迈好科学研究的第一步（转贴）

陈木法(北京师范大学数学系100875)

1 方向与选题
     这当然是每一个研究者所面临的首要问题。许多人因为选错了门而白白辛苦了一生。我在这方面花费的精力差不多是整个研究工作的四分之一到二分之一。好方向的基本要求是根子要正，即背景清楚，有生命力。需具备三要素之一：或   在本学科中有重要地位，或与其它学科有重要联系，或有很多应用，并非热闹的方向   都重要。有不少学科，其热门方向的寿命很短，三年前的热门课题，现在再做可能连发表的地方都没有。八十年代，在我所从事的数学研究领域，在概率论方面，曾有几个很热门的方向。我曾投入几年精力，幸运的是我并未完全投入，因为现在已渐渐冷下来了。回想这段历程，感受和教益极深。

选方向的方法之一是向大师学习。学习他们的著作，并力争加以改进。这样做不仅可以锻炼自己的能力和才干，也能了解他们的选题手法，有诸多益处。能在大师身边学习，更是千载难逢的好机会。许许多多的东西，在书本上是学不到的。这些人极少写如何想问题、如何做数学的文章。能多听听他们的课就

4 变换与等价关系

4.1 α-变换

α-变换规则表达的是，被绑定变量的名称是不重要的。比如说 λx.x 和 λy.y 是同一个函数。因此，将某个函数中的所有约束变量全部换名是可以的。尽管如此，这条规则并非像它看起来这么简单，关于被绑定的变量能否由另一个替换有一系列的限制需要遵循。

首先是一个说明：如果M，N是λ-项，x在M中有自由出现，若以N置换M中所有x的自由出现（M中可能含有x的约束出现），我们得到另一个λ-项，记为M[x/N]。

α-变换规则如下：

λx.M≌λy.M[x/y]  如果y没有在M中自由出现，并且只要y替换M中的x，都不会被M中的一个λ绑定。即：替换的变元不能在M中自由出现，并且也只替换M中的自由变元

这条规则告诉我们，例如 λ x. (λ x. x) x 这样的表达式和 λ y. (λ x. x) y 是一样的。

注意：M[x/N]定义出来只是一种记