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北方浪人奥数_607
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§1四个“二次”的联系

(2013-10-08 09:45:07)

 

 

x

 

 

 

x

 

§1四个“二次”的联系

  教材分析:

二次函数是最简单的非线性函数之一,而且有着丰富内涵。在中学数学数材中,对二次函数和二次方程,二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质,都有深入和反复的讨论与练习。它对近代数学,乃至现代数学,影响深远,为历年来数学中考、竞赛考试的一项重点考查内容,历久不衰,以它为核心内容的重点试题,也年年有所变化,不仅如此,在全国及各地的初、高中数学竞赛中,有关二次函数的内容也是非常重要的命题对象。因此,必须透彻熟练地掌握二次函数的基本性质。

学习二次函数的关键是抓住顶点(-b/ 2a(4ac-b2)/4a),顶点的由来体现了配方法(y=ax2+bx+c=a(x+b/2a)2+(4ac-b2)/4a);图象的平移归结为顶点的平移(y=ax2y=a(x-h)2+k);函数的对称性(对称轴x=-b/2af (-b/2a+x)=f (-b/2a-x)xR),单调区间(-∞,-b/2a),[-b/2a,+]、极值((4ac-b2)/4a),判别式(Δb2-4ac)与x轴的位置关系(相交、相切、相离)等,全都与顶点有关。

  一、“四个二次型”概述

二次函数y=ax2+bx+c(a0)

a=0

一次函数y=bx+c(b0)

 

(一元)二次三项式
ax2+bx+c(a
0)

a=0

(一元)一次二项式
bx+c(b
0)

 

 

 

一元二次方程

ax2+bx+c0(a0)

a=0

一元一次方程

bx+c0(b0)

 

 

 

一元二次不等式
ax2+bx+c>0
ax2+bx+c<0(a0)

a=0

一元一次不等式

bx+c>0bx+c<0(b0)

    观察这个框图,就会发现:在a0的条件下,从二次三项式出发,就可派生出一元二次函数,一元二次方程和一元二次不等式来。故将它们合称为“四个二次型”。其中二次三项式ax2+bx+c(a0)像一颗心脏一样,支配着整个“四个二次型”的运动脉络。而二次函数y=ax2+bx+c(a0),犹如“四个二次型”的首脑或统帅:它的自变量x的取值范围是全体实数,即nR;它的解析式f(x)即是二次三项式ax2+bx+c(a0);若y=0,即ax2+bx+c=0a0),就是初中重点研究的一元二次方程;若y>0y<0,即ax2+bx+c>0ax2+bx+c<0a0),就是高中一年级重点研究的一元二次不等式,它总揽全局,是“四个二次型”的灵魂。讨论零值的一元二次函数即一元二次方程是研究“四个二次型”的关键所在,它直接影响着两大主干:一元二次方程和一元二次不等式的求解。一元二次方程的根可看作二次函数的零点;一元二次不等式的解集可看作二次函数的正、负值区间。心脏、头脑、关键、主干、一句话,“四个二次型”联系密切,把握它们的相互联系、相互转化、相互利用,便于寻求规律,灵活运用,使学习事半功倍。

1 (1)对关于x的一次函数y=kx+h(k≠0),若x=-11时都有y0

证明:当-1<<SPAN style="mso-bidi-font-style: italic">x<1时都有y0

(2)试用上面结论证明下面的命题:若abc为实数且|a|1|b|1|c|1

ab+bc+ca-1

证明:(1)由于一次函数y=kx+h-1<<SPAN style="mso-bidi-font-style: italic">x<1上的图象为线段(除去两端点),

而在端点x=-11时都有y0,即两个端点都在x轴上方,

故整条线段都在x轴上方,即当-1<<SPAN style="mso-bidi-font-style: italic">x<1时都有y0

2ab+bc+ca+1=b+ca+bc+1

a= -11时,其值分别为-b-c+bc+1b+c+bc+1,

-b-c+bc+1=(b-1)(c-1),b+c+bc=(b+1) (c+1),

由于|b|1|c|1,故(b-1) (c-1)(b+1) (c+1)都大于0

由(1)结论可得对|a|1都有ab+bc+ca-1

点评:例题以一次函数为基础,借助一次函数的图象可以证明命题(1),但是,利用(1)的结论,通过作差比较的方法,计算某个字母取到极端时,证得二次三项式ab+bc+ca-1的不等式。

2:(2008年天津市中考)已知抛物线 ,

)若 , ,求该抛物线与 轴公共点的坐标;

)若 ,且当 时,抛物线与 轴有且只有一个公共点,求 的取值范围;

)若 ,且 时,对应的 ; 时,对应的 ,试判断当 时,抛物线与 轴是否有公共点?若有,请证明你的结论;若没有,阐述理由.

解()当 , 时,抛物线为 ,

方程 的两个根为 ,

该抛物线与 轴公共点的坐标是 和  

)当 时,抛物线为 ,且与 轴有公共点

对于方程 ,判别式 ≥0,有

当 时,由方程 ,解得

此时抛物线为 与 轴只有一个公共点

时,

时, ,

时,

由已知 时,该抛物线与 轴有且只有一个公共点,考虑其对称轴为 ,

应有  

解得 .

综上, 或    

)对于二次函数 ,

由已知 时, ; 时, ,

又 ,

于是 .而 ,,即 .

 

关于 的一元二次方程 的判别式

  

 

 

 

x

 

抛物线 与 轴有两个公共点,顶点在 轴下方

又该抛物线的对称轴 ,

由 , , ,

得 ,

又由已知 时, ; 时, ,观察图象,

可知在 范围内,该抛物线与 轴有两个公共点

点评:一道中考试题,从第(1)问的基础入手,到第(2)问的借助二次函数图象的分类讨论,利用不等式求得字母系数的取值范围,第(3)通过函数与方程间的关系,利用二次函数的图象对称轴的位置,确定了这个二次函数的图象与x轴的交点问题。这样的题目,能将二次函数、一元二次方程、不等式之间的关系淋漓尽致反映出来。

练习:

1已知0≤ ≤1, = ,的最小值为 .

1)用 表示 ;(2)求 的最大值及此时 的值.

解:(1)把 改写成 =.于是知 是顶点为( ),开口向上的抛物线.又因为 ∈[0,1],故当0< ≤1,即0< ≤2时, 的最小值为 ;

当 >1,即 >2时, 有最小值 .于是

2)当 >2时, 的值小于0,而当0< ≤2时, =,它的最大值为 (当 =1时取得),故 的最大值为 ,此时 =1

说明:对于某些在给定区间上的二次函数最值问题,往往需要把顶点和区间端点结合起来考虑.

2.函数 =,当 ,该函数的最大值是25,求该函数取最大值时自变量的值.

分析:限定在区间[,1]上的函数的最大值要考虑到在这个区间上的单调情况.当 可取任意实数时,二次函数 的图象是对称轴为 开口向下的抛物线, 与区间[,1]的位置关系决定了已知函数的单调状况,因此要分区间讨论.

当 ∈[,1],即 时,最大值应是 .由 =25, 2= ,不符合 的条件.可见 .

当 >1,即 > 时,函数 =, ∈[,1]是增函数,可见 ,解之得 ==.其中 =不合 > 的条件,舍去.可见1=1=- .

当 <― ,即 < 时,函数 =[,1]是减函数,可见 ,解之得 ==.其中 =不合 < 的条件,舍去,由此知 =  综上所述,=- 或 =, 函数 有最大值25

说明:由点 与区间[,1]的位置关系引起的分类讨论是“形”对“数”的引导作用.本题中虽然只是求函数取最大值时的自变量 的值,没有问 的值,但这个 值与 值有直接关系,所以要先求 再求 .

附:

线性非线性,常用于区别函数y = f (x)对自变量x的依赖关系。线性函数即一次函数,其图像为一条直线。 其它函数则为非线性函数,其图像不是直线。

  线性,指量与量之间按比例、成直线的关系,在空间和时间上代表规则和光滑的运动;而非线性则指不按比例、不成直线的关系,代表不规则的运动和突变。如问:两个眼睛的视敏度是一个眼睛的几倍?很容易想到的是两倍,可实际是 610倍!这就是非线性。

  非线性关系虽然千变万化,但还是具有某些不同于线性关系的共性。

  线性关系是互不相干的独立关系,而非线性则是相互作用,而正是这种相互作用,使得整体不再是简单地等于部分之和,而可能出现不同于"线性叠加"的增益或亏损。

补:设f(x)=3ax2-2bx+c,a-b+c=0,f(0)>0,f(1)>0.

1)试判断方程f(x)=0在区间(01)内根的情况,并说明理由.

2)若a,b,c都为正整数,求a+b+c的最小值.

解:1f(0)=c>0①f(1)=3a-2b+c>0②

①③得: ,由②③得:

④⑤得: 代入得: ∴ ∴得:

对称轴 ,又

方程 在 内有两个不等实根.

2)若 都为正整数, 、 都是正整数,

设 ,其中 是 的两根,则 ,且  

为正整数,∴ ∴

若取 ,则 ,得 为正整数,

的两根都在区间 内,的最小值为6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 (1)对关于x的一次函数y=kx+h(k≠0),若x=-11时都有y0

证明:当-1<<SPAN style="mso-bidi-font-style: italic">x<1时都有y0

(2)试用上面结论证明下面的命题:若abc为实数且|a|1|b|1|c|1

ab+bc+ca-1

 

 

 

 

 

 

 

 

2二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象经过点(-1,2),且与x轴交点的横坐标分别为x1,x2,其中-21<-1,02<1,下列结论:①4a-2b+c<0②2a-b<0③a<-1④b2+8a>4ac

其中正确的有(   

A1      B2      C3          D4

 

 

 

 

 

3:(2008年天津市中考)已知抛物线 ,

)若 , ,求该抛物线与 轴公共点的坐标;

)若 ,且当 时,抛物线与 轴有且只有一个公共点,求 的取值范围;

)若 ,且 时,对应的 ; 时,对应的 ,试判断当 时,抛物线与 轴是否有公共点?若有,请证明你的结论;若没有,阐述理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

练习:

1已知0≤ ≤1, = ,的最小值为 .

1)用 表示 ;(2)求 的最大值及此时 的值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象经过点(-1,2),且与x轴交点的横坐标分别为x1,x2,其中-2x1<</SPAN>-1,0<</SPAN>x21,a的取值范围。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3函数 =,当 ,该函数的最大值是25,求该函数取最大值时自变量的值.

 

 

 

 

 

4f(x)=3ax2-2bx+c,a-b+c=0,f(0)>0,f(1)>0.

1)试判断方程f(x)=0在区间(01)内根的情况,并说明理由.

2)若a,b,c都为正整数,求a+b+c的最小值.

 

 

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