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4.2.1数学模型

(2018-07-16 09:12:26)
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原创科技著作

分类: 聚合物材料可靠性分析原理


     聚合物材料可靠性分析原理

                        石拓·著

 

4.2.1数学模型

 

聚合物材料S在一个确定环境下,设N0是材料在t0=0的性能测量(试)初始值,Nt0时的测量(试)到的性能失去值。考虑到测试值一般不是整数,为了简化计算,乘上放大系数αα=12h,使得数值在测试精度内,成为最小整数,即αNαN

 

虽然,聚合物材料的老化,导致性能变劣的过程十分复杂,但是,从实验观察到的结果,认为主要的原因是,聚合物中高分子链,发生了化学—物理变化,例如:降解、交联等等。只要材料S的使用时间足够长,即使在添加稳定剂的情况下,也是如此[7]

 

如果S经历到时间t,性能失去了N(t),因为N(t)的随机性,所以,N(t)= N的概率为(4-2):

 

4-2         P(Nt)=Φ{ N(t)=Nt}

 

上式(4-2)中:t[ 0, ),N012αN。)。

 

此外,设λ0S的老化速率,o(Δt)是关于时间增量Δt的一个高阶无穷小量,即:

 

           lim(o(Δt)/Δt)|Δt0= 0

 

假如,聚合物材料S在使用时间区间(0t)内,S的性能值下降到了αNαN-1个单位。显然,单位的量纲与性能的量纲一致。如果时间增加Δt,在区间(tt+Δt)内,S的性能从αN-1下降到αN的概率是:λΔt+o(Δt)S的性能从αN下降小于一个单位或不降的概率是:1-λΔt+o(Δt)

 

由于聚合物材料老化的缓慢性,所以当Δt非常之小时,S的性能下降,发生大于一个单位的概率,显然是o(Δt) ,即小概率事件。因此,设Pm(mt)Pm-1(m-1t)分别表示,上一时刻t下降的性能值是mm-1的概率,Pm(mt+Δt)是从t到下一时刻t+Δt过程中,下降的性能值是m的概率,m=12,…。

 

因为老化而引起S的性能变化的过程,在从tt+Δt的时间间隔内,其性能值下降一个单位的概率,只有下列三种可能,即:

 

1)上一时刻t的失去(下降)的性能值是αN,到下一时刻t+Δt没有变化,仍是αN,其概率是1-λΔt+o(Δt)

 

2)上一时刻t的失去(下降)的性能值是αN-1,到了下一时刻t+Δt,失去一个单位的性能值,下降到αNαN≥1)的概率是λΔt+o(Δt)

 

3)其它,其它情况的概率是o(Δt)

 

αNm=m是失去的性能值。根据上述3种可能,材料在时刻t时,失去的性能值只有3种可能,要么αNm=m;要么αNm=m-1;要么其它。因此,经历了t+Δt过程,到了时刻t+Δt时,材料失去的性能值是αNm=mαNm≥1)的概率是(4-3):

 

4-3   PαNm(αNmt+Δt)

=(1-λΔt)PαN (αNmt)+λΔt PαN-1(αNm-1t)+o(Δt)

   Pm(mt+Δt)

=(1-λΔt)Pm(mt)+λΔt Pm-1(m-1t)+o(Δt)

 

4-3)的第1项表示,t时刻失去性能的值是αNm=m,经历了tt+Δt的过程,到了t+Δt时刻,材料失去的性能值仍为αNm=m(没变化或下降)的概率;第2项表示,t时刻失去性能的值是αNm-1=m-1,经历了tt+Δt的过程,材料失去的性能值,从αNm-1=m-1变化(失去)到αNm=m的概率,第三项是其它情况的概率。

 

整理(4-3)第二式,得(a):

 

   [Pm(m,t+Δt)-P(m,t)]/Δt

=-λPm(mt)+λPm-1(m-1t)+          a

 

求(a)在Δt0时的极限,得到(b):

 

dPm(m,t)/dt=lim{[Pm(m,t+Δt)-Pm(m,t)]/Δt}|Δt0

=-λPm(mt)+λPm-1(m-1t)                b

 

于是,由(b)得到下列微分方程(4-4):

 

4-4   dPm(mt)=[-λPm(mt)+λPm-1(m-1t)]dt

    dPm(m,t)/dt=-λPm(mt)+λPm-1(m-1t)

 

其中的m≥1。下面对微分方程(4-4)求解。

 

因为4-4)的第2式第2项表示,在tt+Δt的过程中,材料失去的性能值,从m-1变化(失去)到m的概率,因此,t≠0m=0时,2项的概率Pm-1(m-1t)|m=0=0。这是因为,在时刻t时,并不存在性能失去是负值,即0-1=-1的情况,所以Pm-1(m-1t)|m=0=0。因此,从(4-4)的第二式,得到(c-0):

 

dP(0,t)/dt=-λP0(0,t)+λP0-1(0-1,t)=-λP0(0,t)     (c-0

 

又因为,在老化寿命时间t=0时,S的性能值,没有发生变化(下降)的概率是1,即Pm=0(m0)=1;在t=0时,发生变化(下降)的概率是0,即Pm≠0(m0)=0。因此,微分方程(4-4)的初始条件为:

 

4-5        PαN(αN0)=1,αN=m=0

PαN(αN0)=0,αN=m0

 

4-5)的第一式说,在老化时间t=0时,性能没有失去(下降)(αN=m=0)的概率是1;第二式说,在老化时间t=0时,性能失去(αN=m≠0)的概率为0

 

接下来,求出初始条件(4-5)下,微分方程(c-0)的解:

 

P0 (0t)=C0exp(-λt)=exp(-λt)   d-0

 

其中:C0=1是积分常数,这是因为,根据(4-5)的第一式,当t=0时性能没有失去(αN=m=0),把t=0代入(d-0),得:

 

P0 (00) = C0exp(-λ0)= exp(-λ0) =1

 

由此求得C0=1

 

当性能失去αN1=1根据(4-4)的第二式,有(c-1):

 

         dP(1,t)/dt=-λP1(1t)+λP0(0t)    c-1

     dP(1,t)/dt+λP1(1t)=+λP0(0t)

 

c-1)是一次线性微分方程,因此解得:

 

P1(1t)= exp(-∫λdt) ×(∫λP0(0t)exp(∫λdt)dt+C1)

= exp(-λt)( ∫λexp(-λt)exp(λt)dt+ C1)

= exp(-λt)( ∫λexp(-λt+λt)dt+ C1)

= exp(-λt)( ∫λdt+ C1)= exp(-λt)( λt+ C1)

 

上式中的C1是积分常数。根据初始条件(4-5)第二式,上式:P1(1t)|t=0= exp(-λt)( λt+ C1)|t=0=0,得到C1=0。将C1=0代入上式,解得(d-1

 

P1(1,t)=λtexp(-λt)=[(λt)^1/1!]exp(-λt)    d-1

 

当性能失去αN2=2,有(c-2):

 

     dP(2,t)/dt=-λP2(2t)+λP1(1t)   c-2

 

与上面同法求得:

 

P2(2t)= exp(-λt) (∫λP1(1t)exp(λt)dt+C2)

= exp(-λt)(λ∫[(λt)^1/1!]exp(-λt)exp(λt)dt+ C2)

= exp(-λt)(λ∫[(λt)^1/1!]exp(-λt +λt )dt+ C2)

=exp(-λt) (λ∫[(λt)^1/1!]dt+ C2)

= exp(-λt)([(λt)^2/2!]+ C2)

 

根据初始条件的第二式t=0时,求得积分常数C2=0,代入上式算得(d-2):

 

P2(2t) = [(λt)^2/2!]exp(-λt)       d-2

 

以此类推,当αNm=m时,有(c-m):

 

  dP(m,t)/dt=-λPm(m,t)+λPm-1(m-1,t)     (c-m

 

c-m)即为(4-4)的第二式。解(c-m),得:

 

Pm(m,t)= exp(-λt)(∫λPm-1(m-1,t)exp(λt)dt)=

exp(-λt)(λ∫[(λt)^(m-1)/(m-1)!]exp(-λt)exp(λt)dt)

= exp(-λt)(λ∫[(λt)^(m-1)/(m-1)!]exp(-λt+λt)dt)

= exp(-λt)(λ∫[(λt)^(m-1)/(m-1)!]dt)

=[(λt)^m/m!]exp(-λt)                     d-m

 

其中的积分常数,根据(4-5)的第二式,求得Cm=0。于是,根据数学归纳法,得到微分方程(4-4)在初始条件(4-5)的解为,函数(4-6):

 

4-6Pm(m,t)=[(λt)^m/m!]exp(-λt)m≥0λ>0t≥0

 

4-6)就是我们所要求的聚合物材料老化寿命的随机过程数学模型,也是老化寿命的分布(概率)函数。它表明了:

 

1.如果假设聚合物材料性能失去m为失效,那么,到达这个失效点所经历的所有时间t,就是所谓的老化寿命,并且,对于每一个老化寿命t,(4-6)给出相应的失效概率。

 

2. 如果假设聚合物材料性能失去m后,仍然属于在有效的范围内,那么,到达这个有效点所经历的时间t,就是所谓老化的可靠寿命,并且,对于每一个可靠寿命t,(4-6)给出相应的可靠概率。

 

4-6)被称为泊松(Poisson)分布,它表示在时间t时,材料失去的性能是αNm=m的概率。

 

值得注意的是:在导出(4-6)的过程中,我们并没有对材料的使用环境加以限制。所以(4-6)适用于聚合物材料所有的使用环境。

 

(待续)



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