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(2013-11-25 00:11:04)
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小学数学“估算与精算”的教学研究与案例评析
案例导读
【导读教师】
吴正宪（北京教科院,数学特级教师）
【导读文本】
关于“精算与估算”的案例研讨，我们提供了两节课例，分别是北京市西城区黄城根小学史冬梅老师执教的《两位数乘两位数》和吴正宪老师执教的《估算》。
《两位数乘两位数》是在学生学习两位数乘一位数的笔算和两位数乘整十数的口算的基础上进行学习的。老师们在观看时可以重点关注一下三个问题：
1．面对学生的会计算，他们真正会的是什么？课堂学习中还需要学习些什么？
2．计算教学中，怎样利用直观手段解决算法易学，算理却难深入的问题
3．计算教学中，怎样利用直观手段解决算法易学，算理却难深入的问题？
估算在日常生活中有着十分广泛的应用，让学生在第一学段“能结合具体情境，选择适当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用”；在第二学段中“经历与他人交流各自算法的过程，并能表达自己的想法”，“在解决问题的过程中，能选择合适的方法进行估算”是《数学课程标准》提出有关估算教学的要求。教师们在估算教学和评价中遇到了许多困惑，一线教师们（特别是农村地区的教师）常常询问：“课程标准增强了小数教学中估算的分量，有没有必要用这么长的时间来学习估算？”“估算对学生真的很重要吗？”“估算教学重点要抓什么？”“怎样培养学生的估算意识？”还有教师提出：“估算有没有统一的评价标准？”……面对一线教师在“估算”教学中的困惑，我们共同分享吴老师执教的《估算》一课，希望老师们带着以下几个问题思考：
1．估算教学有什么价值？
2．在解决问题的过程中，如何选择恰当的估算方法？
3．怎样培养学生的估算意识和能力，如何培养学生的数感？
案例一：《两位数乘两位数》
【案例信息】
案例名称：人教版教材第六册《两位数乘两位数》
讲课教师：史冬梅（北京市西城区黄城根小学，中学高级教师）
【教学设计】
教学目标
1．理解两位数乘两位数乘法的算理，掌握算法，并能够正确进行计算。
2．在引导学生经历发现两位数乘两位数计算方法的过程，体验算法多样化，用渗透数形结合的思想帮助学生理解计算道理。
3．在学习中激发学生探索问题的愿望，使学生在不断的探索交流中深化对知识的认识。
教学过程：
一、教学前侧，在交流中初步掌握算法
1．从生活情境中获取数学信息
教师：从下面图中你了解了哪些信息？
http://s12/mw690/000eUZZNgy6EtSUiCvxab&690
学生读取主题图获得信息：每本12元，买14本，一共要付多少元？
2．列式解决问题
师：怎样求一共要付多少元？为什么要用乘法计算啊？
学生：每本书的价钱是12元,12是每份数，买一样的书14本就表示有这样的14份，求一共是多少元？就是求14个12元是多少？
3．研究竖式计算
教师让学生尝试用竖式进行计算。（一人板演，师巡视寻找不同的算法）
由板书同学介绍竖式计算方法。
教师：在她说的计算过程中，我听到了几句乘法口诀，谁知道说的是那几句口诀？第一句、第二句、第三句、第四句、第五句、最后他还说了一句，把它们加起来就是168（教师画箭头，引导学生打手势，并板书算式）。
接着教师展示学生出现的错例：如12×14=60；12×14=188；12×14=1248。质疑“到底谁做得对啊？”
4．学生采用估算的方式排除不正确的结果。
学生：12×14不可能得60，因为12×10=120，12×14的积一定大于120，证明60是错误答案。
学生：12×14不可能1248，因为12×100=1200,12×14的积怎么会大于1200呢？显然1248是错误的。
学生对12×14=118也提出质疑，证明这个答案是错误的。
教师建议再用计算器验证一下12×14的计算结果吧。
教师:我们用计算器验证12×14的计算结果是168，我们又听了刚才板演学生的发言，大家还有什么问题？。（教师等待学生的反应）大家既然已经认可了，那咱们是不是就可以下课了？(学生反映不能下课,表现出与问题要研究)不下课，你还想知道些什么啊？
二、借助模型，引导学生经历发现两位数乘两位数计算方法的全过程
1．让学生说出心中的疑问
学生：我早就会计算这样的题，但是不知道为什么这样写计算过程。
教师：问得好，做题做事我们不仅要关注结果，更要关注过程。
学生：数学家怎么发现这样计算的？是谁发明的？
教师：你不仅知道方法，还要了解方法背后的道理，要知其然还要知其所以然。
学生：除了计算器，还有什么方法能够验证结果的正确性？
教师：你思考问题很严谨，判断计算的方法是否正确，还需要其他方法证明。
学生：……
教师：大家提了这么多有价值的问题，让我想到了一点，刚才的错题到底错在哪了？计算时需要注意些什么？都值得我们来深入的研究。那我们就再次借助这个示意图来进一步研究，看看我们又会有哪些新的收获。
2．利用点子图将新知识转化为旧知识
（1）借助点子图研究算法
教师：把一元钱看作一个点。出现了这样的点子图，在点子图上分一分，算一算、利用它再次寻找计算的道理。同桌互相交流。
http://s7/mw690/000eUZZNgy6EtSXSsCy46&690
（2）学生用点子图汇报解释问题。
出现以下情况：
12×7×2；14×6×2；14×4×3；14×2×6；12×10+12×4；
12×5+12×5+12×2
师：这么多的解答方法都验证了结果是正确的，这些方法虽各有不同，但它们还有一个共同特点，你发现了吗？
（3）梳理思路
在学生发言中教师帮助学生梳理方法：
12×7×2、14×6×2、14×4×3、14×2×6都是把12或者14分成了若干个份之后进行计算。例如，12×7×2表示把12看成每份数，先求这样的7份是84，然后把84看成每份数，再求这样的2份是168。这里面有份总关系。
12×10+12×4和12×5+12×5+12×2，分别求几个几（份总关系），最后把积相加（整体部分关系），既有份总关系，又有整体部分关系。不论哪种方式都是先分再合。分的目的就是将大的分成小的，复杂的变成简单的,新知识转化为旧知识来解答，实际上就是把两位数乘两位数转化成两位数乘一位数的乘法。
小结：回顾刚才大家利用点子图学习的过程，用计算器验证并不是唯一的验证方法，还可以采用先分再合的方式，将新知识转化成旧知识来验证。
三、多种算法与竖式建立联系，进一步理解算理
1．横式与竖式建立联系
学生思考：12×7×2、14×6×2、14×4×3、14×2×6、12×10+12×4和12×5+12×5+12×2谁与竖式的计算方法一样？
找到答案：12×10+12×4和竖式有关系，竖式中第一个积是12×4，第二个积是12×10，把两个积相加就是168。
2．结合点子图说一说竖式计算的每一步依据。
师：在进行竖式计算时，用到四句口诀的结果，这四句口诀在图中能找到吗？学生带着问题在点子图中找答案。（学生边说，课件边演示）
http://s15/mw690/000eUZZNgy6EtU5oexE2e&690
学生在图中找到每步计算的依据。
每排有2个点，有这样的4排，就是2×4=8。每行有10个，有这样的4行，就是10×4=40。每行有2个，有这样的10行，就是2×10=20。每行有10个，有这样的10行就是10×10=100，把他们相加就是8+40+100+20=168。
小结：回顾刚才学习的过程，虽然10分钟就认同了计算的结果，但由于大家不满足于只找到计算的结果，而是不断的追问为什么？让我们利用点子图通过多种计算的方式，不仅验证了结果的正确性，还使我们找到了计算方法背后的道理。
3．研究错误的产生
下面我们就一起来找一找刚才这几个同学错在了哪里，在计算时要注意些什么？
小结：其实这些同学的错误给我们提供了很好的学习资源，大家通过一起分析，一定能够引起大家的高度重视。
四、不同形式练习满足不同学生需求
1．竖式计算：23×12，反馈学生掌握知识情况。
2．计算游戏猜猜看
http://s8/mw690/000eUZZNgy6EtU9ToEf37&690
3．选择大答案：□2×□4的结果是：
A、586 B、390 C、□8 D、□□8
说说你选择的理由（应用计算器来验证）为什么十位数字各有不同，可得到的乘积的个位都是8啊？
4．选择积的取值范围：1□×1□的结果是可能是多少。
说说你的理由；举例验证时教师直接出结果，让学生感到惊奇。使学生产生找到窍门的学习欲望。
教师讲解：快速计算的秘密其实就藏在点子图中，今天我们的研究也恰好和几千年前数学家的研究不谋而合，让我们来一起看一看。
课件播放录音：我国明朝的《算法统宗》中讲述了一种“铺地锦”的乘法的计算方法，就是用格子来算的，如计算12×14，先把两个乘数分别写在格子的上面和右面，然后把一个乘数各个数位上的数与另一个乘数各个数位上的数分别相乘，如2×4=8，就在右下方的格子中写08，,1×4=8，就在左下方的格子中写04，依次写完，再将斜对着的数分别相加，就得到12×14的乘积168了。
http://s16/mw690/000eUZZNgy6EtUcWcTdbf&690
总结：这么多的收获都来源于我们的学习不仅仅满足于只知道计算的结果，而更多的关注到了过程、方法与方法背后的道理。
【课后反思】
《新课程标准》中强调“利用情境、操作工具、图片、图表、符号等，理解运算的意义，探索算理和计算的规律”。这其中提到的“具体有趣的事物”、“操作工具”“图片”、“符号”等操作的材料应该是“计算模型”的一些具体形式。在对教材和学生的研读中，我发现虽然多数学生能够计算出结果，但是他们并不理解算法背后的真正算理，针对算法易学，算理难懂的情况，引发了我一个思考：能否有便于学生实际操作，并给予学生更大数学活动空间的直观模型呢？能否让学生享受到有营养又好吃的数学呢？在进一步研究中，我发现利用点子图的直观模型可以解决算法易学，算理难懂的情况，因此制定了借助模型支持两位数笔算乘法的教学主线。
一、借助模型获得多种算法；
二、借助模型理解算理；
三、借助模型沟通算法与算理之间的关系；
四、借助模型渗透神学文化。
在整个的教学过程中，学生不仅能够呈现出多种方法，同时在不断交流与探索中，逐步对两位数笔算乘法的算法与算理深入的理解。在此过程中，教师不仅能够勇敢地退下来，让学生充分展示，又能够适时的进，促进学生思考问题不断深化。在借助模型支持两位数乘法的过程中，我感悟到当学生运用模型将新问题通过转化的数学思想变为已知问题时，学生不仅获得了一个计算结果，而且沟通了知识之间的联系，获得了一种解决问题的方法，丰富学生数学活动的经验。久而久之，学生运用模型的意识会不断增强，学生解决问题的途径会逐渐拓宽，它将成为了学生学习的“有力工具”。
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案例展示 案例二：《估算》 【案例信息】 案例名称：人教版教材《估算》 讲课教师：吴正宪（北京教科院,数学特级教师） 【教学设计】 教学目标: 1.让学生经历估算的过程，进一步认识估算的意义，探索具体问题中估算方法。 2.通过对实际问题的探究，感知估算对解决实际问题的作用，培养数感，能结合实际合理解决实际生活中的问题，培养估算意识。 3.感受学习估算的价值，体会数学知识与现实生活的联系，增强学生学习数学的兴趣。 教学过程： 一、质疑激趣 师：同学们，有关估算的知识我们在二年级时就已经学过，今天，我们继续来研究有关估算的问题。板书：估算。 师：关于估算，在过去学习过程当中你碰到什么困难？还需要解决什么问题？凡是有关估算的问题，都可以提出来，我们一起来研究。 预设： 1.估算结果时为什么不用等号，而要用约等号？ 2.估算是在什么时代开始使用的，什么人最早用的？ 3.为什么要进行估算？ 4.估算有什么用？ 5.估算有什么好的方法？ 6.在什么情况下要估一估？在什么情况下，就可以精确计算？ 师：我们带着这些问题，一起走进数学课堂，看看今天这些问题能不能得到解决。 【意图：提出问题比解决问题更重要。放手让学生提出问题，并对学生提出的问题进行记录和整理。问题由学生提出，一方面激发了学生探究知识的兴趣，调整好学生的学习状态，另一方面也对学生进行了问题意识的培养，同时为下面的教学做好了铺垫，可谓一举多得。】 二、在经验积累中引入估算 师：请看大屏幕： 屏幕上出现了青青和妈妈一起在超市购物的录像。 师：同学们，你们一定有过和爸爸妈妈一起购物的经历吧？我们来看一看，青青在购物过程中遇到了什么问题？ （课件显示：青青和妈妈选了五种商品，妈妈的问题是：“我只带了二百元钱，够不够买这五种商品呢？”收银员的问题是：“我到底该怎样把这些数据输入到收银机中呢？”） 【意图：“青青购物”的情境，让学生在非常自然的情况下，感受估算与精确计算的价值，体验“具体问题具体分析”的道理。感受估算与精确计算的区别。】 师：在下列的哪种情况下，使用估算比精确计算更有意义？请同学独立思考，做出判断。 屏幕显示： 1.当青青想确认200元是不是够用时； 2.当销售员将每种商品的价格输入到收银机中时； 3.当青青被告知应付多少钱时（生用手势表示）。 请学生说一说自己选择的理由，引发生生互动。 师小结：当收银员告诉顾客要付多少钱时一定是一个很准确的数，而要确认带200元钱够不够时，采用估一估的方法，知道五种商品大约花了多少钱就可以了。 【意图：真实的情境是有效学习的基础。用购物过程中妈妈的问题“我只带了二百元钱，够不够买这五种商品呢”和收银员的问题“我到底该怎样把这些数据输入到收银机中呢”进行比较，到底哪一个用估算，哪一个用精确计算，促进学生充分感受估算与精确计算的区别，感受估算的价值。】 三、在探究估算的方法中，体验估算方法的多样性。 课件显示：曹冲称象图。 http://s2/mw690/000eUZZNgy6EtUgpt3bb1&690 得出：从图上观察，这条红色的标记是在同一个位置上，说明它们的质量是相等的，只要称称石头就可以得到大象的质量。他们一共称了六次，你知道这头大象大约有多重吗？ 课件显示： http://s6/mw690/000eUZZNgy6EtUiqNx355&690 （生活动，几名学生上前板书出自己的估算方法，教师巡视） 1.整理估算方法 汇报顺序： （1）小估 圈出“300×6”，问：这是谁写的？能够把你的估算方法解释一下吗？ 学生进行解释：我觉得可以把每次称得的石头质量看成300千克，就把所有的数都估成300，再乘以6。 师追问：为什么乘6？ 师小结：这位同学，不仅能写出算式，他还能用语言清晰地叙述出他的思考。他把六个数都看成三百，三百乘六，本来这些数据都是三百多，可是这位同学把这些数据都估小了，你们能把他这种方法取个有特点的名字吗？ （2）大估 圈出“400×6”，问：这是谁估的？请说说你的想法。 学生进行解释：我把它们全都估成400，因为有六个数，所以再乘以6，就是400乘以6等于2400，单位是千克。 师引导学生起名字，并板书。 （3）大小估 圈出“300×3=900，400×3=1200，900+1200=2100”：我们来看这个同学是怎样估的？人家要么大估，要么小估，你又大估又小估，什么意思？ 学生进行解释：前面三个数比较接近300，就给它估成300；后三个数比较接近400，就给它估成400，然后再把算出来的得数加起来，是2100。 师：他那种估法，你们能给它取个名字吗？ （4）中估 圈出“350×6”，问：这是谁写的？你是怎么想的？ 学生解释：我把每次称得的石头质量看成350千克。 师追问：你为什么把这6个数都看成350呢？ 学生解释：虽然这6个数有的比350大，有的比350小，但是它们都接近350，我就取了一个中间的整十数。 师小结：这些数有的比350大，有的比350小，所以他不往小的估，也不往大的估，这个特点很鲜明，可以叫…… （5）四舍五入估 圈出“330+350+310+380+400+350”：这里还有一位，后面不写了，你是怎么想的？ 师：我想通过对这个算式的讨论，大家一定会有意外的收获。你为什么把328看作330呢？ 学生解释：把28估成30了。 师：那怎么把352估成了350呢？ 学生解释：352比较接近350。 师：看来，在这位同学的心中，一定悄悄地有着一个自己定的标准。当最后一个数字是8时，你就……当最后一个数字是2的时候，你就……如果遇到个位上是6呢？7、8、9呢？ 如果是1、2、3、4呢？师：如果是5呢？ 师：看来同学们心中也都有了标准，就是遇到个位上是1、2、3、4时就下降，遇到个位上是5、6、7、8、9时就上升。 师引导同学们给这种方法起名字。 （6）调凑估 圈出“300×7”：300×7，为什么不是300×6而是300×7呢？明明是6个数，怎么整出七个数啊？你是怎样想的？ 学生解释：表面上看有6个数，把它们全部看成300后，剩余的部分凑在一起也差不多是1个300，这样就是7个300了。 师追问：你为什么这样估？ 学生解释：我想它一定比6个300更接近准确值。 师：在估的过程当中，调一调、凑一凑，因此整出一个与众不同的7个300。这种估法你们能起一个名字吗？ （7）先精后估 圈出“328+346=674，674≈700……”问：你是怎么想的？ 学生解释：我是先把前面两个加起来，得出结果674，大约等于700…… 师：你是先要精确计算，然后再估数，那这种方法可以叫…… 2.小结估算方法 师：刚才上课时大家问估算有什么方法，怎样估，我们一起来总结一下。 （小估，中估，大估，大小估，四下五上估，调凑估……） 师小结：估算的方法有好多，但是刚才我看到有同学是精确计算的，尽管慢，可也得出了结果。其实我们要慢慢地积累经验，在学习估算的过程中，会碰到很多情况，同学们选择的方法都是可以的。 3.在比较中反思提升 师：在同学们进行估算的时候，我的电脑也在悄悄地工作着。 （电脑屏幕先后显示：20108千克、2108千克。） 师：第一次算出的结果是20108千克，第二次算出是2108千克，你认为哪一个准确值可能是正确的？ 生用手势表示。 根据现场学生情况，提出问题，请学生解释。 预设问题： 为什么你们大部分同学都选二呢？ 现实中没有那么重的大象，有没有不同的解释？ 小结：有的同学发现，我们估的数都在2000左右，不可能有两万多，用自己的经验选择了第二个答案，这种从经验出发去学习，这种方法是很好的。有的同学是从大估的结果来判断的。这几个同学的发言都挺有道理，还有的同学从实际出发，大象不可能那么重；有的同学借助大家估算的经验；还有的同学从估算的角度去思考问题，估算又一次帮助我们进行了选择。同学们，你估的结果和2108相比，你想对刚才自己估算结果做一点评价或思考吗？ 学生交流，师预设如下问题： 你是怎么估的？ “小估”和“大估”，说说你们的感受。 小结：你们很善于思考，其实你估的结果是可以的，但是你还能在与他人的比较中发现问题，进行调整，这是很好的学习方法。 四、在问题解决中感悟、体验估算的价值。 1．在问题解决中体会估算的价值 师：还有同学提出这样的问题：“我们既学了精确计算，又学估算干什么？”我们就带着这个问题继续来研究，请看屏幕…… （电脑屏幕显示题目一：每辆车有56个座位，有7辆车，350个同学坐够不够？） 学生尝试解决。 师：你们是怎么估的？ 预设如下： 1：大估的。把56年成60，60×7=420，420＞350所以够。 2：小估的。把56估成50，50×7=350，350=350看成50个座位也够了。 师：这里小估一点可以，大估一点也可以。请看（课件显示：56×7≈420），这里“56×7”是等于420呢，还是接近420？ 生：是大约等于420。 师：所以，我们要用…… 生：约等号。 师继续追问：这种情况，我们是把56往小点估成50好呢，还是往大估成60比较好？ 引发学生的深入思考。 （电脑屏幕显示题目二） 师：这座桥限重3吨。一车上装有6箱，一箱285千克，车重986千克，这辆车能安全通过吗？ 引导学生进行生生互动。 师：刚才这两个问题，一题小估点比较好，一题大估点比较好，碰到其它情况，到底是用大估，还是小估？ 得出：我们总结了这么多估算的方法，要看具体情况而决定用什么样的估算方法。 五、课堂小结 师：同学们，这一节课就要结束了，你们有哪些收获？ 【课后反思】 “估算在日常生活中有着十分广泛的应用，教师要不失时机地培养学生的估算意识和初步的估算技能……小学阶段应重视口算，加强估算，提倡算法多样化。”《数学课程标准》（实验稿）提出有关估算教学的要求时，广大一线小学数学教师在困惑中开始了探索与实践。但是由于理论研究的缺乏、课程设计及实践经验的不足，教师们在估算教学和评价中遇到了许多困惑，一线教师们（特别是农村地区的教师）不停地向我询问：“课程标准增强了小数教学中估算的分量，有没有必要用这么长的时间来学习估算？”“估算对学生真的很重要吗？”“估算教学重点要抓什么？”“怎样培养学生的估算意识？”还有教师提出：“估算有没有统一的评价标准？”……面对一线教师在“估算”教学中的困惑，我曾多次做过专题讲座，阐述我的“估算教学主张”。教师们听了也很有收获，频频点头，但当一位一线教师说：“到我们自己的课堂还是不知所措”我萌发了自己亲自执教“估算”，把课堂作为一个研究的资源和载体，供一线教师共同研究探究。 于是，我开始了估算教学的思考与设计…… 我首先做了两件事，一是读课标、读教材；二是进行学生的现状调研。强烈地感觉到学生主动估算的意识差，常常出现题目中明确提出估算要求的情况下就估算，即“让我估，我才估”；学生利用估算解决实际问题的能力弱，表现在不知在什么问题情境中选择用估算来解决问题更合适，往往处于被动的学习状态…… 有了对教材的解读，对学情的调研，我确定了本节课的教学目标：培养学生主动估算的意识，提高学生自主选择估算与精确计算解决问题的能力，鼓励学生用多种方法估算…… 就这样，我开始了估算教学的课堂实践。 上课伊始，我首先请学生提出在估算中遇到的困难和需要研究的问题，一个个问题脱颖而出：“有什么好的估算方法？”“学习估算有什么用处？”“为什么学习了精确计算还要学习估算？”……此课就在学生的一个个问题中拉开了帷幕。 我选择的第一个讨论问题就是： 在下列的哪种情况下，使用估算比精确计算更有意义？ 1．当青青想确认200元是不是够用时； 2．当销售员将每种商品的价格输入到收银机中时； 3．当青青被告知应付多少钱时。 往日的课堂教学，我很可能在同样的情境下只提出“妈妈带200元够吗？请 你估一估”，今天我提出的“你认为在哪种情况下使用估算比精确计算更有意义”正是解读课程标准“不失时机地培养估算意识”的具体实践。我受到国际数学教育的影响，借鉴了TIMSS的国际数学测试题目，力求培养学生在具体情境中选择“估算”的判断能力。 课堂中学生在“估大象的体重”问题时出现了多种估算的方法“大估”“小估”“中估”“调凑估”“四舍五入估”，面对着多种估算方法，我并没有及时评价，而是引导学生在与“准确值”的比较中反思自己的估算方法，帮助学生积累经验。在此过程中让学生学会倾听，学会自主反思，学会欣赏接纳同伴的经验。 本节课在引导学生利用估算进行问题解决时，我精心设计了“估一估座位够不够？”“能安全通过小桥吗？”两个有意义的问题情境。通过比较“在什么情况下小估（大估）比较合适？”的问题讨论，让学生体会选择估算方法对问题解决的重要。从而使学生将数学知识活用即“具体情况具体分析”，提高了学生估算技能和解决问题的实际能力。 《估算》课堂实践的过程，正是思考的过程、研究的过程，愿与一线教师共同探索与实践，为孩子创设有价值的估算学习。 |
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