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5.5射影几何与代数(1)

转载 2019-11-27 08:15:27

第五章 射影几何学

 

                     数学发展简史

 

                                                        石拓·编著

 

      5.5  射影几何与代数(1

 

       正当综合几何学家研究射影几何的同时,代数几何学家也在研究这门新的学科。代数几何学家所采用的坐标系是代数中所谓的齐次坐标。齐次坐标是指,原本是n维的向量,用n+1维表示。

 

       例子,笛卡尔坐标中的点P(x,y),用齐次坐标表示这个点时就是V(x3x1,x3x2,x3),也就是说把原来在笛卡尔XY平面中的点P(x,y),变换到X1X2X3平面上时的点为V(x3x1,x3x2,x3),其中:x1= x3xx2=x3y,或x= x1/x3y=x2/x3

 

       从例子中可以看出,同样一个点,笛卡尔坐标是P(x,y);齐次坐标是V(x3x1,x3x2,x3),因此这是一种坐标变换。如果把P(x,y)看成是原图形,那么V(x3x1,x3x2,x3)就是变换后的图形。

 

       特别的,当x3=1时,齐次坐标可以看成限制在距离笛卡尔平面(XY平面)1个单位长度的空间X1X21平面内。

 

       19世纪德国数学家莫比乌斯(Mobius,公元1790——1868年),他把从平面到平面,空间到空间的变换进行了分类。

 

       他把变换后对应的图形相等的一类变换,称为迭合变换。在上述的例子中,如果x3=1,那么P(x,y)变换到V(x1,x2,1)就属迭合变化,因为这时x=x1y=x2。他把变换后对应的图形相似的一类变换,称为相似变换。在上述的例子中,如果x31,那么P(x,y)变换到V(x3x1,x3x2,x3)就是属于相似变化,因为xyx3x1x3x2对应成比例。

 

       于是,莫比乌斯(Mobius)用瑞士数学家欧拉(Euler)引进的“仿射变换”的概念,对上述两类变换进行一般化处理。他把只保持平行性,但不保持长度和形状的一类变换,称为仿射变换。

 

       随后,莫比乌斯(Mobius)在线段、面积和体积中引进了正负号,用正负号来表示方向。这样来,对于同一线上的四点带有方向的交比概念清晰了。他还得到了交比可以用顶点O处(5.2各个角的正弦来表示,

 

                                  (sinAOB/sinAOC)/(sinBOD/sinCOD)

 

       这样也就说明,交比在投射与截影下的不变性,因此交比是一个射影不变量。

5.2

       (待续)

 


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