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从协方差分析看回归与方差分析的联系

(2020-07-31 15:47:51)
标签:

数据分析

分类: 数据分析·人工智能·行业干货

文章来源: 丁点帮你微信公众号

作者:丁点helper

从协方差分析看回归与方差分析的联系

无论是单因素还是双因素方差分析,我们可以发现,它们都有一些共性,比如研究的因变量(如前文的硒含量、满意度得分),都是定量变量;而自变量,即分组变量(如地区、教育程度、性别)都是定性变量。

 

现在我们将前文“满意度得分的例子”继续延伸:除了我们关注的“教育程度”和“性别”外,还有其他变量会影响人们对生活的满意度得分吗?

 

当然有,比如收入水平!

很显然,一个人的工资多少完全可能直接决定他目前对生活的满意度。因此,倘若我们忽视了调查对象的收入情况,仅研究教育程度和性别的影响,这样就可能造成结果产生偏移,也就是说可能本来没意义的结果变成了有意义,从而得出误导性的判断。

 

因此,在这种情况下,“收入”这个变量就被称为“协变量”,可以记为“Z”。纳入协变量的方差分析,即称协方差分析。

一般而言,进行协方差分析的协变量为“定量变量”,比如本例中的“人均月收入”,它一般不是研究者重点研究的变量(本例中重点研究的是教育程度和性别),但因为它会对分析结果造成干扰,因此在分析过程中必须要将其纳入。

 

所以,协方差分析仍然是建立在方差分析这个基本框架之上的,其思想与单因素以及双因素方差分析区别也不大,并且在进行分析前数据需要满足的条件也都需要。

此外,因为加入了一个新的变量——协变量,所以也有些额外了条件需要满足。我们今天对这些条件做些概述。

 

1)变量的类型:一般而言,进行协方差分析,因变量是定量的连续变量(如本例的“满意度得分”);自变量是分类变量(可以加入多个自变量,如本例中的“教育程度”和“性别”);协变量是连续变量(如本例的“收入”)。

 

2)线性关系:原则上需要协变量与因变量存在线性关系。

 

3)平行性假设:分组变量的不同水平下,协变量与因变量的回归直线互相平行。

 

线性假设和平行性假设初次看起来可能比较难理解,但实际上就是为了排除所谓的交互作用。什么是交互作用呢?

 

比如我们想研究“教育程度”与“满意度得分”的关系,协变量是收入。在不考虑协变量时,发现随着教育程度的升高,人们的满意度得分也逐渐升高,比如教育上升一个等级(从“高中毕业”到“大学本科”,或者从“大学本科”升至“研究生及以上”),满意度得分都会增加5分。

 

现在加入“收入”这个协变量之后,发现随着教育程度升高,满意度得分也升高,但是不同的学历程度,其升高的幅度不一样。

 

比如,加入协变量之后,从“高中毕业”升至“大学本科”,满意度得分仍增加5分;但如果从“大学本科”升至“研究生及以上”,满意度得分仅仅增加3分。这个时候,我们就说收入与教育程度产生了交互作用。

 

产生了交互作用,也就意味着收入对生活满意度的影响会随着教育程度的变化而变化(注意这里的措辞,收入影响的是满意度和教育程度的相关关系,而不仅仅是其中某一个变量,这是理解交互作用的核心

这句话也可以反过来说。教育程度对生活满意度的影响会随着人们收入不同而不同,用线性回归的术语来表示就是:不同的教育程度下,收入与满意度得分的回归直线斜率(β)不同,因此,它们就不会平行(两直线平行需要斜率相同)

 

所以,想满足平行线假设,就需要协变量与自变量之间不存在交互作用,这个可以通过专门的检验方法来判断。

看到这里,你可能会疑惑,明明在讲方差分析,怎么扯到回归的内容了?

是的,方差分析和回归分析实际上可以看做是一回事儿,只是两者侧重点略有不同,前者主要是比较差异,后者主要是算影响的效应值(即回归系数β,这一点我们后面详述)。

一方面对于多因素或协方差分析的SPSS操作,我们称作“一般线性模型”;另外在进行回归分析之后软件也都会首先弹出一个方差分析的大表,检验整个回归模型是否有意义。

只不过我们在进行回归分析时,并没有严格区分自变量和协变量,而是将它们一股脑地全部纳入回归模型,然后筛选出最终有意义的变量。

因此,我们现在讲的方差分析,其实就是后续回归分析的一些特例,从回归的角度理解方差分析,相信你会看的更加明了!

 

回到我们今天的主题,除了上述三个条件,在进行协方差分析时也需要注意其他条件,比如常说的正态、独立、方差齐等,处理的方法也和普通的方差分析基本相同,暂不赘述。

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