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4.2.1.4老化寿命估算公式与安全系数

(2018-08-06 08:16:18)
标签:

原创科技著作

分类: 聚合物材料可靠性分析原理

 

     聚合物材料可靠性分析原理

                        石拓·著

 

4.2.1.4老化寿命估算公式与安全系数

 

由于老化寿命t是个随机变量,具有不确定性,因此,把有关老化寿命的计算,称为估算。下面是关于聚合物材料,在可靠性意义下的老化寿命估算的几个公式以及老化寿命的安全系数。

 

1.可靠老化寿命t的估算公式

 

n是性能失去的临界值,λ估算λMLE估计值,r= R(Nmt)是设计要求达到的老化寿命t的可靠度,0r1。定义可靠度是r时的老化寿命,为可靠老化寿命,用符号tr表示。

 

从(4-8)得到,可靠老化寿命tr的估算方程(4-18):

 

4-16r=exp(-λ估算tr)[(λ估算tr)^m/m!]|m:0n0r1

 

方程(4-16)是一个超越方程,没有解析解,但可用数值解的方法得到近似解,用近似解估算可靠度为r0r1时的老化寿命tr

 

2.特征老化寿命t特征估算公式

 

在(4-8´):

 

4-8´R(Nm,t)=exp(-λ估算t)[(λ估算tr)^m/m!]|m:0n

 

中,定义n=λ估算t=1时的老化寿命t,为特征寿命,记为t特征,即下式:

 

t特征=n/λ估算n=1

 

n=λ估算t特征=1代入(4-8´)算得t特征的可靠度:

 

R t特征= R(Nm,t特征)=exp(-n)(n^m/m!)|m:0n

=exp(-1)(1^m/m!)|m:01=exp(-1)(1+1)=2exp(-1)

 

由此得到特征老化寿命t特征的估算公式(4-17):

 

4-17       t特征=1/λ估算R t特征=2exp(-1)

 

其中R t特征=2exp(-1)≈2×0.3679=0.7358。(4-19)表明,聚合物材料老化特征寿命的可靠度是R t特征≈0.7358=73.58%

 

3.老化寿命t及临界寿命t临界估计公式

 

对(4-6)的(λt)求一阶导数得(a):

 

Pm(m,t)/d(λt)

={m[(λt)^(m-1)/m!]-[(λt)^m/m!]} exp(-λt)  a

 

因为(a)的二阶导数:

 

Pm^2(m,t)/d(λt)^2

={[(m-1)m(λt)^(m-2)/m!]-[m(λt)^(m-1)/m!]}

 exp(-λt)-{[m(λt)^(m-1)/m!]-[(λt)^m/m!]}exp(-λt)

={[(m-1)m(λt)^(m-2)/m!]-[2m(λt)^(m-1)/m!]+[(λt)^m/m

!]}exp(-λt)

={[(m-1)m(λt)^m/((λt)^2m!)]

-[2m(λt)^m/((λt)m!)]+[(λt)^m/m!]}exp(-λt)

=[(λt)^m/m!]{[(m-1)m/(λt)^2]

-2m/(λt)+(λt)/(λt)}exp(-λt)

=[(λt)^m/m!]{[(m-1)m/(λt)^2]-(2m-λt)/(λt)}exp(-λt)

 

λt1(λt) ≈m时,上式中的:

 

[(m-1)m/(λt)^2]-(2m-λt)/(λt)

=[(m^2-m)/(λt)^2]-(2m-λt)/( λt)

=[m^2-m-2m(λt)+(λt)^2]/( λt)^20,所以:

 

                Pm^2(m,t)/d(λt)^20

 

因此,(a)在λt1(λt)m附近有极大值,令(a=0,得(b):

 

{[(m(λt)^(m-1)/m!]-[(λt)^m/m!]}exp(-λt)=0  b

 

解(b)得到(c):

 

λt=m                c

 

c)说,当λt=m时,(4-6)有一个极大值。

 

λMLE估计值λ估算,替代(c)中的λ,于是就得到(d):

 

                   λ估算t=m               (d

 

因为,老化速率λMLE的估计值λ估算为(4-15):

 

4-15           λ估算=m平均/t试验

 

所以,有理由把(4-15)中的λ估算,替代整个老化过程的老化速率λ。把(4-15)代入(d),于是就得到老化寿命t的估算公式(4-18):

 

4-18t=t试验m/m平均m=λ估算tλ估算由(4-15)给出

 

4-18)的第1式表示,材料失去性能的值是m的老化寿命t;第2式表示,在老化寿命t时,失去性能的值是m。其中的t试验是被测量的样品老化试验的时间,m平均是被测量的样品在t试验内,失去性能的平均值,

 

如果材料性能失去的值m=n是临界值,这时,临界寿命估算公式是(4-18´):

 

4-18´       tn=t试验n/m平均λ估算tn=n

 

其中的tn被定义为临界寿命,λ估算由(4-15)给出。因此,临界寿命的意思是:聚合物材料在老化过程中,到达临界点n所用时间tn,具有最大的概率。

 

把(4-18)和(4-18´)代入(4-8´),可以求出老化寿命t,及临界寿命tn的可靠度R临界

 

由于材料性能下降的临界值n,是按照设计要求来设定的,所以对材料任意失去性能值n的临界寿命tn,均可用(4-18´)来估算。

 

4.安全系数β

 

在(4-18´)中

 

4-18´            tn≈t试验n/m平均

 

不难看出,比值n/m平均(>1)的大小决定了tn的大小。因此把比值(n/m平均) 1,定义为安全系数,用β表示,即(4-19):

 

4-19              β=n/m平均

 

由于(4-19)中的m平均与老化试验时间t试验有关,因此在得到被测样品的测量数值后,安全系数βn唯一确定。由此可知,安全系数与可靠度是等价的。

 

值得注意的是,在4.2.1中全部的数学推导和分析过程中,没有对聚合物材料老化的环境加以限制,所以4.2.1中的全部公式,具有一般性。

 

(待续)




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