pia_pia的BLOG

题目：f(x)在x>0上一致连续，且有对任意x>0，f(x+n)趋于0（n为正整数），试证：f(x)趋近于0（当x趋于无穷大）

证明思路：对任意ε>0，都有整数n，当|x1-x2|<1/n，有|f(x1)-f(x2)|<ε

然后n等分整数区间，利用f(x+n)趋于0容易得出结论

那么如果不是一致连续，结论是否成立？

当把'一致连续'条件去掉，结论显然不成立，反例也容易给出

f(x)=cot(2x/π)(0<x<1)

f(x+n)=cot(2x/π)/(2^n)

f(n)=0

显然f(x+n)趋近于0，但f(x)不存在极限

那么只把'一致'去掉，保证函数的连续，结论是否成立？

是更难证明？还是根本不成立？

如果结论成立，则此函数易证明一致连续。

那么是否在f(x+n)趋近于0又连续的条件下能否推出一致连续性？

或者构造一个连续但不一致连续的函数来否定它？

如果需要自己思考的话，请把此窗口立刻关掉。

如果不想思考的话，可以继续往下翻。

pick定理：以整点为顶点的简单多边形（任两边不交叉），它内部整点数为i，它的边上（包括顶点）的整点数为b

则它的面积S=i+b/2-1

先看最简单的三角形，如果只有三个顶点在格点上，边上（不包括顶点）与内部均没有其它整点

那么根据pick定理S=3/2-1=1/2

以下证明凡面积大于1/2的三角形在边上或者在内部有其它整点

证：首先可以通过平移和轴对称将三角形的一个顶点移至原点，另两个位于x轴或第一象限中

设三角形为OAB，O(0,0),A(a,c),B(b,d)并不纺设d/b>c/a,它的面积为n/2(n为整数，因为S=(ad-bc)/2）

若c=0,a>1,则OA边上有其它整点，命题得证

若c=0,a=1,b=1，那么由于面积大于1/2，d>1，则AB边上有其它整点，命题得证

若c=0,a=1,b>1，则将B移至原点并旋转180度，归为另两点均位于第一象限的情况

O(0,0),A(a,c),B(b,d),abcd均为正整数，ad-bc=n>1

若a,c不互质，则命题得证，以下讨论a,c与b,d均互质的情况

（上一篇里的链接有用pick定理证明farey序列性质的问题，这里也用上篇证明farey序列的方法类似证明这个结论）

我无聊而已，请大家自动无视。上一篇就那么变成坑了，我不打算填了.......

写这个源自matrix67里面关于pick定理的应用，里面提到了farey序列，并用很奇妙的办法证明了它的一个性质

我只是为了作练习，再写一下证明而已.......所以请大家自动无视......

http://www.matrix67.com/blog/archives/2199

n阶farey序列：将0到1中分母不大于n的最简分数，从小到大排列成的数列即为n阶farey序列

例如5阶farey序列：（0/1),1/5,1/4,1/3,2/5,1/2,3/5,2/3,3/4,4/5,(1/1)

farey序列的一个性质：对于farey序列中的相邻的两个分数c/a,d/b，有ad-bc=1

以下我无聊的写证明.......

即证：若两个最简分数c/a<d/b有ad-bc>1，则有分数m/n使得c/a<m/n<d/b且n<max{a,b}

证明：设ad-bc=x>1，设x的一个质因数为p

首先，a,b同被p整除或者同不被p整除

否则若a被p整除，b不被p整除，ad-bc被p整除，可得c被p整除，a,c不互质，矛盾

所以a,b同被p整除，或同不被p整除，同理，c,d可得同样

（图片在放缩的时候有些失真......）

这篇将把剩下的六方向和八方向的围法说完

但是四方向既然有三种，那就先把第三种说完了........（因为和八方向相关）

既然方向有3.4.6.8四种，我们也从最简单的情况开始

如果是3方向的话，则格子如图，当天使在黄色六边形里的时候，只要魔鬼相应的外侧的红色三角形布陷阱就可以将天使困住.......

meecy.com/2009/01/little-game-surround-the-cat.html

以上是一个圈猫游戏，想办法将猫困在你设的圈内就是你的目的。

游戏的原型叫做天使与魔鬼问题

问题如下：

在一个无限大的方格棋盘上，有一个天使，天使每次可以前进到自己的邻格（上下左右），而魔鬼每次都可以在其中一个格（非天使所在格）布上陷阱，使得天使无法走到那里，魔鬼和天使交替进行。问魔鬼是否可以在有限步困住天使？（天使和魔鬼都是很聪明的）

这是基本问题

此问题可以推广：天使一次可以直行最多n格呢？天使如果走的是国际象棋里王一样的8个方向呢？或者像圈猫游戏里的猫那样6个方向？或者3个方向？

这个问题在许多地方都有讨论，方法有很多，感兴趣的可以去搜一搜

我在