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诺特定理

(2014-02-11 09:15:14)
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理论物理

分类: 科学

诺特定理是理论物理的中心结果之一,它表达了连续对称性和守恒定律的一一对应。例如,物理定律不随着时间而改变,这表示它们有关于时间的某种对称性。如果我们想象一下,譬如重力的强度每天都有所改变,我们就会违反能量守恒定律,因为我们可以在重力弱的那天把重物举起,然后在重力强的时候放下来,这样就得到了比我们开始输入的能量更多的能量。

诺特定理对于所有基于作用量原理的物理定律是成立。它得名于20世纪初的数学家诺特。诺特定理和量子力学深刻相关,因为它仅用经典力学的原理就可以认出和海森堡测不准原理相关的物理量(譬如位置和动量)。

不严格地讲,诺特定理可以如下表述(忽略技术细节)

对于每个局部作用下的可微对称性,存在一个对应的守恒流。

上述命题中的“对称性”一词精确一点来说是指物理定律在满足某种技术要求的一维李群作用下所满足的协变性。物理量的守恒定律通常用连续性方程表达。

定理的形式化命题仅从不变性条件就导出和一个守恒的物理量相应的流的表达式。该守恒量称为诺特荷,而该流称为诺特流。诺特流至多相差一个无散度向量场。

诺特定理的应用帮助物理学家在物理的任何一般理论中通过分析各种使得所涉及的定律的形式保持不变的变换而获得深刻的洞察力。例如:

对于物理系统对于空间平移的不变性(换言之,物理定律不随着空间中的位置而变化)给出了动量的守恒律;

对于转动的不变性给出了角动量的守恒律;

对于时间平移的不变性给出了著名的能量守恒定律。

在量子场论中,和诺特定理相似,沃德-高桥恒等式产生出更多的守恒定律,例如从电势和向量势的规范不变性得出电荷的守恒。

诺特荷也被用于计算静态黑洞的熵。

诺特定理把对称性跟守恒量联系起来了,非常有用。是指对于力学体系的每一个连续的对称变换,都有一个守恒量与之对应。对称变换是力学体系在某种变换下不变。

诺特定理是理论物理的中心结果之一,它表达了连续对称性和守恒定律的一一对应。例如,物理定律不随着时间而改变,这表示它们有关于时间的某种对称性。如果我们想象一下,譬如重力的强度每天都有所改变,就会违反能量守恒定律,因为可以在重力弱的那天把重物举起,然后在重力强的时候放下来,这样就得到了比开始输入的能量更多的能量。

常见的例子有动量、能量、角动量守恒跟相应的时空均匀性的关系:

空间均匀性与动量守恒空间是均匀的,也就是地球上的物理定律跟月球上的物理定律是一样的,物理定律在空间平移(不如从地球移到月亮上)变换下是不变的,由诺特定理可以得到存在这么一个守恒量,即动量。

空间各向同性与角动量守恒空间是各向同性的,也就是空间没有一个特殊的方向,我们任意取坐标轴的方向,虽然物理量的数值在各个坐标系当中可能是不一样的,但物理定律所对应的方程是不变的,比如牛顿运动定律F=ma(矢量形式)在空间旋转变换下是不变的,我们把坐标轴旋转,虽然矢量的各个分量变了,但总的方程F=ma(矢量形式)是不变的,这样,在牛顿力学当中,就存在着一个跟空间各向同性相对应的守恒量——角动量。

时间均匀性跟能量守恒同样,由时间均匀性,也就是过去、现在、未来物理定律是一样的,由诺特定理可以得出存在这么一个守恒量——能量。

一般诺特定理的证明都是在拉格朗日形式下来证明的,也就是假定所发现的力学体系的拉格朗日描述是正确的。

定理是一位德国女数学家艾米·诺特(1882—1935)在1918年首先发现的,物理定律对称性与物理量守恒定律的对应关系,因此被称为诺特定理

对称总是完美的。

如果你照着镜子,你与镜子里的影像形成了一种对称关系。对称,不仅是在镜子里出现,在大自然里,也随处可见。蜂巢是由一个个正六边形对称排列组合而成的建筑物,每个正六边形大小统一、上下左右距离相等,这种结构最紧密有序,也最节省材料;蝴蝶左右翅膀的结构是对称的,就连翅膀上的图案与颜色也是对称的,因此它能够成为自然界最美丽的昆虫;所有的海螺都拥有奇妙的左右旋对称;人本身也是对称的,而且不止左右结构对称,双眼、双耳和左右脑的形状也是对称的。

人类自古以来就对对称美推崇备至,对称的概念几乎已经渗透到所有的学科领域。建筑学中,建筑家们在规划、设计和建造形形色色的建筑时,总是离不开对称,那些流传千古的著名建筑物也大多是极具对称美的,比如中国的故宫、天坛、颐和园的长廊,埃及的大金字塔,罗马的角斗场。几何学中,有圆、椭圆、正方形、矩形、梯形、三角形、圆锥、圆柱等各种对称。代数中,有一元二次方程两个根的对称、方程的对称函数,甚至还有专门关于对称性的数学理论——群论。

在晶体学中,对称性表现得尤为突出。其实,自然界中百分之百完全对称的东西极少,但晶体是个例外,无论从宏观还是微观来看,晶体都是严格对称的。晶体中的原子数目很大而且有严格的空间排列,如果任意画出一部分原子排列图,无论对此图进行平移、旋转还是左右互换,所得的图像与原图像都无法区分,也就是说,大部分晶体都具有平移对称、旋转对称、镜像对称的性质。比如,雪花具有六重旋转对称,就是说,雪花晶体在沿一根固定的轴旋转60度、120度、180度、240度、300度或360度后,其原子的空间排布都与原来的排布完全相同。

实际上,在物理学中,对称的概念绝对不只是左右相同,它比我们通常所理解的含义要广泛得多,几乎适用于一切自然现象——从宇宙的产生到每个微观的亚核反应过程。

把两个东西对换一下,就好像没动过一样,这就是对称。把左边的东西和右边的东西互换一下,而没有任何变化,这就叫做镜像对称,意思就是像照镜子一样,镜子里和镜子外的事物是一样的。人体和动物形体大多是镜像对称的,中国的故宫、天坛等建筑也是镜像对称的。

在空间里,沿着任何方向平移一单元,平移后的图像与原图无法区分(即完全重合),这种操作可继续下去,这就是平移对称。规整的网格就具有平移对称性,在自然界中,蜂巢、竹节或串珠都具有平移对称性。

把一个质地均匀的球绕球心旋转任意角度,它的形状、大小、质量、密度分布等等,所有的性质都保持不变,这就是旋转对称。一朵有5片相同花瓣的花(比如梅花和紫荆花)绕垂直花面的轴旋转2π/52π/5整数倍角度,旋转前后完全是一样的,没有什么变化,我们就说它具有2π/5旋转对称性。反过来说,如果一个球的边缘上有一个点或有些残缺,这个点或残缺就能区分旋转前后的情况,它就不具有旋转对称性了——或者说它的旋转对称性是破缺的。

以上说的都是物体的外在形体的对称。物理学中还有一类更重要的对称:物理规律的对称。就拿牛顿定律来说吧,无论怎么转动物体,物体的运动都遵从牛顿定律,因此,牛顿定律具有旋转对称性镜子里和镜子外物体的运动都遵从牛顿定律,牛顿定律又具有镜像对称性物体在空间中任意移动后,牛顿定律仍然有效,牛顿定律也具有空间平移对称性在不同的时间,昨天、今天或明天,物体的运动也都遵从牛顿定律,牛顿定律还具有时间平移对称性等等,其他已知的物理定律也都有类似的情况。

物理学家们一向对对称性有着特殊的兴趣。对称性常常可以不必精确地求解就可以获得一些知识,使问题得以简化。例如,一个无阻力的单摆摆动起来,其左右是对称的,因此,不必求解就可以知道,向左边摆动的高度与向右边摆边的高度一定是相等的,从正中间摆动到左边最高点的时间一定等于摆动到右边最高点的时间,左右两边相应位置处单摆的速度和加速度也一定是相同的等。

物理定律的这些对称性其实也意味着物理定律在各种变换条件下的不变性,由物理定律的不变性,可以得到一种不变的物理量,叫守恒量,或叫不变量。例如,空间旋转最重要的参量是角动量,如果一个物体是空间旋转对称的,它的角动量必定是守恒的,因此,空间旋转对称对应于角动量守恒定律再如,如果把瀑布水流功率全部变成电能,在任何时候,同样的水流的发电功率都是一样的,这个能量不会随时间的改变而改变,因此,时间平移对称对应于能量守恒还有,空间平移对称对应于动量守恒电荷共轭对称对应于电量守恒如此等等。

物理定律的守恒性具有极其重要的意义,有了这些守恒定律,自然界的变化就呈现出一种简单、和谐、对称的关系,也就变得易于理解了。所以,科学家在科学研究中,对守恒定律有一种特殊的热情和敏感,一旦某一个守恒定律被公认以后,人们是极不情愿把它推翻的。

因此,当明白了各种对称性与物理量守恒定律的对应关系后,也就明白了对称性原理的重要意义,无法设想一个没有对称性的世界,物理定律也变动不定,那该是一个多么混乱、令人手足无措的世界!

物理学家们已经形成了这样一种思维定式:只要发现了一种新的对称性,就要去寻找相应的守恒定律;反之,只要发现了一条守恒定律,也总要把相应的对称性找出来。

诺特定理将物理学中对称的重要性推到了前所未有的高度。不过,物理学家们似乎还不满足,1926年,又有人提出了宇称守恒定律,把对称和守恒定律的关系进一步推广到微观世界。

宇称,就是指一个基本粒子与它的镜像粒子完全对称。人在照镜子时,镜中的影像和真实的自己总是具有完全相同的性质——包括容貌、装扮、表情和动作。同样,一个基本粒子与它的镜像粒子的所有性质也完全相同,它们的运动规律也完全一致,这就是宇称守恒。假如一个粒子顺时针旋转,它的镜像粒子从镜中看起来就是逆时针旋转,但是这个旋转的所有定律都是相同的,因此,镜内境外的粒子是宇称守恒的。按照诺特定理,与空间反射不变性(所谓空间反射,一般指的是镜像对称)对应的就是宇称守恒。

在某种意义上,可以把同一种粒子下的个体粒子理解成彼此互为镜像的,例如,假设一个电子顺时针方向自旋,另一个电子逆时针方向自旋,一个电子就可以把另一个电子当成镜像中的自己,就像人通过镜子看自己一样。由此推断,根据宇称守恒理论,所有电子自身环境和镜像环境中都应该遵循同样的物理定律,其他粒子的情况也是如此。

听起来,所谓的宇称守恒似乎并没有什么特别之处,至少在1926年之前,早已有人提出了牛顿定律具有镜像对称性。不过,以前科学家们提出的那些具有镜像对称的物理定律大多是宏观的,而宇称守恒则是针对组成宇宙间所有物质的最基本的粒子。如果这种物质最基本层面的对称能够成立,那么对称就成为宇宙物质的根本属性。

事实上,宇称守恒理论的确在几乎所有的领域都得到了验证——只除了弱力。现代物理将物质间的相互作用力分为四种:引力、电磁力、强力和弱力。在强力、电磁力和引力作用的环境中,宇称守恒理论都得到了很好的验证:正如通常认为的那样,粒子在这三种环境下表现出了绝对的、无条件的对称。

在普通人眼中,对称是完美世界的保证;在物理学家眼中,宇称守恒如此合乎科学理想。于是,弱力环境中的宇称守恒虽然未经验证,也理所当然地被认为遵循宇称守恒规律。

然而,真理终究要自己站出来说话。1956年,两位美籍华裔物理学家——李政道和杨振宁——大胆地对完美的对称世界提出了挑战,矛头直指宇称守恒定律,这成为上世纪物理学界最震撼的事件之一。引发这次震撼事件的最直接原因,是已让学者们困惑良久的“θ-τ之谜,它是宇称守恒定律绕不过去的坎。

20世纪50年代初,科学家们从宇宙射线里观察到两种新的介子(即质量介于质子和电子之间的粒子):θτ。这两种介子的自旋、质量、寿命电荷等完全相同,很多人都认为它们是同一种粒子。但是,它们却具有不同的衰变模式,θ衰变时会产生两个π介子,τ则衰变成三个π介子,这说明它们遵循着不同的运动规律。

假使τθ是不同的粒子,它们怎么会具有一模一样的质量和寿命呢?而如果承认它们是同一种粒子,二者又怎么会具有完全不一样的运动规律呢?

为了解决这一问题,物理学界曾提出过各种不同的想法,但都没有成功。物理学家们都小心翼翼地绕开了宇称不守恒这个可能。你能想像,一个电子和另一个电子的运动规律不一样吗?或者一个介子和另一个介子的运动规律不一样吗?当时的物理学家们可没这胆量。

1956年,李政道和杨振宁在深入细致地研究了各种因素之后,大胆地断言:τθ是完全相同的同一种粒子(后来被称为K介子),但在弱相互作用的环境中,它们的运动规律却不一定完全相同,通俗地说,这两个相同的粒子如果互相照镜子的话,它们的衰变方式在镜子里和镜子外居然不同!用科学语言来说,“θ-τ”粒子在弱相互作用下是宇称不守恒的。

李政道和杨振宁的观点震动了当时的物理学界,他们在完美的物理学对称世界撕开了一个缺口!

在最初,“θ-τ”粒子只是被作为一个特殊例外,人们还是不愿意放弃整体微观粒子世界的宇称守恒。此后不久,同为华裔的实验物理学家吴健雄用一个巧妙的实验验证了宇称不守恒,从此,宇称不守恒才真正被承认为一条具有普遍意义的基础科学原理。

吴健雄用两套实验装置观测钴60的衰变,她在极低温(0.01K)下用强磁场把一套装置中的钴60原子核自旋方向转向左旋,把另一套装置中的钴60原子核自旋方向转向右旋,这两套装置中的钴60互为镜像。实验结果表明,这两套装置中的钴60放射出来的电子数有很大差异,而且电子放射的方向也不能互相对称。实验结果证实了弱相互作用中的宇称不守恒。

可以用一个类似的例子来说明问题。假设有两辆互为镜像的汽车,汽车A的司机坐在左前方座位上,油门踏板在他的右脚附近;而汽车B的司机则坐在右前方座位上,油门踏板在他的左脚附近。现在,汽车A的司机顺时针方向开动点火钥匙,把汽车发动起来,并用右脚踩油门踏板,使得汽车以一定的速度向前驶去;汽车B的司机也做完全一样的动作,只是左右交换一下——他反时针方向开动点火钥匙,用左脚踩油门踏板,并且使踏板的倾斜程度与A保持一致。现在,汽车B将会如何运动呢?

也许大多数人会认为,两辆汽车应该以完全一样的速度向前行驶。遗憾的是,他们犯了想当然的毛病。吴健雄的实验证明了,在粒子世界里,汽车B将以完全不同的速度行驶,方向也未必一致!——粒子世界就是这样不可思议地展现了宇称不守恒。

三位华裔物理学家用他们的智慧赢得了巨大的声誉,1957年,李政道和杨振宁获得诺贝尔物理学奖,一项科学理论,在发表的第二年就获得诺贝尔奖是史无前例的。很遗憾的是,用精妙绝伦的实验证实了宇称不守恒的吴健雄一直没能获奖。

不过,究竟为什么粒子在弱相互作用下会出现宇称不守恒呢?根本原因至今仍然是个谜。

宇称不守恒的发现并不是孤立的。

在微观世界里,基本粒子有三个基本的对称方式:一个是粒子和反粒子互相对称,即对于粒子和反粒子,定律是相同的,这被称为电荷(C)对称;一个是空间反射对称,即同一种粒子之间互为镜像,它们的运动规律是相同的,这叫宇称(P);一个是时间反演对称,即如果颠倒粒子的运动方向,粒子的运动是相同的,这被称为时间(T)对称。

这就是说,如果用反粒子代替粒子、把左换成右,以及颠倒时间的流向,那么变换后的物理过程仍遵循同样的物理定律。

但是,自从宇称守恒定律被李政道和杨振宁打破后,科学家很快又发现,粒子和反粒子的行为并不是完全一样的!一些科学家进而提出,可能正是由于物理定律存在轻微的不对称,使粒子的电荷(C)不对称,导致宇宙大爆炸之初生成的物质比反物质略多了一点点,大部分物质与反物质湮灭了,剩余的物质才形成了我们今天所认识的世界。如果物理定律严格对称,宇宙连同我们自身就都不会存在了——宇宙大爆炸之后应当诞生了数量相同的物质和反物质,但正反物质相遇后就会立即湮灭,那么,星系、地球乃至人类就都没有机会形成了。

接下来,科学家发现连时间本身也不再具有对称性了!

可能大多数人原本就认为时光是不可倒流的。日常生活中,时间之箭永远只有一个朝向,逝者如斯,老人不能变年轻,打碎的花瓶无法复原,过去与未来的界限泾渭分明。不过,在物理学家眼中,时间却一直被视为是可逆转的。比如说一对光子碰撞产生一个电子和一个正电子,而正负电子相遇则同样产生一对光子,这两个过程都符合基本物理学定律,在时间上是对称的。如果用摄像机拍下其中一个过程然后播放,观看者将不能判断录像带是在正向还是逆向播放——从这个意义上说,时间没有了方向。

然而,1998年年末,物理学家们却首次在微观世界中发现了违背时间对称性的事件。欧洲原子能研究中心的科研人员发现,正负K介子在转换过程中存在时间上的不对称性:反K介子转换为K介子的速率要比其逆转过程——K介子转变为反K介子来得要快。

至此,粒子世界的物理规律的对称性全部破碎了,世界从本质上被证明了是不完美的、有缺陷的。

宇称不守恒在上世纪50年代被提出时,大多数人对完美和谐的宇称守恒定律受到挑战不以为然。在吴健雄实验之前,当时著名的理论物理学权威泡利教授甚至说:我不相信上帝是一个软弱的左撇子,我已经准备好一笔大赌注,我敢打赌实验将获得对称的结论。 然而,严谨的实验证明,泡利教授的这一次赌打输了。

近代微生物学之父巴斯德曾经说过:生命向我们显示的乃是宇宙不对称的功能。宇宙是不对称的,生命受不对称作用支配。自然界或许真的不是那么对称和完美,大自然除了偏爱物质、嫌弃反物质之外,它对左右也有偏好。

自然界的20种氨基酸中,有19种都存在两种构型,即左旋型和右旋型。在非生物反应产生氨基酸的实验中,左旋和右旋两种类型出现的几率是均等的,但在生命体中,19种氨基酸惊人一致地全部呈现左旋型——除了极少数低级病毒含有右旋型氨基酸。无疑,生命对左旋型有着强烈的偏爱。

也有人提出,生命起源时,氨基酸呈左旋型其实是随机的,它不过是顺应了地球围绕太阳转的磁场方向。但大多数科学家却认为,左旋型和右旋型的不对称意味着这两种能量存在着高低。通常认为,左旋型能量较低,也较稳定,稳定则容易形成生命。

更令人费解的是,虽然构成生命体的蛋白质氨基酸分子都是左旋型的,但组成核酸的核糖和脱氧核糖分子却都是右旋型的——尽管天然的糖中左旋和右旋的几率几乎相同。

看来,上帝对左右真的是有所偏爱,如果事事处处都要达到绝对的平衡对称,万物之灵的生命就不会产生了。

不管是故意也好,疏忽也罢,上帝或许真的并不是一个绝对对称的完美主义者。从某种意义上来说,正是不对称创造了世界。

道理其实很简单。虽然对称性反映了不同物质形态在运动中的共性,但是,只有对称性被破坏才能使它们显示出各自的特性。这正如建筑一样,只有对称而没有对称的破坏,建筑物看上去虽然很规则,但同时却一定会显得非常单调和呆板。只有基本上对称但又不完全对称才能构成美的建筑。

大自然正是这样的建筑师。当大自然构造像DNA这样的大分子时,总是遵循复制的原则,将分子按照对称的螺旋结构联接在一起,构成螺旋形结构的空间排列也是基本相同的。但是在复制过程中,对精确对称性的细微的偏离就会在大分子单位的排列次序上产生新的可能性。因此,对称性被破坏是事物不断发展进化、变得丰富多彩的原因。

正如著名的德国哲学家莱布尼茨所说,世界上没有两片完全相同的树叶。仔细观察树叶中脉(即树叶中间的主脉)的细微结构,你会发现就连同一片叶子两边叶脉的数量和分布、叶缘缺刻或锯齿的数目和分布也都是不同的。绝大多数人的面部发育都不对称,66%的人左耳稍大于右耳,56%的人左眼略大,59%的人右半侧脸较大;人的躯干、四肢也不完全对称,左肩往往较高,75%的人右侧上肢较左侧长。

可以说,生物界里的不对称是绝对的,而对称只是相对的。实验研究证明,这是由于细胞内原生质的不对称性所引起的。从生物体内蛋白质等物质分子结构可以清楚地看到,它们一般呈不对称的结构形式。科学研究还发现,不对称原生质的新陈代谢活动能力,比起左右对称的化学物至少要快三倍。由此可见,不对称性对生命的进化有着重要的意义。自然界的发展,正是一个对称性不断减少的过程。

其实,不仅在自然界,即使在崇尚完美的人类文明中,绝对的对称也并不讨好。一幅看来近似左右对称的山水画,能给人以美的享受。但是如果一幅完全左右对称的山水画,呆板而缺少生气,与充满活力的自然景观毫无共同之处,根本无美可言。

有时,对对称性或者平衡性的某种破坏,哪怕是微小破坏,也会带来不可思议的美妙结果。从这种意义上来说,或许完美并不意味着绝对的对称,恰恰是对称的打破带来了完美。

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