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数学教授丘成桐:《红楼梦》与微分几何

(2018-04-08 15:22:16)
分类: 名家文章

 数学教授丘成桐:《红楼梦》与微分几何

2016-03-11 10:21

丘成桐,1949年生,原籍广东梅州,长于香港。哈佛大学数学教授。他被公认为是当今世界上最有影响的数学家之一,他在29岁时就攻克几何学上的难题“卡比拉猜想”,在1982年获得数学界的“诺贝尔奖”——菲尔兹奖,他是迄今惟一获得该奖的华人。下面是他在一所大学演讲的部分内容,形象阐述了他的数学成就与中国人文素养之间的紧密关系。


我年少时,并不喜欢读书,在香港元朗的平原上嬉戏玩耍,也在沙田的山丘和海滨游戏。与同伴在一起,乐也融融,甚至逃学半年之久。真可谓倘佯于山水之间,放浪形骸之外。

感情的培养是做大学问最重要的一部分

在这期间,唯一的负担是父亲要求我读书练字,背诵古文诗词,读近代的文选,也读西方的作品。

但是,当时我喜爱的不是这些书,而是武侠小说,从梁羽生到金庸的作品都看了一遍。至于如《》、《》和《》等则是公开的阅读,因为这是父亲认为值得看的好书。他要求我看这些书的同时,还要将书中的诗词记熟。

《》和《》很快就引起我的兴趣,但是读《红楼梦》时仅看完前几回,就没有办法继续看下去。一直到父亲去世后,才将这本书仔细地读过一遍,也开始背诵其中的诗词。由于父亲的早逝、家庭的衰落,与书中的情节共鸣,开始欣赏而感受到深入细致的文笔,丝丝入扣地将不同的人物、情景,逐步描写出旧社会的一个大悲剧。

 

 

四十多年来,我有空就看这部伟大的著作,想象作者的胸怀和澎湃丰富的感情,也常常想象在数学中如果能够创作同样的结构,是怎样伟大的事情。

我个人认为:感情的培养是做大学问最重要的一部分。汪中在《汉上琴台之铭》中有句云:“抚弦动曲,乃移我情。”

历史上伯牙学琴的故事:“伯牙学琴于成连,三年而成,至于精神寂寞,情之专一,未能得也……伯牙心悲,延颈四望,但闻海水汨没,山林谷冥,群鸟悲号,仰天长叹曰:‘先生将移我情。’”

 

伯牙学琴

这一段话,对我深有感触。立志要做大学问,只不过是一剎那间事。往往感情澎湃,不能自已,就能够将学者带进新的境界。

父亲去世以前,我学习了不少知识,也读了不少好文章。但他的去世,却深深地触动了我的感情。我读《红楼梦》,背诵秦汉和六朝的古文,读的自传、报任安书、李陵答苏武书、的归去来辞等等文章,这些文章的内容都深深地印记在我的脑海中。

文天祥说:“风檐展书读,古道照颜色。”足可以描述我当时读书的境况。除了中国外,我也读西方的文学,例如歌德的《》。

这本书描述的苦痛,与《红楼梦》相比,一是天才的苦痛,一是凡人的苦痛。描写苦痛的极至,竟可以说得上是壮美的境界,足以移动人的性情。

四十年来我研究学问,处事为人,屡败屡进,未曾气馁。这种坚持的力量,当可追索到当日感情之突破。我一生从未放弃追寻至真至美的努力,可以用元稹的诗来描述:“曾经沧海难为水,除却巫山不是云。”

当遇到困难时,我会想起韩愈的文章:“苟余行之不迷,虽颠沛其何伤。”我也喜欢用左传中的两句来勉励自己:“左轮朱殷,岂敢言病。”

简洁有力的定理使人喜悦,就如读《诗经》和《》一样,言短而意深。

做研究生时,我有一个想法,微分几何毕竟是牵涉及分析﹙即用微积分为工具﹚和几何的一门学问,几何学家应该从分析着手研究几何。况且微分方程的研究已经相当成熟,这个研究方向大有可为。虽然一般几何学家视微分方程为畏途,我决定要将这两个重要理论结合,让几何和分析都表现出它们内在的美。

在柏克莱的第一年我跟随Morrey教授学习偏微分方程,当时并不知道他是这个学科的创始者之一。从他那里我掌握了椭圆形微分方程的基本技巧。在研究院的第二年我才开始跟随导师先生学习复几何。

毕业后,在我的学生和朋友Schoen、Simon、郑绍远、Uhlenbeck、Hamilton、Taubes、Donaldson、Peter Li等人的合作下,逐渐将几何分析发展成一个重要的学科,也解决了很多重要的问题。

这是一种奇妙的经验,每一个环节都要花上很多细致的推敲,然后才能够将整个画面构造出来,正如曹雪芹写作《红楼梦》一样。

 

曹雪芹像

尼采说:“一切文学,余爱以血书者。”说:“字字看来皆是血,十年辛苦非寻常。”

我们众多朋友创作的几何分析,也差不多花了十年才成功奠基。不敢说是“以血书成”,但每一次的研究都很花费工夫,甚至废寝忘餐,失败再尝试,尝试再失败,经过不断的失败,最后才见到一幅美丽的图画。

简洁有力的定理使人喜悦,就如读《诗经》和《》一样,言短而意深。有些定理,孤芳自赏。有些定理却引起一连串的突破,使我们对数学有更深入的认识。每一个数学家都有自己的品味和看法,我本人则比较喜欢后一类数学。

当定理证明后,我们会觉得整个奋斗的过程都是有意思的,正如智者垂竿,往往大鱼上钩后,又将之放生,钓鱼的目的就是享受与鱼比试的乐趣,并不在乎收获。

从数学的历史看,只有有深度的理论才能够保存下来。千百年来,定理层出不穷,但真正名留后世的结果却是凤毛麟角,这是因为有新意的文章实在不多,有时即使有新意,但是深度不够,也很难传世。

当年我看武侠小说,很是兴奋,也很享受,但是很快就忘记了。在阅读有深度的文学作品时,却有不同的感觉。有些武侠小说虽然很有创意,但结构不够严谨,有很多不合理的元素,与现实相差太远,最终不能沁人心脾。

我们几个朋友在研究和奋斗过程中,始终不搞太抽象的数学,总愿意保留大自然的真和美。

评古诗十九首:“昔为倡家女,今为荡子妇,荡子行不归,空床难独守。”“何不策高足,先据要路津,无为久贫贱,轲长苦辛。”以为其言淫鄙,但从美学的观点,却不失其真。

数学工作不应远离大自然的真和美

数学创作也如写小说,总不能远离实际。《红楼梦》能够扣人心弦,乃是因为这部悲剧描述出家族的腐败、社会的不平、青春的无奈,是一个普罗众生的问题。好的数学也应当能接触到大自然中各种不同的现象,这样才能够深入,才能够传世。

我的研究工作,深受物理学和工程学的影响,这些科学提供了数学很重要的素材。

广义相对论就是一个重要的例子。1973年在斯坦福大学参加一个国际会议时,我对某个广义相对论的重要问题发生兴趣,它跟几何曲率和广义相对论质量的基本观念有关,我锲而不舍地思考,终于在1978年和学生Schoen一同解决了这个重要的问题。这些与相对论有关的几何问题始终使我喜悦。

也许这是受到王国维评词的影响,我认为数学家的工作不应该远离大自然的真和美。直到现在我还在考虑质量的问题,它有极为深入的几何意义。没有物理上的看法,很难想象单靠几何的架构,就能够获得深入的结果。广义相对论中的品质与黑洞理论都有很美的几何意义。

其实西方文艺复兴的一个重要反思就是复古,重新接受希腊文化真与美不可割裂的观点。中国古代文学的美和感情是极为充沛的,先秦两汉的思想和科技与西方差可比拟。清代以来,美术不发达,科学亦无从发展。读书则以考证为主,少谈书中内容,不逮先秦两汉唐宋作者的热情澎湃。若今人能够回复古人的境界,在科学上创新当非难事。

除了看《》外,我也喜欢看《史记》、《汉书》。这些历史书不单发人深省,文笔通畅,甚至启发我做学问的方向。由于史家写实,气势磅礡,荡气回肠,使人感动。历史的事实教导我们在重要的时刻如何做决断。做学问的道路往往是五花八门的,走什么方向却影响了学者的一生。复杂而现实的历史和做学问有很多类似的地方,历史人物做的正确决断,往往能够提供学者选择问题一个良好的指南针。

 

王国维

说学问第一境界“昨夜西风凋碧树,独上高楼,望尽天涯路。”做好的工作,总要放弃一些次要的工作,如何登高望远,做出这些决断,大致上建基于学者的经验和师友的交流上。然而对我而言,历史的教训却是很有帮助的。

我刚毕业时,蒙几何学家西门斯邀请到纽约石溪做助理教授。当时石溪聚集了一群年青而极负声望的几何学家,在度量几何这个领域上可说是世界级重镇。我在那里学了不少东西。

一年后又蒙奥沙文教授邀请我到斯坦福大学访问,接着斯坦福大学聘请我留下来。但是当时斯坦福大学基本上没有做几何学的教授,我需要做一个决定。

 

作《史记》

这时我记起《史记》叙述汉高祖的事迹。刘邦去蜀,与项羽争霸,屡败屡战。犹驻军中原,无意返蜀,竟然成就了汉家四百多年的天下。对我来说,度量几何的局面太小,而斯坦福大学能够提供的数学前景宏大得多,所以决定还是留在斯坦福做教授,与Schoen、Simon合作。现在想来,这是一个正确的决定。

如上所言,我的想法和一般同学的想法不大一样,也不见得是其他一流数学家的想法。但是有一点是所有学者都有的共同点:努力学习,继承前人努力得来的成果,不断地向前摸索。

我年少时受到父亲的鼓励,对求取知识有浓烈的兴趣,对大自然的现象和规律都很好奇,想去了解,也希望能够做一些有价值的工作,传诸后世。

 

讲学图

我很喜爱以下两则古文:

孔子:“君子疾没世而不称焉。”

曹丕《典论论文》:“盖文章,经国之大业,不朽之盛事……”

寻孔颜乐处,拓万古心胸

屈原说:“纷吾既有此内美兮,又重之以修能。”文章的格调和对学术的影响力与“内美”有关,可以从诗词、礼、乐、古文、大自然的环境中培养吸收。

有了理想的方向,还需要寻找好的问题。空间曲率的概念对我具有极大的吸引力,我从广义相对论中知道所谓Ricci曲率的重要性。通过方程,它描述物质的分布,这个方程的简洁和美丽使我诧异。

我认为了解Ricci曲率是了解宏观几何的最重要一环,但几何茫茫,无从着手。有一天很高兴地发现Calabi先生在1954年时有一篇文章,叙述在复几何的领域中,Ricci曲率有一个漂亮的命题,但他却没有办法证明这个命题。当时我很兴奋,但也觉得它不大可能是真实的,因为这个命题实在太美妙了。所有年轻的朋友都这么说,甚至我的导师也这么说。

陈先生甚至认为这个研究方向的意义不大,我却固执地认为对Calabi猜测总要找出一个水落石出的答案。直到有一天,经过大量的尝试后,我才发觉从前走的方向完全是错误的,于是反过来企图证明这个猜想。这个猜想在一九七六年全部完成,我同时应用它解决了代数几何里好几个基本问题。毫无疑问,这是一个漂亮的定理,也打开了几何分析的一个大门。

当时我刚结婚,正在享受人生美好的时刻,也独自欣赏这个刚完成的定理的真实和美丽,有如自身的个体融入大自然里面。当时的心境可以用下面两句来描述:“落花人独立,微雨燕双飞。”

做科研确实需要付出代价,但它的快乐无穷。先父的心愿是:“寻孔颜乐处,拓万古心胸。”我只知自得其乐,找寻我心目中宇宙的奥秘。“衣沾不足惜,但使愿无违。”

(原载 数学中国)


 

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