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射阳二中王克亮
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“余弦定理”几个生成案例的分析与感悟

(2014-04-26 07:48:01)
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文化

 “余弦定理”几个生成案例的分析与感悟

----一次省“三次备课、三次上课、三次点评”研修活动的点滴心得

江苏省射阳县教育局教研室  王克亮

(移动电话:0515-8213819915189268433E-mail:sxwkl@yahoo.cn)

笔者有幸参加了“2010年江苏省高中数学青年骨干教师研修活动”,该活动立足同课异构,采用了“首备、首上(3节课)、首评 再备、再上(3节课)、再评 三备、三上(1节课)、三评” 的研讨模式,课前通过抽签确定上课老师(共有24位老师与会),课题为“余弦定理”(苏教版).本文摘录了活动中余弦定理的几个生成案例,并给出笔者的肤浅分析与感悟,有些观点受益于与会的教材编写专家,在此深表感谢!

1  案例

 

A

B

C

1

B

C

D

E

A

 

2

1.1  案例1

[1]情境创设  提出问题

情境1  如图1所示,A,B两地之间隔着一座小山,现要测量AB之间即将修建的一条直的隧道的长度.另选一个点C,可以测得的数据有: ,如何求AB两地之间隧道的长度(精确到 1m).

 

A

C

B

b

a

3

情境2  如图2所示,一位工人欲做一个三角形的支架.已知杆 的长度为6分米,主架 由一根直的钢管沿着点 弯折而成,且弯折点 与焊接点 、 的距离分别为4分米和5分米.欲弯折后杆 恰好能与两焊接点相接,则弯折后 的大小是多少(精确到0.1)?

:我们不难发现这两者可归结为同一个问题,即在已知三角形两条边的前提下,其夹角的大小与第三条边的长度之间有着怎样的关系?

[2]探究猜想  意义建构

 

塑料棒1

塑料棒2

可转动点

固定联结点

细绳

可动联结点

4

问题1  如图3所示,在 中,已知 (其中 ),当 从小到大变化时,AB长度的变化趋势如何?

:我们一起来看一个简单的实验(道具如图4所示).

众生: AB长度随着 的增大而增大.

追问: 若将 的范围扩大到 ,特别地:当 这三种特殊情形时,AB的长度分别是多少?

1:.

:很好!我们不妨把这三个结论在形式上写得更接近些,:

,

,

.

问题2  请你根据上述三个特例的结果,试猜想:当 时,线段AB的长度是多少?

2: .

问题3  你能验证该猜想吗?请试一试.

师生共同研讨了几何证法与向量证法(此略).

问题4  在三角形中,如何用符号语言与文字语言表示出上述结论?

3:.

 

4

A

C

B

3

5

:很好!这一结论我们称之为余弦定理----引入课题(以下均略).

1.2  案例2

[1]熟题变式  引领探究

:在 中,如果 ,那么 等于多少?

众生: .

:这是大家非常熟悉的问题,如果将其条件或背景加以改变,又该如何解决呢?

1  如图5所示,在 中,如果 ,那么 等于多少?

1与生2分别给出了正弦定理法与构造直角三角形法,答案是  (详略).

2  已知 ,与 的夹角为 ,.

3:因为 ,所以 .

:这两道题目的答案一样,是不是巧合?

4:它们是有联系的,如果把第二个问题用图形表示出来,发现它就是第一个问题.

:那么,在此基础上你能解决下面的一般性问题吗?

 

6

b

A

C

B

a

问题  如图6所示,在 中,已知两边 和夹角 ,如何求第三边 ?你能得到什么样的结论?

5:因为 ,所以

,.

[2]方法提炼  意义建构

:5是将向量等式 的两边同时平方得到结论的,前面推导正弦定理时我们也曾用了类似的方法,只不过当时是在向量等式的两边同时乘以一个高向量而得到结论的.此方法的基本原理就是将向量等式数量化,希望大家好好领悟.

这个结论说明:在三角形中,已知两条边的长度以及它们的夹角大小,就可以求出第三边的长度.这个结论与正弦定理一样,也可以用来解三角形,我们称之为余弦定理----引入课题(以下均略).

1.3  案例3

[1]复习回顾  方法提炼

:前面我们学习了正弦定理,需要大家关注这样两个问题:一是定理的用途;二是定理的证明(接着,师生一起简要回顾了“构造直角三角形法、外接圆法和向量法” 这三种证法).其中的向量方法,由于在正弦定理的证明过程中并没有表现得特别优秀,可能被大家所忽略.这里,我们不妨再次回顾一下它的证明思想,:

 

向量等式             作数量积             数量等式

                         

点乘高向量

 

 

[2]自主探究  意义建构

问题  如果在向量等式 的两边同时点乘其它向量,还能得到别的数量等式吗?所得到的等式会不会对解三角形也有作用?请大家试一试.

(几分钟之后)

1:在向量等式 的两边同时点乘 ,,可得 .

:这个结论对解三角形有作用吗?

1:有用.比如,当知道角 与边 时,就可以求出边 .

:很好!除此以外,其他同学有别的发现吗?

2:将向量等式 的两边平方,可以得到 .

:这个结论对解三角形有帮助吗?

2:当知道两边 及其夹角 时,就可以求出第三边 .

:非常好!现在我们再回头看一个这两个结论的形成过程,:

 

向量等式           作数量积                数量等式

                        

                       

点乘向量

两边平方

 

 

 

    :这里的两个结论,前一个我们通常称为射影定理,就是教材必修5习题1.27题中的一个结论;后一个就是我们今天所要学习的余弦定理----引入课题(以下均略).

2  分析

“余弦定理”是新课标教材必修51章“解三角形”的第2小节内容,本节课的难点有两个,一是余弦定理的生成,二是余弦定理的证明,其中定理的证明不可避免地受到定理生成方式的影响.苏教版教材的处理方式是在回顾了第1小节中正弦定理的向量证法思想后,设置了“还有其他途径将向量等式 数量化吗?”这个探究性问题,接着用寥寥几行字直接给出了余弦定理的向量证明过程及定理内容,同时,在配套教师用书的边注中给出了定理的另外三种证法.

在本次活动“原生态”的备课中,几乎所有与会老师的教学设计都力求在教材的基础上进行再创造,如上述的案例1与案例2.在案例1,教者精心编制了两个实际问题作为情境,从中提炼出数学问题模型引导学生探究,并基于合理猜想来生成余弦定理.这一教学设计的优点在于凸显了从特殊到一般的思维方式,可培养学生的归纳猜想能力,而且也有助于学生对公式的理解与记忆.不足之处有两点:一是对问题2的处理,如果缺少了教者前面“形式化同”的提示,学生是很难猜想成功的,而给出了这样的提示,猜想的味儿就淡了许多;二是对于定理的证明,学生容易想到的是几何方法,而对于向量方法,尽管前面在正弦定理的证明当中已经有所体验,但因尚未被学生内化,所以还不能运用自如,因而这一主要方法的给出还得依赖于教师的启发.在案例2,教者巧妙地给出了的两个形异质同的题目,通过这两道题目的解决与比较,不仅自然地引出了一般性的问题,还为学生后面形成余弦定理的证明思路作了较好的铺垫.其优点在于无论是余弦定理的生成还是证明都变得较为流畅,老师操作起来得心应手,学生也很容易配合.不足之处也恰恰是因为铺垫过于直接,而显得学生的思维量不够.

活动中,经过两次上课与点评之后,与会老师们逐步认同了专家组的“尊重教材的处理方式”这一观点,案例3就是融入了许多宝贵建议的三次备课后的“代表之作”.在案例3,教者揭示了正弦定理的向量证法的原理之后,即放手让学生探究,余弦定理只是作为学生的探究结果之一.如此设计的优点在于学生有了真正的探究,有了自己的发现,成了课堂的主人;同时,学生对这里的向量方法也有了较为深刻的认识与理解.当然,几节课的实践也表明,这种教学方式对老师的要求更高,若课堂驾驭能力不强或调控不当,容易出现余弦定理出不来(如学生不能跨过“等式两边乘以同一个向量”到“等式两边的向量自乘”这个坎儿)与教学任务不能完成(如活动中,有一节课持续了近一个小时尚未涉及到余弦定理的应用)等现象.

3  感悟

3.1  用向量方法支撑本章的教学

本章的核心任务是解三角形,重点是三角形中几个边角关系的揭示与应用,而向量融长度与方向于一体,自然地就成了本章研究的一个重要载体.事实上,向量等式 (也可以写成差的形式,如案例3中提到的 )是三角形中的一个美妙无比、魅力无穷的关系式,它不仅暗含了“ ”这个内角和定理,还蕴含着正弦定理、余弦定理、射影定理等边角关系式.

基于此,笔者认为,无论是余弦定理的生成还是证明,都应突出向量方法,这样做至少有这么几个优点:一是可将余弦定理的生成与证明合二为一,一气呵成;二是在生成余弦定理的同时,还能得到射影定理等其它结论;三是学生对三角形中边角关系式的认识将会视点更高.运用向量方法,关键是要揭示出其转化原理:其中向量等式是根本,两边作数量积是关键,所得结论就是相关定理.当然,几节课的实践也表明,运用向量方法会使得余弦定理的其它证法变得“不太自然”,笔者认为,这些不是本章的重点,完全可以让学有余力的学生自己课后去探究,课上就直接转入到余弦定理的应用之中.

如果学生的基础较好,我们还可以采用“先总后分”的方法来设计全章的教学,即在本章的起始课上就介绍向量方法的原理,接着放手让学生探究,一节课就把正弦定理、余弦定理、射影定理都生成出来,然后在后续课上再分开来研究与应用.

3.2  在探究中增加“发现”的成分

可喜的是,本次活动中几乎所有的课堂上都设置了学生探究活动,上述的三个案例即可管窥一般.但细细比较不难发现,其中实施探究的方式又有所不同.在案例1,教者设置了问题串,通过几个子问题的解决即可生成和证明余弦定理;在案例2,教者事先给出的两道题目的处理方法实际上为后面一般性问题的解决提供了样板,学生只要照着模仿即可;而案例3,老师明确的仅仅是方法与原理,至于运用这种方法做类似的研究时能得到什么样的结论,学生心中并没有预期的目标.由此可见,前两种类型的探究中引导的成分多些,而第三种类型的探究中发现的成分多些,我们不妨把它们分别称为“引导型探究”和“发现型探究”.

在引导型探究中,解决哪几个问题、用什么方法,教师都已设计好并提示到位,学生只需跟着老师的指令走,解决一个个问题即可.尽管这种探究中学生自主的空间较小、仍有被老师牵着鼻子走的感觉,但其要比“填鸭式”的教学方式得到的体验来得深刻得多;同时,因为引导型探究有易于操作、便于老师驾驭课堂、能保证教学任务如期完成等优点,所以这种探究方式很受老师们的偏爱.而在发现型探究中,老师只是给了学生研究的方法和努力的方向,具体的工作则是由学生自己来完成的,因而这种探究通常会让学生感觉有自己的发现,成就感会更加强烈.事实上,数学家们的很多研究工作,其实质就是发现型探究.所以这种探究方式显得更有价值,在教学中更值得提倡与运用.

 

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