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射阳二中王克亮
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立足“最近发展区”设计教学的策略初探

(2014-04-25 17:53:51)
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文化

立足“最近发展区”设计教学的策略初探

——从“几何概型”竞赛课中获得的启示

  王克亮

苏联心理学家维果茨基认为,学生有两种发展水平:一是学生的现有水平.即由一定的已经完成的发展系统所形成的学生心理机能的发展水平,如学生已经完全掌握了某些概念和规则;二是即将达到的发展水平.表现为“学生还不能独立地完成任务,但在教师的帮助下,在集体活动中,通过模仿却能够完成这些任务.”这两种水平之间的距离,就是“最近发展区”.

最近发展区理论强调了教学在学生发展中的主导性、决定性作用,揭示了教学的本质特征不在于“训练”、“强化”业已形成的内部心理机能,而在于激发、形成目前还不存在的心理机能.这一理论启发我们:教学实际上就是一个搭建脚手架的过程,在脚手架的帮助下,学生能够跨越新旧发展水平间的距离,在原有发展水平的基础上,使自己在问题、知识、方法、思想等方面都能得到发展.

那么,如何立足“最近发展区”进行教学设计呢?近日,在盐城市高中数学优质课竞赛活动中,作为评委,笔者通过对十多节“几何概型(第一课时)”竞赛课的观摩与思考,对这个问题有了一些肤浅的看法,现形成以下观点以就教于方家.在本次竞赛活动中,盐城中学的沈巍龑和射阳中学的龚俊华两位老师以其睿智的教学设计在竞赛中脱颖而出,分别获得了两个小组的第一名.本文所选教学案例均源自这两位老师的竞赛课堂(有所改动,融入了笔者的一些思考),在此表示感谢!

1       以旧引新,在变化中实现问题的发展

 

3m

·

·

1

苏教版普通高中课程标准实验教科书必修33.3节“几何概型”创设了如下两个问题情境:

问题1:取一根长度为3的绳子(如图1所示),拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长度都不小于1的概率有多大?

 

122

2

问题2:射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环.从外向内为白色、黑色、蓝色、红色,靶心是金色,金色靶心叫“黄心” (如图2所示).奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm.运动员在70外射箭,假设每箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那么射中黄心的概率是多少?

如何运用教材中的上述情境问题才能达到较好的教学效果呢?请看龚老师的竞赛课片断.

 

P1

P2

P3

P44

3m

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·

·

·

·

3

:如图3所示,3长的绳子上有四个点将绳子五等份,现在这四个点中任意一点处将绳子剪断,那么剪得的两段长都不小于1的概率有多大?

1:记“剪得的两段长都不小于1”的事件为 ,因为可在四个点中任意一点处剪断,所以基本事件总数是4,而事件 包含的基本事件只有 两点,故所求的概率为 .

:这个题目属于我们前面所学的古典概型,其特征有两个:一是所有的基本事件只有有限个;二是每个基本事件的发生都是等可能的.现在我把题目的条件稍微变化一下(展示情境问题1),大家再来看能不能解决?

提问:这个试验中的基本事件是什么?

2:是绳子上的点.

:很好!从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是绳子上除两端外的任意一点.

追问:每个基本事件的发生是等可能的吗?

众生:.

:请再看一个问题(展示情境问题2).

提问:这个试验中的基本事件又是什么?

3:靶面上的点.

追问1:那么每个基本事件的发生是等可能的吗?

众生:.

追问2:这两个试验是古典概型吗?

众生:不是.

追问3:为何?

4:因为它们的基本事件都有无数个,这不符合古典概型的特征.

:与古典概型相比,这两个试验中所有的基本事件都是无数个,而且基本事件的发生又都是等可能的,这是一种新的概率模型,也就是我们今天所要学习的几何概型----引入课题.

分析:在比赛中,几乎所有参赛老师直接运用了情境问题2,但对情境问题1的处理方式却是多种多样:有的老师将其后移到应用当中,有的老师给出题目时就将线段三等份,有的老师直接放弃不用,也有的老师对其作了改编.

教材选用这两个引例的意图是很明显的,情境问题1是一维图形,情境问题2是二维图形,它们的呈现与解决可为几何概型的概念及其概型计算公式的引入作好铺垫.相比之下,情境问题1与学生已有的发展水平之间距离的跨度较大,入手相对较难,这是很多老师作调整的根本原因.

实际的授课效果表明,将情境问题1向后移不太合理,因为概念的生成需要一维的例子,而又很难找到更好的替代问题;给出题目时,就将线段分成三等份,虽然有了暗示,但也失去了应有的探究价值;直接跳过不用,更显得可惜;而对其进行合理改编,做到以旧引新,则是一种很明智的选择.

老师从学生已经掌握的古典概型问题入手,借机回顾了古典概型的两个特征,然后经过适当改造得到新的问题,通过比较,凸显了其与古典概型的异同.如此,问题发展的跨度适宜,符合最近发展区理论的要求.

另有两位老师也采用了这种以旧引新的处理思想,一位老师用的是“转盘试验”,将转盘上的区域从平均分配到不平均分配;另一位老师则用了“在给定集合内取数的试验”,集合中的元素从区间[1,5]内的整数变化到实数.这两个变化的试验也都达到了从古典概型过渡到几何概型的目的,但由于这两个试验中的基本事件是间接地对应到某个区域内的点,没有教材中的引例来得直接,其最近发展区的距离跨度大了一些,所以效果相对要逊色些.

启示:数学课上,如果一开始就直接抛出一些全新的问题,学生可能会感到唐突.而从学生熟悉的问题出发,经过适当变化后引出新的问题,这种做法是体现最近发展区理论的较好策略.而且,这种处理方式还能教会学生如何提出新的问题.

2       拾级而上,在探究中实现知识的发展

作为几何概型的第一课时,这节课的重点应定位在知识的生成上,那么如何自然地建构出几何概型的概念及其概率计算公式呢?请看沈老师的教学片断.

问题1  在情境问题1,设拉直后的线段为 ,记“剪得的两段长度都不小于1”的事件为 ,则事件 包含的基本事件应落在线段 的什么位置?

 

3m

·

·

4

·

·

E

F

D

C

1:设线段 的两个三等分点分别为 ,则符合要求的点应该落在线段 上.

(教者一边听,一边作了如下板书:所有的基本事件 线段 上的点;事件 包含的基本事件 线段 上的点)

问题2  如果延用古典概型的概率计算公式,你认为该如何计算事件 发生的概率大小呢?

2: .

:我们知道,线段 与线段 上都有无数个点,因而其结果是“,显然这是无法计算出结果来的.

问题3  为了使得这个结果可以计算,你认为该如何转化比较合理呢?

3:我觉得就用线段 与线段 的长度之比来计算比较合理.

:太棒了!数学家们也是这么想的,答案是多少呢?

众生: .

问题4  若用类似的处理思想,你认为情境问题2中的事件 (射中黄心)的概率大小如何来计算比较合理呢?

4:在该试验中,因为“所有的基本事件”对应为“靶面上的点”,而“事件 包含的基本事件”对应为“黄心内的点”,所以 ,但这个比值不能确定,故将其转化为 .

:非常好!按此想法,答案是多少呢?

4: .

问题5  如果把线段、圆等图形看成是一个区域(大、小区域可分别用字母 、 来表示),而把线段的长度、圆的面积等看成是区域的测度.那么,从区域以及区域的测度这两个角度来看,上述两个随机试验有着什么样的共同特点?

5:在这两个随机试验中,每一个基本事件都转化为在某个区域 内随机取一点,且每个点被取到的机会相等;而事件 的发生可以视为恰好取到区域 内的某个小区域内的点.事件 发生的概率大小都转化为区域 与区域 的测度之比.

问题6  如果保持区域 的测度不变,那么事件 的概率与区域 的测度大小有何关系?

6:成正比.

问题7  事件 的概率大小与区域 的形状或位置有关吗?

众生:没有关系.

:我们把满足这些条件的概率模型称为几何概型(板书时暂不写“体积”这个测度,但留下空位).在几何概型中,事件 的概率计算公式为 .

分析:在竞赛课上,有近一半的老师很快给出了几何概型的概念及其计算公式,然后重点放在题目的分析与讲解上,笔者认为这样的定位是不适宜的.教师配套用书建议本课题要上两个课时,所以第一课时应侧重于知识的生成,不要急于讲那么多的题目.同时,在竞赛课中,绝大多数老师是将几何概型的概念与其概率计算公式分开来处理的,听起来总觉得有点脱节,不太顺畅.

沈老师是先将基本事件与区域内的点对应起来,从“有限”走向“无限”;然后从学生熟悉的古典概型的概率计算公式出发,引导学生仍用比式来求其概率的大小.当发现该比式无法求解,新的矛盾产生后,再次引导学生合理转化,让学生自己想到运用对应几何区域的测度来计算.问题6与问题7在竞赛课中极少有老师提到,笔者认为它们的呈现不仅不是画蛇添足,而且很有必要,这可以培养学生思维的慎密性.显然,本节课中,整个新知的生成,概念与计算公式融合一体,在问题串的循循善诱下,学生易于建构,显得质朴而流畅.

    启示:新的概念与结论的产生都是有很大的合理性的,如果脱离了这种合理性来直接讲解,总有天上掉下个林妹妹之感.新知的生成过程从某个角度来讲,就是还原这种合理性的过程.笔者认为,从学生已有的知识出发,通过一系列问题的引领与探究,逐步拾级而上,每一步的跨越学生既可及又使力的新知生成方式是运用最近发展区理论的较好策略.

3       变式引申,在拓展中实现方法的发展

知识应用是数学课堂的一个重要环节,在本节课上如何设置与讲解例题,可以有效地帮助学生学会思考问题呢?请看沈老师的教学片断.

1  取一个边长为2的正方形及其内切圆(如图4所示),若随机向正方形内撒一粒豆子,求豆子落入圆内的概率.

 

2a

4

 

5

解析:.

提炼:几何概型问题的求解步骤是:识事件,定区域,求测度,代公式,答结果.

变式:在棱长为2的正方体内有一内切球(如图5所示),现随机地在正方体内任取一点,求该点落入球内的概率.

解析:.

 

6

:由此可见,常见的区域测度,除了线段的长度、平面图形的面积外,还有立体图形的体积(同时,在前面板书的几何概型定义的空白处补上“体积”两字),长度、面积与体积是几何概型问题中常用的三种测度.

:刚才的例1只是随机地向正方形内撒一粒豆子,如果我们随机地撒很多粒的豆子,会有什么样的效果呢?请看电脑的模拟试验(一共作了四次演示,分别记下了向正方形内所撒豆子数 和落在圆内的豆子数 ,如图6所示).

:有人发现,可以用 这个值来近似地估算圆周率 ,我们来验证一下对不对?

(将上述四组数据代入验证,发现根据试验所得的 值的确在 附近摆动.)

追问:你能解释一下其中的道理吗?

1: 很大时,频率 应接近于 ,即;而由例1的结果知 ,所以 ,.

 

7

11

·

·

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·

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·

12

3

6

9

:非常好!这为我们数学上又提供了一种新的方法,即实验求值法.这样的例子还有一些,有兴趣的同学课后可以自己去查阅一些资料.

2  某人午休醒来,发觉表停了,他打开收音机想听电台整点报时,则他等待的时间短于10的概率是多少?

:如何思考这个问题呢?

2:我画了一个时钟(老师用实物投影示出了学生的图形,如图7所示),如果把该人醒来的时刻对应到圆周上一点的话,那么所有的基本事件即是圆周上的点,设“他等待的时间短于10”的事件为 ,则事件包括的基本事件应是圆周上11-12之间的点, .

:2选用的测度是圆弧的长度,如果把时钟的外圆拉直的话,那么这里的弧长实质上相当于是线段的长度.有别的做法吗?

3:11-12之间扇形的面积比上圆的面积好象也是对的.

:有道理!

4:还可以用11-12之间圆心角的大小与周角的比来计算.

:大家一下子用了三种不同测度解决了这个问题,所以在几何概型问题的求解当中,当看问题的角度不同时,可能会有不同的测度.这里很巧,运用三种测度都得到了正确的答案.有时运用不同的测度可能会得到不同的结果,但正确的答案只能有一种,这样的例子我们以后会遇到.

分析:有的参赛老师在知识应用中按不同测度配置了一些例题,但题目之间缺少必要的联系,同时未能开发出每一道例题应有的功效.

沈老师选用了两道例题,1以背景简单的二维图形出现,解决之后即提炼了几何概型问题的求解步骤,实现了方法的一般化;接着将其拓展到三维空间,正方形变成正方体,内切圆变为内切球,自然地给出了第三种测度——体积,填补了前面概念中的留下的空白;最后又从撒一粒豆子引申为撒多粒豆子,给出了实验求值法,拓宽了学生的视野.在例2,沈老师引导学生用一道题目体验了三种不同的测度,既培养了学生的发散性思维,又构建了方法体系.所以,整个知识应用中的变式与拓展显得合理而自然,符合最近发展区的要求.

启示:例题教学除了有强化概念理解、完善认知结构的功能外,更为重要的是能从中提炼出解决问题的一般方法,构建方法体系.笔者认为,在例题教学中,合理变式、适度引申、总结归纳等做法是体现最近发展区理论的有效策略.

4        提炼升华,在反思中实现思想的发展

在课堂小结中,如何提炼本节课的主要思想,实现思想的突破与发展呢?请看龚老师的教学片断.

:回顾本节课的主要内容及研究思想,我们首先将试验中的基本事件对应为区域中的点,实现一种概念的延伸——从有限到无限,得到了几何概型的概念;接着类比古典概型的计算方法,得到了“ ”这个比值,为了解决新的矛盾,又将其转化为区域的测度之比,得到了几何概型的概率计算公式,其间运用了两种重要的数学思想——类比思想与转化思想;在知识的应用中,我们又主要体验了三种测度模式——线段型、面积型、体积型.

值得注意的是,几何概型并非指几何背景下的概率问题,而是构建了研究概率问题的一种模型.事实上,模型化思想是我们数学中研究与解决问题的一种重要思想,值得大家好好体味!

分析:在大多数参赛课的课堂小结中,老师让学生自己来叙述本节课的收获,学生回顾了所学的主要知识之后就过去了.毫无疑问,这种教学的定位仍是知识的传授,没有从思想的高度来看数学教学.

龚老师用非常精炼而又高度概括的三句话回顾了本节课的主要内容及研究思想,即“一个概念的延伸,两种思想的运用,三种测度的体验”,而模型化思想的提炼,又把最近发展区理论用到了更高的一个层次.

启示:在数学课上,我们除了要教给学生具体的数学知识外,更重要的是要以此为载体传授一些思想.这里所说的思想,不仅仅指具体的“数学思想”,还包括意义更广泛的“研究策略”、“行动策略”、“哲学思想”等,思想的呈现主要依赖于老师的适时点拨与高度提炼.笔者认为,将知识内涵与研究过程升华为一些思想也是运用最近发展区理论的一种策略.

参考文献

[1]王克亮.高中数学新授课教学的有效性刍议.数学通讯, 2010.04,1-3

[2]王克亮.解开数学新授课中“思”的情绪---兼评侯爱娟老师的《向量的加法》.中学数学教学参考, 2010.04,10-11

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