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理清概念间的关系,使所学知识序列化

(2019-11-16 21:51:57)
分类: 教学随笔

本文讨论的主要是中学数学教材中涉及的欧几里德几何学知识。

“几何是研究图形的”,这样的或与其差异不大的说法是我问学生“你怎么认识几何?”时听到的回答,学生这样回答很正常,他们对于几何的学习,是围绕着三角形、四边形、圆、棱柱、棱锥、球等展开的,是在判断和证明平行、垂直、全等、相似等问题,还有计算角度、距离、面积、体积等的过程中完成几何学习的。他们学的是这些内容,考的也是这些内容,这样认识几何学是很自然的。

我在学生时代也是这样认识几何学的,后来我知道这是我们认识几何学的第一步,是对几何学的初步、直接的认识,我们对几何学还可以有更深入的了解和认识,并且这些认识能有效地帮助我们学习和掌握几何学。

我们所学的几何学,是大幅度简化之后的欧几里德公理化体系,我们在教材中学到的公理,例如判断三角形全等的三个公理,还有立体几何中的四个公理,都不是真正意义上的公理。

《几何原本》中的公理和公设都是非常简单和直观的。

五条公理分别是:公理1:等于同量的量彼此相等;公理2:等量加等量,其和相等;公理3:等量减等量,其差相等;公理4:彼此能重合的物体是全等的;公理5:整体大于部分。

五个公设分别是:公设1:任意一点到另外任意一点可以画直线;公设2:一条有限线段可以继续延长;公设3:以任意点为圆心及任意的距离可以画圆;公设4:凡直角都相等;公设5:同一平面内一条直线和另外两条直线相交,若在某一侧的两个内角之和小于二直角之和,则这两条直线经无限延长后在这一侧相交。

对于中学生来说,从这样的公理和公设开始学习几何是不现实的,将欧几里德几何做适当的简化之后让中学生学习的做法是完全正确的。

“欧几里德的《几何原本》是从五条公理、五个公设和119个定义出发用逻辑推理得出的庞大的数学理论体系”,由此我们可以看出,除去公理和公设以外,定义是按照逻辑方法构筑这套理论体系的唯一的原始材料。在构筑这套理论体系的过程中,我们会得到很多结论,公式和定理就是所得出的众多结论中最关键的结论,也是我们解决问题时最常用的知识。

定义是最基础的,但是,我们很多学生在学习几何时不大注意对于定义的学习,也不大注意对于定理的学习,很多学生对于应用定义、定理等进行推理的证明问题不大理解,也不感兴趣,他们的注意力更多地集中到对距离、角度、面积、体积等的计算上。

定义很重要,我们应该也必须记住它们,了解几何中的定义方法对于学习、理解和记忆定义是有直接帮助的。

数学包括几何中的定义大都采用属种定义的方法,属概念是上位概念,种概念是下位概念,种概念真包含于属概念。

例如,直角三角形的定义是“有一个角是直角的三角形是直角三角形”,其中“三角形”是属概念,“直角三角形”是种概念,给属概念加上限制条件,就能定义出种概念。

定义一个(种)概念时,我们用“具有什么性质或满足什么要求的属概念是种概念”这样的方法。例如,直棱柱的定义“有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱”,其中需要满足的要求是“有一条侧棱垂直于底面”;我们给属概念“棱柱”加上限制条件“有一条侧棱垂直于底面”,就得到种概念“直棱柱”的定义。

理解了属种概念定义的方法,我们就会将所学的一些概念序列化,这样,就可以利用这些序列化了的概念间的关系帮助我们理解和记忆这些概念。

比如,对于四边形的学习过程是这样的,我们先定义了四边形,即“首尾相连的四条线段围成的图形是四边形”;在此基础之上,我们定义平行四边形“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”,这时就不再需要说明四边形是由四条线段围成的图形这样的问题;有了平行四边形的概念,我们就可以定义矩形“有一个内角是直角的平行四边形是矩形”,再进一步,我们可以定义正方形“相邻两边相等的矩形是正方形”。

从平行四边形到正方形的“序列”还可以是这样的,“相邻两边相等的平行四边形是菱形”,“有一个内角是直角的菱形是正方形”。

这样,我们就有了如下两个不同但有关联的序列:

四边形    平行四边形    矩形    正方形

四边形    平行四边形    菱形    正方形

与此类似的,我们还有下面的序列:

棱柱   直棱柱   直四棱柱    长方体    正四棱柱    正方体

我们是通过对属概念增加限定条件的办法来定义种概念并完成序列化的。对棱柱增加条件“有一条侧棱垂直于底面”使其成为直棱柱,对直棱柱增加条件“底面是四边形”使其成为直四棱柱,对直四棱柱增加条件“底面是矩形”使其成为长方体,对长方体增加条件“底面是正方形”使其成为正四棱柱,对正四棱柱增加条件“侧棱长与底面边长相等”使其成为正方体。

从棱柱到正方体,我们还可以有如下的序列:

棱柱   四棱柱   平行六面体   直平行六面体   长方体   正四棱柱    正方体

这个序列现在的教材没有采用。

不仅定义是序列化的,我们所学的空间线面间的平行和垂直都可以序列化。

两条直线的平行可以归结为平面几何的问题来解决,在立体几何中常用三角形的中位线和平行四边形的对边来证明两条直线平行;直线和平面平行的判定,转化为该直线和平面内的一条直线的平行来处理;平面和平面平行的判定,转化为一个平面内的两条相交直线和另一个平面平行来处理。

我们还可以利用平面和平面平行来处理直线和平面平行的问题。

直线和平面垂直的判定,转化为直线和平面内两条直线垂直,也就是转化为直线和直线垂直的问题;平面和平面垂直的问题,转化为一个平面内的直线和另一个平面垂直,也就是转化为直线和平面垂直的问题。

将所学知识形成序列化,要求我们必须弄清楚所学知识间的先后顺序和逻辑关系。

我在此谈这个问题,是因为我们很多学生在学习几何时不注意所学知识间的关系,在巨大的考试压力之下,他们的注意力几乎全部集中于怎样做题上,但是,因为没有理顺所学知识间的逻辑关系,他们拿到题目时往往束手无策,遇到陌生问题时更是不知所措。学习效率低,对所学知识也没有多少兴趣,学习的动力也在学习的过程中被慢慢消蚀殆尽。

解题时,我们要清楚如何才能达到所要求解或求证的目标。比如,要证一条直线和一个平面平行,我们有两种解决问题的途径,一是在已知的平面内找一条直线和已知的直线平行,二是找一个经过已知直线的平面,证明这个平面和已知平面平行。如果清楚这样的途径,拿到问题后我们就会在问题的条件中寻找这样的条件,而不会无处下手。

想一想,为什么我们有时拿到题时会无处下手?因为我们不知道题目中的条件有什么用,或者不知道怎样做才能达到所要求的目标。不知道题目中的条件有什么用,是因为对性质定理不熟悉,也就是对题目的条件会有什么样的用处不清楚;不知道怎样做才能达到所要求的目标,是因为对所要求目标的判断定理不熟悉。

当然,知道上面所说的也不见得就能彻底解答问题,我们可能会卡在某一环节,但不会无从下手。

我在教学时要求学生背诵课本中的定义和定理,并要求学生在背诵的过程中理清定义、定理间的关系,这样也更容易记住定义、定理。

在记忆定义、定理的过程中要注意学习和体会几何的表达方法,要总结其中的规律。

例如,所有的平行,包括直线和直线平行、直线和平面平行、平面和平面平行,都是用没有公共点来定义的。“没有公共点”这样的定义方法很难用来判定平行,因为在一个具体的问题中,我们不知道是真的没有公共点,还是有公共点只是我们没有找到。判定定理给了我们一个可以操作的办法,判定定理的实质是将问题作了转化,比如,我们把直线和平面平行的判定转化成了直线和直线间的平行。

垂直的定义与平行是不同的,直线和直线垂直是用所成的角为直角来定义的;平面和平面垂直是用两个平面所成的二面角是直二面角来定义的,实际上最后也是将其转化为直角来定义的;直线和平面垂直不是用角来定义的,而是用“直线和平面内所有的直线都垂直”即直线和直线垂直来定义的。

证明直线和平面垂直是高考的重点,也是难点。直线和平面垂直的判定定理是其定义的简化版,判定定理将定义中“平面内所有的直线”简化成了“两条相交直线”,和“所有直线”相比较,“两条直线”要易于操作。

可以用来证明直线和平面垂直的还有三种办法,一是两个平面垂直的性质定理,即“两个平面垂直,在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面”,二是“两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面”,三是“一条直线垂直于两个平行平面中的一个,那么也垂直于另一个平面”。

在学习几何学的过程中,一定要弄清楚问题的来龙去脉,也就是要弄清楚定义、定理相互间的逻辑关系,并且要让这些知识烂熟于心,这样,我们进行推理时就很清楚其中的理论依据,结论的正确性自然也就有了保证。

如果不能准确地记住这些知识,那么解决问题时就只能依靠直观和那些模模糊糊的知识,出错就很难避免了。依靠直观我们可以做出判断,在做出判断之后,我们应该依据已经学过的定义、定理等证明或否定我们所得出的结论,这样做,才是真正意义上的数学;不是依据已经学过的定义和定理得出结论,不能称之为数学。

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