深度解析2019江苏南通中考第27题

解析：张浩杰（海门市）

 

【考题】(2019南通卷，第27题，13分)

如图1，矩形ABCD中，AB=2，AD=4.E、F分别在AD、BC上，点A与点C关于EF所在直线对称，P是边DC上一动点.

（1）连接AF、CE，求证四边形AFCE是菱形；

（2）当PEF周长最小时，求 的值；

（3）连接BP交EF于点M，当∠EMP=45°，求CP的长.

 

 

 

 

 

 

 

【思路解析】（1）菱形判定思路：四边形是平行四边形；一组邻边相等或对角线互相垂直，出发点可从平行四边形或四边形.结合已知条件“点A与点C关于EF所在直线对称”获取性质，可从两条路径突破.

（2）满足PEF周长最小，由于EF为定长，即PE+PF最小，联想“将军饮马”模型，获解.

（3）利用∠EMP=45°这一特殊角，一是解三角形；二是形向数转化（建立平面直角坐标系），即角的存在性处理.

【解法呈现】

（1）法1.如图2，连接AC、AF、CE，

点A与点C关于EF所在直线对称；

∴EF垂直平分AC，AO=CO；

又矩形ABCD，ADBC；

图2

可证AOECOF，AE=CF；

∴四边形AECF是平行四边形；

∴四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.

法2. 如图2，连接AC、AF、CE，

点A与点C关于EF所在直线对称；

∴EF垂直平分AC；

∴AO=CO，AE=CE，AF=CF；

∴EF平分∠AEC；

又ADBC；

可证CE=CF；

图3

∴AE=EC=CF=AF；

∴四边形AFCE是菱形.

（2）如图3，设AF=CF=x，则BF=4-x，

  可列方程；∴AF=CF= ；DE=BF= .

作点E关于直线DC的对称点G，连接FG交DC于P，则P为所求点.

∴.

 

（3）法1.如图4，过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，交BP于N；过点P作PHEF交BC于F.

在RtEFQ中，可求tan∠FEQ= ，∠ENP=∠BPC，即45°+∠FEQ=45°+∠HPC.∴tan∠HPC=

如图5，作HG⊥BP，设CH=a，则BH=4-a，PH= ，HG= ，

又BGHBCP ，  即 ，   ∴

 

 

 

 

 

 

 

法2.如图6，以点B为原点，分别以AB、BC所在直线为x、y轴建立平面直角坐标系.

   则直线EF解析式: ，以E为直角顶点构造“K”型，则EHMQNE

设M（a,2a-3），HM=EN=5-2a，HE=QN= ，∴Q

M、Q在一直线上，∴ ，可求（舍），.

∴Q ，∴直线BP解析式： ，∴

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

法3.如图7，在法2的基础上构造矩形HMGN，tan∠HEM=2，设HM=2a，则HE=a，∴EN=2a，NQ=a，∴MG=3a，

QG=a，∴tan∠QMG= tan∠PBC= ，∴可求

 

【回顾反思】重点阐述第（3）问：

1.45°角的联想

（1）构造“K”型，利用“边角”关系，形成全等三角形，为形向数转化打下基础.在“K”型构造上，需构直角，一般借助已知点作为直角顶点，如方法2；

（2）解直角三角形，由于知一边，无法求解，进行角的分割，形成“45°+”的模式，沟通了边角关系，如方法1.

2.从一个角为45°转化为两角和为45°，通过构造矩形，已知一角的正切值，进而求出另一角的正切值.

如图8，矩形ABCD中，∠EAF=45°，且满足AEF是等腰直角三角形，则ADEECF，若tanα ，可求tanβ ，tan（45°+α） .

 

 

 

 

 

 

可推导出 “45°+”的正切公式，其本质涉及高中知识:两角和的正切公式 ，对于学有余力的学生可以引导他们进一步探究推导其它一些性质：如当α=β时， （）；如当α+β=45°，且知其中一角的正切值，则可求另一角的正切值（三者可知二求一）.利用这些探究，可将较为复杂的边角之间的比例关系轻松破解.

 

【同类链接】（2019南通卷，第17题，3分）如图9，过点C（3，4）的直线y=2x+b交x轴于点A，∠ABC=90°，AB=CB，曲线（x＞0）过点B，将点A沿y轴正方向平移a个单位长度恰好落在该曲线上，则a的值为       .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【回归教材】人教版数学八年级下册，第150页，测试题第5题.

  如图10，将一个边长分别为4、8的矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，则折痕EF的长是

    A.          B.          C.        D.

 

图10

【走向教学】

环节1.折叠再回味

1.如图1，矩形ABCD中，AB=2，AD=4.E、F分别在AD、BC上，点A与点C关于EF所在直线对称，连接AF、CE.

（1）观察图形（如图2），找一找相等的线段或角，你又会发现（构造）哪些特殊的几何图形或模型？

（2）结合已知及图形，你可求哪些线段的长？

 

 

 

 

 

	图1		图2

 

 

思考：从以上解决问题的过程中，你能否归纳出一些求线段长的基本策略.