与x之间的函数关系式； 
　　（3）如果小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h，那么该地点离甲地多远？ 
　　图1 
　　解：（1）小明骑车在平路上的速度为： 
　　4.5÷0.3=15， 
　　∴小明骑车在上坡路的速度为：15-5=10， 
　　小明骑车在下坡路的速度为：15+5=20. 
　　∴小明返回的时间为： 
　　（6.5-4.5）÷20+0.3=0.4小时， 
　　∴小明骑车到达乙地的时间为： 　　0.3+2÷10=0.5. 
　　∴小明途中休息的时间为： 
　　1-0.5-0.4=0.1小时. 
　　故答案为：15，0.1 
　　（2）小明骑车到达乙地的时间为0.5小时， 
　　∴B（0.5，6.5）. 
　　小明下坡行驶的时间为：2÷20=0.1， 
　　∴C（0.6，4.5）. 
　　设直线AB的解析式为y=k1x+b1，由题意 
　　得4.5=0.3k1+b16.5=0.5k1+b1，解得：k1=10b1=1.5， 
　　∴y=10x+1.5（0.3≤x≤0.5）； 
　　设直线BC的解析式为y=k2x+b2，由题意 
　　得6.5=0.5k2+b24.5=0.6k2+b2，解得：k2=-20b2=16.5， 
　　∴y=-20x+16.5（0.5　　（3）小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h，由题意可以得出这个地点只能在坡路上.设小明第一次经过该地点的时间为t，则第二次经过该地点的时间为（t+0.15）h，由题意 
　　得10t+1.5=-20（t+0.15）+16.5， 
　　解得：t= 0.4，∴y=10×0.4+1.5=5.5， 
　　∴该地点离甲地5.5km. 
　　要点提示：行程类一次函数试题以图象、点坐标相组合的形式呈现，灵活性强，对学生分析问题、解决问题的能力要求较高，重在考查学生的识图能力和创新意识.解决图象中的行程问题除了要掌握好路程、速度和时间三者之间的基本关系外，最重要的是要学会从图象中获取信息，理清各变量之间的关系，然后根据题意选择适当的解题方法. 
　　四、分段计费问题 

 已知某市2013年企业用水量x（吨）与该月应交的水费y（元）之间的函数关系如图2. 
　　图2 
　　（1）当x≥50时，求y关于x的函数关系式； 
　　（2）若某企业2013年10月份的水费为620元，求该企业2013年10月份的用水量； 
　　（3）为实施省委“五水共治”发展战略，鼓励企业节约用水，该市自2014年1月开始对月用水量超过80吨的企业加收污水处理费，规定若企业的月用水量x超过80吨，则除按2013年收费标准收取水费外，超过80吨部分每吨另加收x/20 元.若某企业2014年3月份的水费和污水处理费共600元，求这个企业该月的用水量. 
　　解：（1）设y关于x的函数关系式y=kx+b， 
　　直线y=kx+b经过点（50，200），（60，260） 
　　∴50k+b=20060k+b=260解得k=6b=-100 
　　∴y关于x的函数关系式是y=6x-100（x≥50）； 
　　（2）由图可知，当y=620时，x>50 
　　∴6x-100=620，解得x=120. 
　　答：该企业2013年10月份的用水量为120吨. 
　　（3）由题意得6x-100+x/20（x-80）=600， 
　　化简得x2+40x-14000=0 
　　解得：x1=100，x2=-140（不合题意，舍去）. 
　　答：这家企业2014年3月份的用水量是100吨. 
　　要点提示：分段函数的特征是不同的自变量区间所对应的函数式不同，其函数图象是一个折线.解决分段计费问题，关键是要与所在的区间相对应.分段函数中“折点”既是两段函数的分界点，同时又分别在两段函数上，在求解析式时要用好“折点”坐标，同时在分析图象时还要注意“折点”所表示的实际意义，“折点”的纵坐标通常是不同区间的最值.