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[转载]从圆幂定理到圆锥曲线幂定理

(2018-11-06 10:23:44)
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分类: 解题研究

724300  陕西省略阳县天津高级中学  陈波

                                                       发表于《数学教学》2016年6期

圆幂定理是对相交弦定理切割线定理割线定理的统一与归纳.由于圆是圆锥曲线的特殊情形,因此由圆幂定理可推广出圆锥曲线幂定理.本文将从数学史的角度谈一谈圆幂定理与圆锥曲线幂定理之间的本质联系,一方面感受数学专业知识与历史知识的互补性,另一方面,感受数学史料在思考、探究现代数学问题中所起到的重要指引作用.

1.  数学史料的呈现

古希腊著名学者阿波罗尼奥斯所著的《圆锥曲线论》共8卷,含487个命题,可以说是古希腊几何的登峰造极之作.阿波罗尼奥斯在其著作中使用纯几何方法已取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果.阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中所说的“一圆锥截线”即现在解析几何中的椭圆、抛物线、双曲线的一支,“二相对截线”即双曲线.其中,卷3命题161723就蕴含着圆幂定理与圆锥曲线幂定理之间的本质联系.

《圆锥曲线论》卷3命题1617如下:

命题16  如果与一圆锥截线或一个圆的圆周相切的两直线相交,在这截线上取某个点,从它作一切线的平行线并与截线和另一切线相交,则在两切线上正方形的比,如同介于这截线和切线之间的两线段所夹的矩形与在切点处截出的线段上正方形的比.

命题17  如果与一圆锥截线或一个圆的圆周相切的二直线相交,在这截线上任取两点,且从它们作两切线的平行线彼此相交且交于截线,则二切线上正方形之比将如同类似取得的线段所夹矩形之比.

命题23  如果在共轭的两二相对截线中两条与一二相对截线相切的直线相交于任一截线之内,又任作平行于两切线的两直线相交并交于另一二相对截线,则两切线上正方形的比,将如同介于截线和二直线交点之间二线段所夹的矩形与类似取得的二线段所夹矩形的比.

2数学史料的现代几何语言解释及思考

根据命题16知,过点 圆或圆锥曲线的两条切线 ,切点分别为 .再过圆或圆锥曲线上任一点 做平行于 的直线,交圆或圆锥曲线于另一点 ,交 于点 ,则

根据命题17知,在圆或圆锥曲线上分别以点 为切点的两条切线 交于点 .再在圆或圆锥曲线上任取两点 ,过点 分别作切线 的平行线 ,并且 分别交圆或圆锥曲线于点 ,同时 交于点 ,则

 

就圆而言,如图1,有 如图2,有 .因为圆里 ,因此上述两个等式分别为

因此圆幂定理实际上是说:过平面上一个定点 ,任作一直线与半径为 的圆 相交于 两点,则 为定值(这里 表示有向线段的数量).这个定值叫做点 关于此圆的幂,简称圆幂.只是当点 在圆内时, ,得相交弦定理;当点 在圆上时, ;当点 在圆外时, ,得割线定理、切线长定理、切割线定理.

就椭圆而言,如图3,有 如图4,有 .若过椭圆中心 分别与切线 平行,则有 ,故

   

又图3 ,若过椭圆中心 分别与切线 平行,则 ,可得 切线 可以看成由割线退化而来.

因此,可以得到椭圆幂定理:过平面上一个定点 ,任作一直线与椭圆 交于 两点,过椭圆中心 作平行于 的直线交椭圆于点 ,则 为定值(这里 表示有向线段的数量).这个定值叫做点 关于此椭圆的幂,简称椭圆幂.只是当点 在椭圆内时, ,得椭圆相交弦定理;当点 在椭圆上时, ;当点 在椭圆外时, ,得椭圆的割线定理、切割线定理.

就双曲线而言,仍然有命题1617中的结论.由于与椭圆类似,不再详细写出.而命题23是只涉及双曲线的命题。

根据命题23知,如图56所示,已知一双曲线及其共轭双曲线,中心都为 ,在其中一双曲线上分别以点 为切点的两条切线 交于点 .再在这个双曲线的共轭双曲线上任取两点 ,过点 分别作切线 的平行线 ,并且 分别交这个双曲线的共轭双曲线于点 ,同时 交于点 ,则

双曲线中心 分别与切线 平行,则 ,故

这里特别需要说明的是,过双曲线中心 分别与双曲线的切线 平行,可能 与该双曲线是相交的,也可能 与该双曲线不相交,而与该双曲线的共轭双曲线相交.此外,当割线 退化成切线时, 两点重合为一点 ,此时有 ,故

因此,可以得到双曲线幂定理:过平面上一个定点 ,任作一直线与双曲线交于 两点,过双曲线中心 作平行于 的直线交双曲线或该双曲线的共轭双曲线于点 ,则 为定值.这个定值叫做点 关于此双曲线的幂,简称双曲线幂.只是当点 双曲线内时, ,得双曲线相交弦定理;当点 双曲线上时, ;当点 双曲线外时, ,得双曲线的割线定理、切割线定理.

 

就抛物线而言,仍然有命题1617中的结论.但由于抛物线是无心二次曲线,因此,在椭圆和双曲线中可以过中心 作平行于 的直线 ,而在抛物线中,我们无法作出像 那样的直线.因此,我们先看下面的问题。

如图7所示,已知抛物线顶点为 ,焦点为 ,抛物线的对称轴与准线交于点 分别是抛物线的焦点弦,并且 是与对称轴垂直的焦点弦.

分别作 垂直于抛物线的对称轴,则 ,所以

同理 ,所以 ,即

 

若在抛物线中过焦点 分别与抛物线的两切线 平行,则有

,故 ,即

同样,当割线 退化成切线时, 两点重合为一点 ,此时有 ,即为

因此,可以得到抛物线幂定理:过平面上一个定点 ,任作一直线与抛物线交于 两点,过抛物线焦点作平行于 的弦,记这个焦点弦长为 ,则 为定值.这个定值叫做点 关于此抛物线的幂,简称抛物线幂.

3圆锥曲线幂定理中定值的代数形式

通过坐标旋转,总可以使得圆锥曲线的对称轴平行于坐标轴,从而得圆锥曲线方程的一般形式 0

设经过定点 的直线m方程为 为参数),代入上式,整理得

0……………………………………………………………………………………………(*

设该直线与二次曲线 的交点为 ,则由参数的几何意义得

时, 为椭圆方程。设经过椭圆中心O00)且与直线m平行的直线与椭圆的交点为 ,则 .所以

特别地,当 时, 为圆方程。此时 ,即

时, 双曲线方程。设经过双曲线中心O00)且与直线m平行的直线与双曲线的交点为

.所以

时, 为抛物线方程,其对称轴为x轴,顶点为原点,则由(*)式得

设经过抛物线焦点 且与直线m平行的直线与抛物线交点为 ,则

所以

同样,当 时, 为抛物线方程,其对称轴为x轴,顶点为原点,此时有

综上可知,圆锥曲线幂可以有统一的代数表达形式,充分体现了数学的美.

4结束语

从圆幂定理到圆锥曲线幂定理的发现及推广是不易的.数学史料的研究和探讨往往使得我们能够开启数学之眼,发现数学之门.也能够把数学中所展现的一种“冰冷的美丽”变为“火热的思考”.

参考文献

[1]  阿波罗尼奥斯.圆锥曲线论_1-4[M].朱恩宽,张毓新,张新民,冯汉桥,译.西安:陕西科学技术出版社,2007

 

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