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5.5射影几何与代数(2)

转载 2019-11-28 08:30:39

第五章 射影几何学

 

                     数学发展简史

 

                                                       石拓·编著

 

      5.5  射影几何与代数(2

 

       比莫比乌斯(Mobius)稍晚的德国数学物理学家普吕克(Julius Plucker,公元1801——1868年),在射影几何的研究中,也引进了齐次坐标。普吕克(Plucker)的齐次坐标,就是本节开头例子中的那种。

 

       由于普吕克(Plucker)的齐次坐标,在笛卡尔平面坐标(xy)增加了x3,原来笛卡尔坐标中的xy,在齐次坐标中是x=x1/x2y=x2/x3。将x=x1/x2 y=x2/x3 代入笛卡尔平面上的圆锥曲线方程,于是笛卡尔平面上的圆锥曲线方程f(x,y)=0,就变换成关于齐次坐标x1x2x3的齐次方程f(x1,x2,x3)=0

 

       然后,普吕克(Plucker)利用欧拉(Euler)关于齐次函数的欧拉(Euler)定理,给出f(x1,x2,x3)全导数方程:

 

                               (∂f/∂x1)x1´+(∂f/∂x2)x2´+(∂f/∂x3)x3´=0

 

       他把x1´、x2´和x3´看成不定坐标,固定x1x2x3时,那么这个方程在几何上可以解释为,是齐次方程f(x1,x2,x3)=0在点(x1,x2,x3)的切线方程。反之,他把x1x2x3看成不定坐标,固定x1´、x2´和x3´时,则这个方程是点(x1´,x2´,x3´)相对于该圆锥曲线的极线方程。

 

       笛卡尔平面XY坐标是欧氏平面的代数表达,欧氏平面中普通的点P在有限的平面内,用坐标P(x,y)表出。现在齐次平面X1X2X3坐标中,因为x=x1/x3y=x2/x3,因此普吕克(Plucker)把坐标为(x1/x3,x2/x3,0x3=0的点看成无穷远点,方程x3=0的线是无穷远线。原来笛卡尔坐标中的圆方程:

 

                                             (x-a)^2+(y-b)^2=R^2

 

在齐次坐标中变换为:

 

                                      (x1-ax3)^2+(x2-bx3)^2=(R^2)(x3^2)

 

       因为无穷远线方程是x3=0,所以与圆的交点,由下列方程组所确定

 

                                                  x1^2+x2^2=0

                                                  x3=0

 

       这就是圆上无穷远点的方程,不难解出其坐标分别是(k,ik,0)(k,-ik,0)(ik,k,0)(-ik,k,0),其中k是实数。同样,可以得到齐次坐标中球面上的无穷远的方程

 

                                               x1^2+x2^2+x3^2=0

                                               x4=0

 

       (待续)

 


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