偶阶幻立阵的外框

    幻友多对平面幻方的加框法比较熟悉，而幻立方加框就难多了！对于幻立阵来说，不需要考虑斜线，故相比要简单一些。我这里是叙述偶阶幻立阵的加框，将一个n*m*r阶幻立阵加框成为(n+2)*(m+2)*(r+2)阶幻立阵，有两个重要的参数w与v必须特别关注：

       新对称值w=(n+2)*(m+2)*(r+2)+1；

          及均加值v=[(n+2)*(m+2)*(r+2)- n*m*r]/2  。

    我们是用自然数1至v及其对称互补数w-1至w-v共2v个数构成外框，这里前一摊是小数组，后一摊为大数组，计算仍是不容易！我想出“对称归零法”予以简化：设计时省去对称值w，则x的对称数是-x，和为零的两数互补。

   n*m*r阶幻立阵的每一数

                       美丽而有趣的幻立阵串

    这一幻立阵串外观美丽而富含趣味！她外形是一个12*16*14阶的幻立阵。是由2*6*4幻立阵层层加框而来，所以其内含着2*6*4，4*8*6，6*10*8，8*12*10，10*14*12连外形共六个偶阶幻立阵，这些都通过检验及数序的检测。因没有斜线上的要求，故其构造繁琐而并不复杂，请幻友和爱好者观赏。

                 幻立方检验的VB程序

    制作幻立方后当然需要检验，是否合格？达到什么品质，还有哪些线上不合幻和！这都需要完备不漏的检验。特将其检验的VB程序呈上供参阅使用。

Sub swcg2(n)   '幻方检验过程

  Erase L

  L(0, 0) = n * (n * n + 1) / 2

  k = 0: z = 2 * n + 2

  For i = 1 To n

       For j = 1 To n

          L(0, i) = L(0, i) + u(i, j)   '验算幻方u的行和与列和

          L(0, n + i) = L(0, n + i) + u(j, i)

       Next j

    Next i

    For j =

有两单偶阶时的块对调

    当使用穿心对调法制作偶阶幻立阵时，若阶数内含有两个单偶数，会困难得多！现在运用块对调也也是艰难？我们将两个单偶数给予n与,m，让层数r为双偶数。穿心对调那时我们是中间双十字单独处理，这次是撇除一个口形外框，余下（红色带下划线）中间部分是双偶阶长方体，可以划区块对调。

    然后是口形外框的处理，这象是由四个侧面组成的围栏。借鉴平面幻方块对调时口字框的制作，采用三项连环调，得到理想口字框，并不完全！所以有中间两项的补偿对调。具体步骤可参阅块对调的VB程序，总算是完成有效！请观赏以下的例9和例10，有兴趣者则要仔细观察，领会制作的诀窍。

例9：n*m*r=  240   即用自然数 1 到  240 ，使用块对调得到

 6 * 10 * 4   阶幻立阵 D(i,j,k)如下：

  幻立阵的第  1  层为

  240   2   &

块对调幻立阵的VB程序

    旧日王谢堂前燕，飞入寻常百姓家。当年盖茨以5 万美元买来一小段dos操作程序，稍作修改，卖给商家。使每一台电脑都安装它并缴给知识产权费用，赚得第一桶金。盖茨从此大学不上了，专门编写电脑操作系统，从dos到windows，从win95，win98到win-XP，微软在高层次上突飞猛进！从几个小青年在车库里捣腾到身价数千亿美元的跨国公司，用知识编写的软件绘出现代高科技的神话。

    我等幻方研究者免费使用着这些凝结智慧心血的灵巧软件，同时也在做着看不到任何经济报酬的学术研究，耗尽脑筋却得到只有自己能够了解的一份乐趣。为了宣扬与传播幻方基础知识，我决定无保留地公布这些制作程序源代码，既可VB爱好者交流心得和成果，也可使幻方朋友无偿使用，免去繁琐的重复劳动。

    以下是幻立阵块对调的VB程序，VB也将某些功能单独

有一单偶阶时的块对调

    当行阶n为单偶数时，我们可以把前面(i=1)和后面(i=n)撇在一边，那么中间的绝大部分是双偶阶，正好划分及施行块对调。然后先把后面旋转180度，使得前面和后面对应两项成互补；再将这两个面依平面分块（九区）做穿行的前后对调。如此这两面全达到均衡，贴到原处，就完成了块对调的制作，参阅例7。

    注意：每一层的第一行在前面上，而每一层的第n行属于后面。另提醒一声，块对调在平面上是分为九区，到了三维空间是将长方体分成27个区块。

例7：n*m*r=  960   即用自然数 1 到  960  块对调制作成

 10 * 12 * 8   阶幻立阵 D(i,j,k)如下：

  幻立阵的第  1  层为

  1     2     3     957   956   955   954   953 &

块对调制作偶阶幻立阵

八、立体块对调的构思

    穿心对调是制作偶阶幻立阵的主要方法，但隔一调一显得有些零散！我们是否能将对调项集中成块呢？回答是可以，这就是块对调。块对调在制作平面幻方中我们用过，其规范，最大优点是排数整齐，把可能的玄机一示无遗。块对调作为一种制作方法引进三维空间，稍许会难一点，但给我们一个整体的认识很有必要。块对调在幻方中曾将方阵划为九区，进入空间又该如何？请观看下图。

     图1显示了一个n*m*r的长方数阵（若是幻立方亦可如此办理，更简单一点）。1处表示起点格，

偶阶幻阵块对调的VB程序

     感谢intel为我们造出廉价而飞速而飞速奔腾的芯CPU，比尔·盖茨又设计了Windos操作系统让我们免费使用！这样，我们才能用电脑来研究这——看不到什么经济效益的幻方。电脑擅长于计算，尤其是重复大批量的计算，却拙于判断与选择？如围棋那出子灵活、看不出多少规律的活动，电脑就似一个思维混乱的初段少年。有的幻方朋友以为只要拥有电脑，就可以做出许多极高阶幻方，解决自己尚不明了的难题？他忘记了电脑仅是一个工具，虽然速度在飞跃，但终究能力不是无限的！

    要制作一个幻方或幻阵等，首先您要精密地构思，掌握运作的过程；然后转化为计算机语言，教会电脑该怎么做？这就是程序的作用。如果做人偷懒，其心昏昏，电脑是不可能自己去理解并学会应做的事。所以人与电脑之间，人是主导，正确、合理、简洁的程序源代码联系着两者，将人的意愿通过电脑来实现。

偶阶幻阵的块对调制作

    我在《幻方再论》中论述了幻方的块对调制作，其结果简单排数整齐，别具一格；今将之用于偶阶幻阵的制作，也见成效，又成一法。

1、双偶阶幻阵的九区块对调

    块对调对于n*m双偶阶幻阵制作最为便利！参阅下图方案1，将行、列分别四等分，即令nr = n /4，mr = m/4；分为nr *mr的16小块，组成如下的九区。采用块对调二法，即上、下两个边区做穿心对调，再左、右两个边区做穿心对调，其它（绿色）区域不动，就完成了双偶阶幻阵的制作，见例1。

平面幻阵的乘积运算

    在平面上幻阵如同幻方，也有类似的乘积运算。这些积的运算不但为幻阵制作带来新的途径，同时观赏其结果也使人心怡神往、情趣盎然！

1、两幻阵的克罗内克尔乘积

    一个n*m阶幻阵与另一个r*s阶幻阵做克罗内克尔乘积，所得结果是新的一个nr*ms阶幻阵；克罗内克尔乘积有两种，分别称做两幻阵的和积与叉积，当然其排列亦不同。例1是和积，每一小块是一个5 * 7阶幻阵，比较整齐。

  例1 ： 排出  3 * 5   阶块幻阵 A(i,j)如下：

      1     6     9     10    14

      15    5     11    2   &nb