锁相环及载波同步算法的研究

    数字化锁相环以及软件锁相环的原理都是基于最早的线性锁相环(模拟锁相环)的基础之上，锁相环的各种性能参数都需要由线性锁相环模型来定义，对锁相环的分析与设计也是以线性锁相环的理论为指导，从模拟域映射到数字域的设计。因此，首先研究线性锁相环的理论，并着重分析锁相环各部件的工作原理。载波同步主要采用环路进行自锁载频，锁相环是其关键部件，在对锁相环研究的基础上，对通信系统中载波同步的现有算法进行了分析研究。

1、锁相环的组成及工作原理

    锁相环(Phase-locked Loop, PLL)是一种使输出信号(由振荡器产生)与输入信号(也称为参考信号)在频率与相位上都同步的电路。在同步状态下(也称为锁定状态)振荡器的输出信号与参考信号之间的相位差(简称相差)为零或者保持为一个常数。如果出现了相差，锁相环将控制振荡器的输出信号，使相差逐渐减小。在这个控制系统中，输出信号的相位被“锁定”在参考信号上，所以称这个系统为锁相环。

最早的用模拟器件搭建的锁相环称为线性锁相环(Linear PLL, LPLL)，后来鉴相器用数字电路来实现，而其它部件仍为模拟器件，这称为数字锁相环(Digital PLL, DPLL)，可见它不是真正意义上的数字化器件。线性锁相环和数字锁相环的理论比较接近，可以归为“混合信号锁相环”。后来锁相环全部由数字器件实现，称为全数字锁相环(All-digital PLL, ADPLL)。现在又多用软件来实现锁相环的功能，称为软件锁相环(Software PLL, SPLL)。SPLL非常灵活，可以表现为LPLL, DPLL和ADPLL，当然，锁相环电路的结构形式与功能模块多种多样，不是所有的环路结构都适合用软件的方式来实现。

1.1、锁相环工作原理

下面通过线性锁相环的模型来阐述锁相环的工作原理。如图1所示，锁相环包括三个基本的部件：压控振荡器(Voltage Controlled Oscillator, VCO)、鉴相器(Phase Detector, PD)以及环路滤波器(Loop Filter, LF)。在某些应用中，在压控振荡器的输出端和鉴相器之间还需要有一个分频器。

 

图1 锁相环结构框图

    锁相环是一个相位信号的控制系统，在锁相环电路中，输入信号和输出信号都是相位信号。即输入信号用相位来携带信息，锁相环只关心输入信号的相位，完成“锁相”的功能。在锁相环中，一些主要的信号如下所述：

    （1）参考信号(也称为输入信) ，其角频率为

    （2）压控振荡器的输出信号 ，其角频率为

    （3）鉴相器的输出信号

    （4）环路滤波器的输出信号

    （5）相位差(简称相差) ，定义为信号 和 之间的相位差。

    压控振荡器产生一个角频率为 的输出信号， 由环路滤波器的输出信号 决定。它们之间的关系可以表示为

 

其中。 为VCO的中心角频率， 为VCO的增益，单位为rad/(s.V)。

    鉴相器也叫做相位比较器，它比较参考信号与输出信号之间的相位，并产生一个与相位差 。近似成比例的输出信号 o

 

称为鉴相器增益，单位为rad/V。在鉴相器的输出信号 中，包括直流分量和叠加其上的交流分量。交流分量是我们不期望的，它会引起振荡器输出频率不稳定，因此用环路滤波器将其滤除。最常用的滤波器是一阶低通滤波

器。下面介绍锁相环中这个部件是如何工作的。

    （1）假设输入信号 的角频率与压控振荡器的中心频率相等，则压控振荡器工作在其中心频率上。

    当初始相差 为零的时候，鉴相器的输出信号 为零，显然环路滤波器的输出也为零，系统工作在压控振荡器的中心频率上。

    当初始相差不为零时，鉴相器会输出一个不为零的信号 ，在经过一定延迟之后，环路滤波器同样会产生一个有限的 ，它会使压控振荡器改变其振荡频率从而使相差逐渐减小，最后趋近于零。

    （2）假设输入信号的频率在 时刻突然增加了 ，则输入信号的相位开始超前于输出信号的相位，因此出现了相位差并且逐渐增大。鉴相器输出信号 也随着时间逐渐增大，经过一定延迟之后，环路滤波器的输出信号 同样会增大，这就使得压控振荡器增大它的输出信号频率，这样相差又逐渐缩小，经过一段时间调整之后，压控振荡器的输出信号频率与输入信号频率相等。相差最终减小为零或者是一个常数，这取决于使用的环路滤波器的类型。

1.2、鉴相器

鉴相器是能够产生与它的两个输入信号 和 的相位差成比例的信号的电路。在混合信号锁相环中，最常用的鉴相器有四种：乘法鉴相器、异或门鉴相器、JK触发器鉴相器和鉴频鉴相器。后面的二种鉴相器要求输入信号均为方波信号，即整体锁相环电路用来锁定方波信号，而在载波同步电路中，要锁定的是正弦波信号，通常都是用乘法鉴相器，而且乘法鉴相器的功能很适合用软件方式来实现。

1.3、环路滤波器

如前所述，需要将乘法鉴相器输出的高次谐波滤除，因此在环路中加入了滤波器，称为环路滤波器。因为该滤波器要使低频成分能够通过，而滤除高频成分，所以环路滤波器是一个低通滤波器，最常用的环路滤波器是一阶低通滤波器。常见的有如下几种：

（1）无源超前滞后滤波器。无源超前滞后滤波器具有一个极点和一个零点，其传输函数为：

 

（2）有源超前滞后滤波器。有源超前滞后滤波器的传输函数与无源超前滞后滤波器相似，只是它多了一个增益 ，其传输函数为：

 

（3）有源比例积分滤波器。有源比例积分滤波器的传输函数是：

 

因为它有一个极点，所以表现为一个积分器，从理论上来讲，它对于直流分量的增益为无限大。

上述三种环路滤波器的幅频特性如下图所示：

图2 三种滤波器的波特图

相对于其它环路滤波器，有源比例积分滤波器具有一些明显的优点：

（1）它具有无穷大的直流增益，能使锁相环锁定后的相差为零。

（2）它能够锁定频率斜升，而很多环路滤波器做不到这一点。

（3）它是根据维纳滤波理论推出的锁定频率阶跃的最佳环路滤波器。

因此在工程实践中，大都使用有源比例积分滤波器。在数字化实现时，也是使用与之对应的数字滤波器。

1.4、受控振荡器

受控振荡器有两种：电压控制振荡器和电流控制振荡器，它们的不同之处仅在于前者的输入信号为电压信号，而后者的输入信号为电流信号。

压控振荡器的输出角频率 与输入的控制信号 成比例，其关系为：

 

其中 称为压控振荡器的增益，单位是 rad/(s.V)， 是压控振荡器的输出中心角频率。在数字化的锁相环路中，与之对应的是数字控制振荡器(Numerical Controlled Oscillator, NCO)。

2、锁定状态下锁相环的性能

假设锁相环处于锁定状态，并且在一定时间内可以保持锁定，这样就可以建立一个锁相环的线性模型。这个线性模型将输入信号的相位 与输出信号的相位 用一个相位传输函数 联系起来：

 

其中 ， 分别为 ， 的拉普拉斯变换。

在锁定状态下，鉴相器的输出信号可以表示为： ，可见，它是一个增益为 的零阶系统，鉴相器的传输函数为：

 

前面已经给出了几种环路滤波器的传输函数，这里统一用 来表示。

压控振荡器的方程为：

 

为了得到系统的相位传递函数，必须将其输出信号的相位 与输入信号 联系起来。

 

对其进行拉普拉斯变换得到：

 

所以压控振荡器的相位传输函数为：

 

可见，对于相位信号，压控振荡器表现为一个积分器。它为系统多增加了一个极点，所以当使用一阶环路滤波器时，锁相环为二阶锁相环。锁相环的阶数等于环路滤波器的阶数加 1。

锁相环的相位传递函数：

 

误差传递函数：

 

将不同环路滤波器的传输函数 代入上式，即可得到锁相环相位传输函数的完整表达形式。通常将传输函数的分母写成 的形式，其中 称为自由角频率， 称为阻尼系数。

这里主要指出有源积分滤波器的的参数：

 

其中N为分频数。

将有源积分滤波器的传输函数带入锁相环的相位传递函数及误差传递函数得其相位传递函数：

 

其误差传递函数：

 

相位传递函数的幅频特性及误差传递函数幅频特性下图所示。

 

相位传递函数 的波特图

 

误差相位传递函数 的波特图

因为图中横坐标为 ，即对频率进行了归一化，所以它代表了所有二阶锁相环的相位传输特性。可见，二阶锁相环对于输入的相位信号来说可以等效为一个低通滤波器，在从零到自由角频率 的频率范围内，其幅度响应曲线都是平坦的。这是一个很重要的特性，说明了锁相环可以跟踪经过相位或者频率调制的参考信号，只要调制信号的频率在零到自由角频率之间即可。而阻尼系数 对于锁相环的动态特性有很大的影响， 越小，其幅度响应曲线的过冲越大，在应用中，都希望幅频特性曲线保持平坦，一般取 ，这时，锁相环等价于一个二阶巴特沃思低通滤波器。如果 大于1，虽然幅频特性曲线更为平坦，但是系统对信号的动态响应会变坏。

3、锁定状态下锁相环的暂态响应

    得到了锁相环的相位传递函数 和误差传递函数 后，我们可以分析锁相环对一些典型信号的响应，从而可以指导锁相环的设计，这些典型信号包括相位阶跃信号、频率阶跃信号。

（1）锁相环对相位阶跃信号的响应，对于相位阶跃信号 ，它的拉普拉斯变换为 ，那么相差可以表示为：

 

根据拉普拉斯变换的终值定理得：

 

（2）锁相环对频率阶跃信号的响应，对于频率阶跃信号 ，那么 ，其拉普拉斯变换为 ，那么相差可以表示为：

 

根据拉普拉斯变换的终值定理得：

 

4、描述锁相环稳定性的参数

锁相环的动态性能由以下几个参数来表征：快捕带(Lock range)、失锁带(Pull-out range)、捕捉带(Pull-in range)、同步带(Hold range)，另外还有表征锁相环锁定时间的两个参数，捕获时间和快捕时间。下面给出这些参数的描述性定义。

同步带：在锁定状态下，缓慢地改变输入信号频率来增加固有频差，若环路随着频差增大而最终失锁，则失锁时所对应的最大固有频差称为同步带。同步带是环路可以维持静态相位跟踪的频偏范围，锁相环路在此范围里可以保持静态的条件稳定。同步带代表了锁相环的静态稳定极限。

捕获带：在锁相环初始时刻就处于失锁状态的情况下，环路最终能锁定的最大固有频差称为锁相环的捕获带。只要环路失锁时的频偏在这一范围里，环路总会再次锁定，但时间较长。

失锁带：如果锁相环的输入信号的频率阶跃超过一定范围，那么锁相环将失锁，这个频率的范围称为失锁带。

快捕带：锁相环不经过跳周而达到锁定的最大固有频差称为快捕带。

捕获时间：环路从某个起始状态频差开始，经历周期跳跃达到频率锁定所需的时间。即初始频差在锁相环的捕获带内，锁相环从失锁状态到锁定状态所需的时间。

快捕时间：环路从某个起始状态频差开始，不经历周期跳跃达到频率锁定所需的时间。即初始频差在锁相环的快捕带内，锁相环从失锁状态到锁定状态所需的时间。

锁相环的工作状态只有锁定和失锁这两种，锁定状态是“静态”的，捕获过程是“动态”的。在这两种状态下，环路的正常工作都是需要一定条件的，上面提到的几个稳定性参数就是这些条件的量化反映。锁相环路维持相位跟踪有三个必要条件：

（1）参考信号频率的变化总量要小于同步带的宽度。

（2）参考信号的最大频率阶跃量要小于失锁带的宽度。

（3）参考频率的变化率必须小于自由角频率的平方。

5、参数的计算

此处只给出对于乘法鉴相器，环路滤波器为有源比例积分滤波器的情况时，系统各个参数的计算依据。

如果输入信号的频率超过同步带范围，则锁相环永远处于失锁状态。计算同步带的方法是计算频率为多大时使跟踪相差达到最大。相差达到的最大值取决于使用的鉴相器类型，对于乘法鉴相器，最大相差为90°。其同步带为：

 

可见，环路的同步带宽与选择的滤波器及环路增益有关。理论上，有源比例积分滤波器的同步带 =∞，但实际上，其同步带取决于压控振荡器的输出频率范围。

快捕带：

 

快捕时间：

 

捕获带：

 

捕获时间：

 

其中 为初始频差。

失锁带：

 

环路的等效噪声带宽：

 

如果等效噪声带宽越小，则信噪比的改善越大，但是随着等效噪声的带宽变小，锁相环的动态范围也将变小，这是一对矛盾。

6、数字环路滤波器

数字环路滤波器在锁相环路中对输入信号中的噪声起抑制作用，并且可以调节环路的矫正速度。数字滤波器的形式多种多样，最常见的一种数字滤波器如下图所示。

 

这种数字滤波器与模拟的有源比例积分滤波器直接对应，可以根据它的结构得到差分方程：

 

而

 

则将两式相减得：

 

对其进行Z变换得到环路滤波器的Z域传递函数：

 

而前面提到的模拟有源比例积分滤波器的传输函数为：

 

对上式进行双线性Z变换，即令

 

其中 为采样时间，得到：

 

则通过对比可知：

 

 

    事实上，对于数字锁相环的设计，主要是对于数字换路滤波器系数的计算，现在已经得到了数字滤波器系数的计算方法，那么就可以根据锁相环的设计指标进行参数的计算。步骤如下：

（1）选择锁相环的阻尼系数 （推荐值为 0.707）

（2）根据锁相环跟踪精度以及跟踪范围的需要确定其等效噪声带宽。

（3）根据理论公式确定自由振动角频率。

（4）由系统中 A/D 的电压范围、量化阶数以及 NCO 输出的量化幅度值计算环路增益，确定滤波器的系数。

（5）计算其他指标看是否符合要求，如果符合则设计完毕，不符合则回到步骤（2），直到符合要求为止。

7、现有的各种载波同步方法

7．1、闭环载波同步法

7.1.1、自动频率跟踪控制环：

延迟叉积AFC环路：

 

该算法在低信噪比性能接近最佳，运算量适中。但是这种方法得出的误差函数受接收符号的影响较大。

点积叉积AFC环路：

点积叉积鉴频算法消除了符号改变对估计误差影响，并且实现简单，捕获时间快，但是跟踪范围较小，若要实现这一算法，则需要在叉积鉴频器之前增加四相鉴频器，将频偏误差降低到叉积鉴频器的跟踪范围之内。

7.1.2、载波相位跟踪算法

M次方环：

 

    M方环输出的相干载波含有M重相位模糊，其相邻间隔为2 /M。

判决反馈环：

 

 判决反馈环与科斯塔斯环只有一点差异:判决反馈环中的基带信号经判决去除了噪声后再相乘而科斯塔斯环的两路基带信号均含有噪声，因此判决反馈环的噪声性能优于科斯塔斯环和M方环，但是判决反馈环在实现载波同步之前，先要获取一定精度的符号同步，以便按照符号宽度实现最佳积分能量采样判决。与M次方环不同，同相正交环和判决反馈环都是基带处理方式，即环路的鉴相器设在基带上，这样可以做到码速变换的通融，容易实现电路的集成化，同时可以避免中频处理方式的一些缺点。

数字科斯塔斯环(Costas)

又称同相正交环。分为常规Costas环和Costas交叉环。costas环的工作频率是载波频率本身，而平方环的工作频率是载波频率的两倍，显然当载波频率比较高时，工作频率较低的Costas环易于实现。这两种方法所提取的载波都存在相位模糊的问题。

常规Costas环：

 

Costas交叉环：

 

    低信噪比时，CostaS交叉环鉴相特性的线性范围比常规CostaS环在同一信噪比下较宽，鉴相增益也较大，可见Costas交叉环的抗噪声能力更好。

鉴频辅助的COStaS环路：

传统的载波同步技术通常单独采用锁相环或锁频环，存在动态性能与稳态性能之间的矛盾。锁相环应用于载波同步，较难同时满足跟踪精度与动态性能的要求。为了减小相位抖动、提高跟踪精度，需减小环路带宽;而为了扩大捕获范围、提高捕获速度，却需增大环路带宽。锁频环具有较好的动态性能，但跟踪精度却比PLL跟踪精度低，二者存在一定的矛盾。为了解决这个矛盾，将锁频环作为锁相环的辅助环节。

鉴频辅助的COStaS环路原理图：

7．2、开环载波同步法

基于锁相环的闭环载波同步方法，捕获范围很小、所需的捕获时间很长，特别在低信噪比下，这种闭环结构往往不能适应突发方式下快速载波同步，因此许多开环载波提取结构被提出，并越来越多地应用在通信系统中。

快速傅里叶变换载波频偏估计算法：FFT频率估计方法因具有速度快、便于实时处理的特性而得到了广泛应用合。但FFT频率估计方法得到的是离散频率值， 当信号频率与FFT离散频率不重合时，由于FFT的“栅栏”效应”，信号的实际频率应位于两条谱线之间。而且，FFT载波频偏估计算法的频偏估计范围和频偏估计精度受到FFT阶数的制约，一般来说在一定的系统硬件开销下，无法同时实现大范围和高精度的频偏估计，且一般无法达到CRLB，因此FFT载波频偏粗估计后进一步用插值算法实现精估计是值得考虑的改进方案。

基于接收信号相位的频偏估计算法：

基于接收信号相位的频偏估计算法是无偏估计；其无偏估计范围为符号速率的1/8。

载波频偏的最大似然估计：分为数据辅助及非数据辅助两种。