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我眼中的牛顿力学

(2017-02-15 10:52:44)
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杂谈

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我们知道哥白尼的“日心说”,也知道开普勒通过分析太柯勃拉(1546-1601)的大量观测数据,归纳得到了他有名的行星运动三大定律。由于这些定律是以积分(而非微分)形式出现的,所以除了对当时观察到的天体运动之外,不具有更普遍的意义。

但这却代表了自然科学工作方法的第一部曲——“观察”。

伽利略利用自制的望远镜,观察到金星的盈亏现象,肯定了“日心说”的正确性,他创始了自然科学工作方法的第二部曲——“实验”

牛顿在伽利略和他自己的大量实验基础上,抽象外推,把实践的结果上升为理论。他大胆外推,提出了有名的牛顿三大运动定律。这个飞跃性的步骤,形成了自然科学工作方法的第三部曲——“ 理论”

“科学方法”的三部曲“观察,实验,理论”便由开普勒,伽利略和牛顿完成了。也正是从牛顿开始,人类在认识自然的方法上,出现了一个崭新的时代。

牛顿和他的三大运动定律

关于牛顿三大运动定律,实际上来说,只有第二第三两定律才是具有实质性,起到纲领性作用的真正的“定律”。

让我们用数学的形式来举个例子:第二定律,它其实是一个左端为“力”,右端为“动量对时间的一阶导数”的微分方程。

当无外力作用时,这个方程的一次积分给出了物体运动所必需遵守的“动量守恒”定律,就变成了牛顿的第一定律。

而第三定律说明了对于一个多质点系统,由于质点间的相互作用相等反向,不影响质心的运动,导致多质点系统的运动完全按整体的“质心运动”,以及按质点对质心的“相对运动”,这就大大提高了第二定律的适应性。

但由于太阳和行星间质量的悬殊,质心基本落在太阳上面,相比,日心说代表了一个远较明智的坐标抉择,它剥去了地心说的神秘外衣,给出了一个合理简单的太阳系运动图象。

但实际上,以上的例子不过是一种“事后诸葛亮”的分析,这是欠公允的,我们要从认识论的角度来对牛顿的三大运动定律进行逐条分析。

熟知的牛顿第一定律的物理实验

第一定律的第一点无外力作用时,物体静者恒静,这是人们所熟知的;但是第二点动者沿一直线作等速运动,却是一个极其大胆的外推。因为实际上,从来,也永远不会有人能用实验来证明这个论断的正确性。

通过第三点—只在外力作用下,物体才改变其运动状态。牛顿对上一外推的无法证实性给出了解释,从而为定律提供了闭合的环节。

而说起第二定律,由于第一定律已经用回顾的方式作了讨论,有人认为通过第二定律,牛顿实际上既给“力”下了一个定性的定义, 即“力”就是改变物质运动状态的原因,并且又通过方程给“力”下了一个定量的定义。

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也有人认为“力”这个东西是人们熟知的,当你手提肩挑时能感到,用秤也能读出“物体的重力”。

在平衡静止情况下,外力给予物体的加速度,和“重力加速度”大小相等,方向相反。因此不妨认为通过第二定律,牛顿给物体的“质量”下了定义,即“质量”为“重力”和“重力加速度”间的比值。

牛顿第三定律

第三定律则表示了物体之间相互作用的关系,也予示了后来由达朗贝(1717-1783)通过引进“惯性力”而建立起来的达朗贝原则,即“动态的静止平衡定理”。

牛顿力学体系

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牛顿的在力学上的伟大贡献, 首先在于完成了科学方法的最后环节,即由实践到理论的上升飞跃,从而开始了三百多年来的科学时代。其次就是为物理学的两根支柱,理论力学和分析数学,奠定了坚实的基础。牛顿的力学观也逐渐形成了所谓“牛顿力学体系”。

那么,究竟什么是牛顿力学体系呢?

牛顿力学体系的核心,其实就是他有名的三大运动定律。它们决定了古典力学的范畴,决定了三百多年的力学发展方,无疑今后还将继续指导力学学科的发展。

牛顿力学体系实质上是在建在四个独立“ 概念”的基础之上的一坐大厦。这四个基础概念分别是:绝对化的“质量”绝对化的“空间”绝对化的“时间”和“力“(或“场”)。这里的“绝对化”其实是指不受物体运动状态影响的意思。

牛顿的运动方程也是在这四个物理量的基础上建立起来的。

运动方程是一个以微分方程形式表示的函数关系式,出现在方程左端的项为“力”,右端的项为“质量”与“坐标对时间的二阶导数”的乘积。

由于这定律是以一个二阶常微分方程的形式出现的,它的解,就是运动的轨迹,显然由两个初始条件就完全可以决定。

也就是说:物体的运动,遵循一个严格的因果关系,就是“因果律”。因此,牛顿力学体系具有两个主要特点:

(1)遵循严格的“因果律”。

(2)存在“时间”和“空间”的绝时化,以及它们之间的独立性。

而这两个特点,在某种意义上,也是它的缺点,它们导致了牛顿力学体系的局限性,出现了受常规尺度和速度限制的适用范围。

二十世纪初,两个新力学体系相对论力学,量子和波动力学的兴起,就是在极端情况下,对“因果律”和“时空的绝对化及可分割性”的挑战。

牛顿对力学学科的主要奠基性贡献,除了他的三大运动定律之外,还有著名的“万有引力”。

我们知道两物体之间,存在着相互的向心引力,它和质量的乘积成正比,和距离的平方成反比,系数为一个普适的万有引力常数。

牛顿假设了所有物体,不管是天体还是地面物体,都受同一运动规律的制约。

应用微积分,易于证明一个具有等线速度的圆周运动,是一个有向心加速度的运动,而这个加速度就等于半径和“角速度平方”的乘积。

若是把这个结果代入牛顿第二定律,如果同时假设一质量远大于另一质量,可以近似认为大质量固定不动,小质量绕大质量作圆周运动,这时这个定律就立即给出了“周期平方”正比于“半径立方”的结果。

若是把这个简化结果应用到行星绕日运动,正就是凯普勒得到的第三定律。

总之,牛顿通过他的三大运动定律和万有引力定律的结合,轻而易举地从理论上解释了凯普勒由观测结果总结得到的行星运动规律,使引进普适的万有引力常数,这也是牛顿的另一大胆创新。

物体在势场中必须遵守“能量势能加动能守恒定律”。对于具有分布质量的物体来说,并不难证明它对外部所产生的“引力场”是和该物体质量分布无关的。

我们可以假设全部质量集中在一点,即所谓“质心”,对于一个质量来说,它受到由另一质量所产生的,和质量成正比,且和距离平方成反比的“引力场”的作用,“场”表示了不相接触的物体间的相互作用,而物质和引力场的相互作用,导致了“引力势”的概念把这概念和第二定律相结合。

牛顿伟大成就之一,就在于他发明了表达因果性物理定律的必要工具,也就是数学方法。而这个数学表示必须具有微分方程的形式。

关于这一点,爱因斯坦(1879-1955)曾作过如下的论述“为了给予他的体系以数学的形式,牛顿首先发现微分的概念,并用微分方程的形式来表达他的运动定律—这或许是有史以来一个人所能迈出的一个最大的理智步伐”。

为了解决具体力学问题, 即具有初始条件的问题, 对微分方程还必须进行求解, 而这也是由牛顿对积分学的发展而获得解决的。

牛顿力学和具体物性的结合

对于具有结构的固体,在不平衡的外力作用下,它的刚体运动规律由牛顿第二定律给出。

在平衡外力作用下,由于物质的“可变形性”,物体内部产生了应力分布和形变,因此发展了一门所谓“固体力学”的分支学科,它的内容包括了弹性力学和物体受载情况下的稳定性研究。

对于不具有结构的流体介质(液态、气态),在不平衡外力作用下,产生介质的流动,形成了“流体动力学”的一门分支学科。它通过对介质微元,在牛顿力学基础上,进行连续性和动量关系的探讨,建立起了相应的偏微分运动方程组这方面主要的贡献,是欧拉得到的固定坐标系中的分布流场方程组,和拉格朗日求得的随流质点动力学方程组。

而在数学上则有了泛函分析,为了解决泛函的极值问题,拉格朗日发展了变分原理,得到了欧拉的极值微分方程组。

假如采取拉格朗日函数为泛函内的被积函数,则立即得到了有名的拉格朗日运动方程组。

在古典场论问题中,还出现了具有普遍意义的典型“物理数学”方程, 如拉普拉斯方程、泊桑方程、达朗贝方程等。对于这些方程,随着在不同坐标系中的求解,导致了各种特殊函数,例如贝塞尔函数、球谐函数、勒让特多项式等。

(内容来源于《院士谈力学》,本文引自科学大院)

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