教案

一、素质教育目标

(一)知识教学点

1．推广角的概念，引入大于360°的角和负角．

2．正角、负角、零角的定义．

3．象限角概念．

4．终边相同的角的表示法．

(二)能力训练点

1．理解并掌握正角、负角、零角定义．

2．重点掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法．

3．树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念．

二、教学重点、难点、疑点及解决办法

1．教学重点：理解正角、负角、零角的定义，掌握终边相同角的表示法．

2．教学难点：终边相同的角的表示．

3．教学疑点：区别并理解角的大小与角的终边位置不同表示方法的含义．

三、课时安排

本课题安排1课时．

四、教与学过程设计

(一)复习0°～360°角的概念

师：我们已经学习了0°～360°的角，它是如何定义的？

生：角可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成．

师：我们进一步复习角有关的概念．如图2-1，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．

 

(二)角概念的推广

师：在日常生活中，在生产和科学实验中，还要经常遇到大于360°的角以及按不同方向旋转而成的角，你们能否举出实例说明？

生甲：在自行车的车轮按逆时针旋转一周过程中，OA形成了0°到360°的所有角；在车轮继续旋转第二周过程中，又形成了360°到720°的所有的角；这样下去，可以形成更大的角(如图2-2示)．

 

生乙：钟表的指针、螺丝扳手与曲柄连杆按不同方向旋转所成的角．

师：同学们举出的实例说明了它们的实际意义和推广角概念的必要性．为了区别起见，我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图2-3示：以OA为始边的角α=210°，β=-150°，γ=-660°．特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．

 

角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯系习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样．

(三)象限角

师：正象在上一小节所做的那样，我们主要在直角坐标系内讨论角．这时要使角的顶点与坐标原点重合，角的始边在x轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角(或说这个角属于第几象限)．

如图2-4(1)中的30°，390°，-330°都是第一象限角；图2-4(2)中的300°，-60°的角都是第四象限的角．

 

练习一：1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90°的角是锐角吗？0°～90°的角是锐角吗？

(答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90°的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；0°～90°的角可能是零角，故它也不一定是锐角．)

师总结有关角的集合表示．锐角：θ|0°＜θ＜90°，0°～90°的角：{θ|0°≤θ≤90°}；小于90°角：{θ|θ＜90°}．

2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？

(1)420°，(2)-75°，(3)855°，(4)-510°．

(答：(1)第一象限角，(2)第四象限角，(3)第二象限角，(4)第三象限角，作图表示略．)

(四)终边相同的角的表示法

师：让我们再来观察图2-4(1)中的三个角，390°，-330°都不是0°～360°的角，但它们都与30°角的终边相同，请同学们思考为什么？能否再举二个与30°同终边的角？

生：由图中我们可发现390°，-330°与30°相差360°的整数倍，例如，390°，-330°可以分别写成下列形式：390°=360°+30°，-330°=-360°+30°，与30°同终边的角还有如750°，-690°．

师：这位同学发现两个同终边角的特征，如举例的750°，-690°可分别写成750°=2×360°+30°，-690°=-2×360°+30°．显然除了这些角之外，与30°的角终边相同的角还有：

3×360°+30°；　　　　　　　　　　　　　　 -3×360°+30°；

4×360°+30°；　　　　　　　　　　　　　　 -4×360°+30°；

……；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……；

提问：所有与30°的角终边相同的角，连同30°的角在内，如何用统一的式子来表示？

生：我们可以用k·360°+30°，(k∈Z)来表示所有与30°的角终边相同的角，当k=0时，它表示30°的角；当k=1时，它表示390°的角；当k=-1时，它表示-330°的角，等等．

师：现在我们总结已得到的结果并推广到一般情形．一般地，所有与α角终边相同的角，连同α角在内(而且有且只有这样的角)，可以用式子R·360°+α，k∈Z来表示．

因此，对于给定的顶点、始边和终边，确定了一个由无限个角组成的集合，与α角终边相同的角的集合可记作：

{β|β=k·360°+α，k∈Z}

注意以下4点：

(1)k∈Z：(2)α是任意角；

(3)k·360°与α之间是“+”号，如k·360°-30°，应看成k·360°+(-30°)；

(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．

(五)练习

例1　 在0°～360°间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它是哪个象限的角．

(1)-140°，(2)670°，(3)-850°36′．

解：

(1)

 

∵-140°=-360°+220°，

∴220°的角与-140°的角终边相同，它是第三象限角．

(2)

 

∵670°=360°+310°，

∴310°的角与670°的角终边相同，它是第四象限角．

(3)

 

∵-850°36′=-3x360°+229°24′，

∴229°24′的角与-850°36′的角终边相同，它是第三象限角．

总结：草式写在草稿纸上．正的角度除以360°，按正常除法进行；负的角度除以360°，商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1，以便余数为正值．

例2　 写出与下列各角终边相同的角集合S，并把S中在-360°～720°间的角写出来．

(1)70°，(2)-53°，(3)480°16′．

解：(1)S={β|β=k·360°+70°， k∈Z}

S中在-360°～720间的角是

-1×360°+70°=-290°；

0×360°+70°=70°；

1×360°+70°=430°．

(2)S={β|β=k·360°-53°，k∈Z}

S中在-360°～720间的角是

0×360°-53°=-53°；

1×360°-53°=307°；

2×360°-53°=667°．

(3)S={β|β=k·360°+480°16′，k∈Z}

S中在-360°～720°间的角是

-2×360°+480°16′=-239°44′；

-1×360°+480°16′=120°16′．

0×360°+480°16′=480°16′．

例3　 写出终边在下列位置的角的集合．

(1)x轴的负半轴上，(2)y轴上

解：(1)∵　 在0°～360°间，终边在x轴负半轴上的角为180°，

∴终边在x轴负半轴上的所有角是k·360+180°，k∈Z．

(2)∵　 在0°～360°间，终边在y轴的正半轴上的角为90°，终边在y轴的负半轴上的角为270°，如图2-5示，∴终边在y轴正半轴、负半轴上的所有角分别是：k·360°+90°， k·360°+270°， k∈Z．

 

提问：请同学们思考，能否将二者写成统一表达式？

师：∵k·360°+90°=2k·180°+90°(1)，k·360°+270°=2k·180°+180°+90°=(2k+1)·180°+90°(2)，在(1)式等号右边的前一项是180°的所有偶数(2k)倍；在(2)式等号右边的前一项是180°的所有奇数(2k+1)倍，因此，它们可以合并为180°的所有整数倍，(1)式和(2)式可以分别写成n·180+90(n∈Z)，∴终边在y轴上的角的集合是：S={β|β=n·180°+90°，n∈Z}．

提问：终边落在x轴上的角集合如何表示？

{β|β=k·180°，k∈Z}．

(六)总结

本节课我们学习了正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．本节课重点是学习终边相同的角的表示法．

五、作业

P．123中2、3、4；P．130中3、4、6．

六、板书设计