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北方浪人奥数_607
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初中数学竞赛训练试题(1)

(2013-10-08 18:09:10)

初中数学竞赛训练试题(1)

                                  姓名         

 一、选择题(每小题5分,共30分)

  1.使代数式y= 的值为整数的全体自然数 的和是(    )

    A.5        B .6     C.12      D.22

  2.方程 实数根的个数为(    )

    A.l       B.2      C.3      D.4

  3.如图,∠ XOY=900,OW平分∠XOYPAOXPBOY,PCOW.若OA+ OB+OC=1,则OC=(    )

    A.2-    B. -1     C. -2      D.2 -3

  4.对于每个 ,函数yy1=2x, y2= +2,y3= +12

这三个函数中的最小值,则函数y的最大值是(    )

   A.4      B.6       C.8       D.

   5.在自变量 的取值范围59≤ ≤60内,二次函数y=x2+x+的函数值中整数的个数是(     )

A.59       B.1206       C.118       D.60

6如图,⊙O1、⊙O2交于点EFABCD是两条公切线,

直线EF分别交ABCD于点PQ.则 ABPQEF的关系是(    )

A.2AB=PO+ EF   B.AB2=PQ·EF   C.AB2+ EF2= PQ2  D.

二、填空题(每小题5分,共20分)

1.已知 ,        .

2.设关于 的方程 有两个不相等的实数 、 ,

x1 <12.那么,a的取值范围是          

3.如图,在△ABC中,∠ACB=900AC=BC=12

BC为直径作⊙O,CEAO,EAB上,则SBCE=____

4.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=3:4:5

BCCAAB=__       __

三、解答题:

1(15)某公司用480万元购得某种产品的生产技术后,再次投入资金1520万元购买生产设备,进行该产品的生产加工.已知生产这种产品每件还需成本费40元,经过市场调研发现:该产品的销售单价定在100元到300元之间较为合理.当销售单价定为100元时,年销售量为20万件;当销售单价超过100元,但不超过200元时,每件产品的销售价格每增加10元,年销售量将减少0.8万件;当销售单价超过200元,但不超过300元时,每件产品的销售价格每增加10元,年销售量将减少1万件.设销售单价为x(元),年销售量为y(万件),年获利为w(万元).

(1)直接写出yx之间的函数关系式.   

(2)求第一年的年获利wx之间的函数关系式,并说明投资的第一年,该公司是赢利还是亏损?若赢利,最大利润是多少?若亏损,最少亏损是多少?

    (3)该公司希望到第二年底,两年的总赢利不低于1842万元,请你确定此时销售单价

的范围.在此情况下,要使产品销售量最大,销售单价应定为多少元?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2、(15分)如图,△A/BC∽△AB/C∽△ABC/

求证:AA/BB/CO/三线共点,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3(20)半圆⊙O的直径AB是等腰Rt△ABC的斜边,点P在射线BA上、PQ切半圆⊙O于点Q,∠BPQ的平分线交ACBC于点EF

求证:AE2+BF2=EF2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. (20) 设 是正整数, 是方程 的两个根.证明:存在边长是整数且面积为 的直角三角形.(2012江苏)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

参考答案:

    一、选择题:

1D.由于 ,为使 为整数,则自然数x可取0,1,2,3,511,其和为22

    2A.当x>0时,x- =3x2-3x-4=0x1=4x2=-1(舍);   

x<0时,-x- =3x2-3x+4=O△,无实根,综上,原方程只有-个实数根x=4   

3B.延长CPOY于点D,易知    BD=PB=OA.则OA+OB=OB+BD=OD= OC   

1= OA+OB+ OC=( +1)OC,即OC=

    4B.分别联立yly2yly3y2y3得交点 A(24)B( , ),c(46)

    当石≤2时,min{y1y2y3}=yl=2x≤4,最大值为4

2时,min{y1y2y3}=y2=x+2≤ ,最大值为

     <</SPAN>x≤4时,min{yl,y2,y3}=y2=x+2≤6,最大值为6

    x>4时,min{yly2y3}=y3=- x+12<6.综上,函数y的最大值为6 

5B.注意到y=x2+x+ =(x+ )2+,当x>-时,yx的增大而增大.

    由于59≤x≤60,则592+59+ ≤y≤602+60+,即3540 ≤y≤3660

    此范围共含有整数3660-3541+1=120个.

 6C   

PE=QF=aEF=b.则PQ2=(2a+b)2=4a2+ 4ab+b2.   

AB2=4PA2=4PE·PF=4aa+b=4a2+4ab,故AB2+EF2=4a2+4ab+b2=PQ2.

二、1.1  注意到

 

p3+p2+p= + + = =1

2-.设f(x)=ax2+(a+2)x+9a.依题意,方程的两个不相等的实数根x1,x2满足x1<12,结合二次函数的图象,可知:

1

(2)

  解不等式组(1)知,式a的取值范围没有公共部分,因此,(1)没有解;

解不等式组(2)          因此,解集为

3,24 如图,设⊙OAB于点F,联结CF,交OA于点H

联结EH并延长交AC于点D.则H△AEC的垂心.故EDACED//BC

  AOCF△ABC的两条中线,则H△ABC的重心,

此时, =2.于是,BE= AE= AB

 SBCE=12×12× )× =24

4.2: :( +1).如图

 

三、解答题:

1.(1

2)当100≤ x≤200时,w=xy-40y-(1520+480)    

将 代入①得   w=x()-40( )-2000

整理得w= -78

200时,同理可得   W=-

   w=

100≤x≤200,当x=195时,    wmax=-78

200时,wmax<-80

    故投资的第一年公司是亏损的,最少亏损为78万元.

    (3)依题意可知,第二年wx之间的函数关系式为

W=

当两年总利润刚好为1842万元时,依

题意得

   

 解得xl=190x2 =200

  故当190≤x≤200时,总利润不低于1842万元.

  (100≤x≤200)可知,当销售单价定为190元时,销售量最大.

    2.如图,设AA/BB/交于点D,联结OCOC/

    △A/BC∽△AB'C易推得    △AA/C∽△B/BC

    则∠AA/C=B/BC,即   OA/C=OBC

    因此,OBA/C四点共圆,

  此时,∠A/OB=A/CB=AC/B  所以,OAC/B也四点共圆.故

   AOC/=ABC/=A/BC=A/OC

    CC/两点位于AA/的异侧,可断定CDC/三点共线.

  从而,AA'BB'CC'三线共点.

  3.如图,联结QAQBPF于点XY,连结QEQF.

易知∠PQA=PBQ,XQY=AQB=90°

  XQY=AQB =900.

  因为∠QXY=BPQ+PQA  QYX=BPQ+PBQ 

所以,∠QXY=QYX=450=CAB 

又∠QXY=BPQ+PQA    CAB=BPQ+PEA     ∴∠PQA=PEA

    从而,PQEA四点共圆,

    PE平分∠APQ,因此,QE=AE    注意到

    PFB=900+CEF=900+PEA=900+PQA

    PQB=AQB+PQA=900+PQA    所以,∠PQB=PFB

    从而,PQFB四点共圆.

    PF平分∠BPQ,因此,QF=BF

   ∵∠BQF=BPF=APE=AQE,则   EQF=AQB=900

    Rt△QEF中,QE2+QF2=EF2,故    AE2+BF2= EF2

    4. 证明:由题设可知

由于 是正整数,所以 中任意两个数之和大于第三个数,从而知存在以 为边的三角形.

因为

所以,这样的三角形是直角三角形,其直角边长为 ,斜边长为 ,且该三角形的面积为

故边长为 的三角形符合题设要求.

 

 

 

 

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