木泥的BLOG

五. 图形化符号函数计算器(Interactive graphing calculator that manipulates

  functions of a single variable.)

   图形化符号函数计算器函数funtool,在命令窗口funtool，即可启动图形化符号函数计数器。其三个窗口分别为函数f的显示窗口，

函数g的显示窗口，另外一个是函数功能控制窗口。

1. 输入框：在控制窗口的上方有4个输入框，用户可以在输入框中输入函数，4个窗分别为：

*f= 为图形窗口1 的控制函数，其缺省值为x;

*g= 为图形窗口2 的控制函数，其缺省值为1;

*x= 为两窗口函数的自变量的取值范围，缺省值为 [-2π, 2π]；

*a= 为常数的值，缺省值为1/2。

2 . 计算器的功能(Functions of the calculator)

（1）

1. 符号极限(Symbolic limit)

*limit(F,x,a) 计算符号表达式F在x→a条件下的极限；

*limit(F,a)  计算符号表达式F中由默认自变量趋向于a条件下的极限；

*limit(F,)    计算符号表达式F在默认自变量趋向于0条件下的极限；

*limit(F,x,a,‘right’) 和limit(F,x,a,’left’)  计算符号表达式F在x→a条件下的右极限和左极限。

例：分别计算表达式 , , 及 和

 syms x a;

limit(sin(x)/x)

limit(1/x,x,0,’right’)

limit(1/x,x,0,’left’)

v=[(1+a/x)^x,exp(-x)];

limit(v,x,inf,’left’)

ans =

     1

ans =

     inf

ans =

     -inf

ans =

     [ exp(a),      0]

2. 符号微分(symbolic differential calculus)

*diff(S)    求符号表达式S对于默认自变量的微分

一． 符号对象的创建(Creating a symbolic object)

1. 创建符号变量和表达式(Creating a symbolic variable and expression_r)

创建符号变量和表达式的两个基本函数：sym, syms

*x=sym(‘x’) 创建一个符号变量x，可以是字符、字符串、表达式或字符表达式。

*syms用于方便地一次创建多个符号变量，调用格式为： syms a b c d . 书写简洁意义清楚，建议使用。

例1：使用sym函数创建符号变量.

a=sym(‘a’)

b=sym( ‘hello’)

c=sym(( ‘(1+sqrt(5))/2’)

y=sym( ‘x^3+5*x^2+12*x+20’)

a =

   a

b =

   hello

C =

    (1+sqrt(5))/2

 Y =

    x^3+5*x^2+12*x+20

例2：用syms函数创建符号变量。

syms a b c d 

2. 创建符号矩阵(Symbolic matrix Creating)

例1：创建一个循环矩阵。

syms a b c d

n=[a b c d;b c d a;c

在已知数据之间计算估计值的过程。

1． 一维插值(1D Interpolation)

  由interp1实现，用多项式技术计算插值点。

Yi=interp1(x,y,xi,method)    y—函数值矢量， x—自变量取值范围，xi—插值点的自变量矢量，

Method—插值方法选项。

MATLAB6.1的4种方法：

*临近点插值：method= ‘nearest’

*线性插值：  method= ‘linear’

*三次样条插值：method= ‘spline’

*立方插值：   method= ‘pchip’ or ‘cubic’

选择插值方法时主要考虑因素： 运算时间、占用计算机内存和插值的光滑程度。比较：

运算时间、  占用计算机内存      光滑程度。

*临近点插值：      快             少               差

*线性插值：       稍长      

MATLAB对数据分析有两条约定：

（1） 若输入量X是矢量，则不论是行矢量还是列矢量，运算是对整个矢量进行的；

 （2）若输入量X是数组，（或称矩阵），则命令运算是按列进行的。即默认每个列是有一个变量的不同“观察“所得的数据组成。

1. 基本统计命令  （表4-1）

例： 做各种基本统计运算。

A=[5 -10 -6 0;2 6 3 -3;-9 5 -10 11;-22 17 0 -19;-1 6 -4 4]

Amax=max(A)          %找A各列的最大元素

Amin=min(A)         %找A各列的最小元素

Amed=median(A)       %找A各列的中位元素

Amean=mean(A)        %找A各列的平均值

Astd=std(A)            %求A各列的标准差

Aprod=prod(A)         %求A各列元素的积

Asum=sum(A)      &n

1． 方阵的逆和行列式(Revers and determinant of square matrix)

若a是方阵，且为非奇异阵，则方程ax=I和 xa=I有相同的解X。X称为a的逆矩阵，记做a^-1，在MATLAB中 用inv 函数来计算矩阵的逆。计算方阵的行列式则用det函数。

DET    Determinant.

DET(X) is the determinant of the square matrix X.

       Use COND instead of DET to test for matrix singularity.

INV    Matrix inverse.

INV(X) is the inverse of the square matrix X. A warning message is printed if X is badly scaled or nearly singular.

例：计算方阵的行列式和逆矩阵。

a=[3  -3  1;-3  5  -2;1  -2  1];

b=[14  13  5; 5  1  12;6  14  5];

d1=det(a)

x1=inv(a)

d2=det(b)

x2=inv(b)

d1 =

     1

x1 =

一．       线性代数(Linear Algebra)

解线性方程(Linear equation)就是找出是否存在一个唯一的矩阵x，使得a,b满足关系：

ax=b  或 xa=b

MALAB中x=a\b 是方程 ax=b 的解， x=b/a是方程式xa=b的解。

通常线性方程多写成ax=b，“\”较多用，两者的关系为：

(b/a)’=(a’\b’)

系数矩阵a可能是m行n列的，有三种情况：

*方阵系统: (Square matrix)  m=n  可求出精确解（a必须是非奇异(nonsingular)，即满秩(full rank)）

*超定系统：(Overdetermind system)m>n  可求出最小二乘解

*欠定系统：(Underdetermind system) m<n  可尝试找出含有最少m个基解或最小范数解

MATLAB对不同形式的参数矩阵，采用不同的运算法则来处理，它会自动检测参数矩阵，以区别下面几种形式：

*三角矩阵(Triangular Matrix)

*对称正定矩阵(symmetrical positive determined matrix)

*非奇异方阵(Nonsingular matrix)

*超定系统(Overdetermind system)

*欠定系统(Underdetermind system)

一、多项式(Polynomial)`

1．多项式的表达与创建(Expression and Creating of polynomial)

(1) 多项式的表达（expression_r of polynomial）_

Matlab用行矢量表达多项式系数(Coefficient)，各元素按变量的降幂顺序排列，如多项式为：

P(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+a₂x^n-2…a_n-1x+a_n

则其系数矢量(Vector of coefficient)为：P=[a₀ a₁ … a_n-1 a_n]

如将根矢量(Vector of root)表示为：

ar=[ ar₁ ar₂ … ar_n]

则根矢量与系数矢量之间关系为：

（x-ar₁）(x- ar₂) … (x- ar_n)= a₀xⁿ+a₁x^n-1+a₂x^n-2…a_n-1x+a_n

(2)多项式的创建（polynomial creating）

a)系数矢量的直接输入法

利用poly2sym函数直接输入多项式的系数矢量，

1．数据的输入(Data input)

常用方法：

（a）   键盘输入：(keyboard input) 数据少时较方便，多时不益使用；

（b）   用M文件产生数据：(Generate data by M-file) 使用于较多数据的输入；

（C） 从ASCⅡ码文件装载数据：(Load data from ASCⅡ code file)

（c）    对文本格式的数据文件可用load命令直接读入MATLAB，其内容存放在以文件名命名的变量中

（d）   利用fopen, fscanf, fread及 MATLAB其他低层 I/O命令读取数据： 用于读取其他外部应用程序建立的各种特定格式的数据。

2。数据的输出(data output)

(a)     利用diary命令输出语句: 运行diary命令可以在当前工作目录上产生一个名为diary的日记文件，文件内容可以输出。关闭日记文件的命令为dairy off.

(b)     利用Notebook获取数据：于dairy 用法相仿优点是文字质量高，版面规范，且M-book中的命令可以随时运行或修改，MATLAB工作空间中的数据随之改变。运行Notebook要求计算机上装有MS-W

8种控制程序流程(control flow statement) 的语句：for, while, if, switch, try, continue, break, return

1。循环语句(Loop statement)

（1） for语句:

for  v=表达式        通常为一个矢量 形式为： m:s:n

语句体

end

例：

n=10

for i=1:n

x(i)=(i+1).^2;

end

 x

x =

 4     9    16    25    36    49    64    81   100   121

例：嵌套循环：注意与end的配对。

 m=3;  n=4;

for i=1:m

  for j=1:n

   a(i,j)=1/(i+j-1);

  end

end

format  rat

a

a =

      1           1/2      &n