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[转载]向量问题

(2015-05-10 09:48:39)
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分类: 课堂教考研
原文地址:向量问题作者:

2013年高考重庆卷(理科)第10题的解法

2013年重庆高考试卷(理)第10题的几何背景

向量中又一鈥溣菜汊澋睦

向量中又一鈥溣菜汊澋睦
一道向量题的又一种解法,又一点看法

一道向量题的又一种解法,又一点看法
一道向量题的又一种解法,又一点看法

前两天备“向量综合应用”这节的课,选了这道题:
边讲边想,风景独好(1)
作为例题准备去讲。向量的题觉得都简单,简单的题现在一般不喜欢动手解了(已是半个老教师,有吃老本的嫌疑),瞄了一眼答案,发觉用的是建系求解(可见博文《数量积的三种计算方法》),甚是奇怪,普通一道向量题为什么会去建系呢?况且对高一还没有接触解析几何的学生来说,建系还是有点陌生。于是动手,很快用向量的方法求出了最小值为5。
边讲边想,风景独好(1)

在给学生讲时,感觉到边讲边想,风景独好(1)应是一个有几何意义的向量,在图中应该作得出来。
边讲边想,风景独好(1)
这不是更简单的解法吗?立即推荐给学生。感叹有时解题的灵感就产生在边讲边想中,这也是有时我不愿意在下面写好了答案,再去课堂讲的一个原因,它往往会禁固讲题者的思维(当然正式的讲课还是不会这样的),而不能让讲解者自由发挥思维。真是边讲边想,收获不少,风景独好。
下来在齐建民老师的博客上刚好看到这样一题:
边讲边想,风景独好(1)
用上述同样的方法,很快就求出最小值为 边讲边想,风景独好(1)
显然,用三点共线的充要条件这种方法可解这一类型的题。



写了上篇博文《边讲边想,风景独好(1)》,余味未完之际,又想起前段时间给学生讲这个题的发挥,题目:
边讲边想,风景独好(2)
边讲边想,风景独好(2)
这是一道在“向量”这节中经常出现的练习题,先不直接讲此题,而是给出如下这个命题(事先考虑过它的证明,并没仔细去研究它的来龙去脉)
边讲边想,风景独好(2)
 这个命题的证明,给学生讲了三个证法,这里前两个给思路,第三个给详细证法。
1、用向量中三点共线的结论,不妨延长AO与BC交与D,在三角形OBC中,利用B、D、C三点共线,....... 。
2、边讲边想,风景独好(2)利用重心
分成的三个小三角形面积相等,再用三角形面积公式(两边长乘上夹角的正弦再乘二分之一).......。
3、
边讲边想,风景独好(2)
由这个命题很快就能给出上述题目的答案(边讲边想,风景独好(2))。
事情到此并没结束,在讲解过程中,就觉得这个命题漂亮,条件简单,结论强大。讲完下来就往两个方面猜想:
(再次印证,边讲边想,收获不少)
一、如果允许面积取负(定义一个取负的几何意义即可),条件应该可改为:O为平面ABC上任意一点,结论依然成立,这点显然有平面向量基本定理作支撑。
二、平面是二维的,在不同的维数上想象命题的样子。一维时,在直线上考虑,应该是这样子的:
O为线段AB上一点,则边讲边想,风景独好(2),显然此结论成立;三维时,在空间中考虑, 应该是这样子的:O为四面体ABCD内的一点,则边讲边想,风景独好(2)(V代表体积),我想可以仿照上述证法3证明它。
上述猜想没证明,但从数学的和谐性出发,我们有理由相信它的正确性。

 

一道数学题的多种解法

[转载]向量问题

 

题目:ABCAB=4,M为边BC的中点,AM=1,则∠BAC的最小值为___.

题目很容易,但发现其解法不少,用来训练学生一题多解很好,整理如下。

解法大多是群[中国数学解题研究会]里的朋友提供或提示的,不敢独占,已经注明。 

解法1:(几何解法)[原答案]

[转载]向量问题

解法2:(余弦定理)[我的解法]

[转载]向量问题

解法3:(向量法)[据揭阳陈卓章(153454???)的提示]

[转载]向量问题

解法4:(坐标法)[据福州江波(422638???) 的提示]

[转载]向量问题

解法5:(几何法)[安徽-宫尚宝(529115???)给出]

[转载]向量问题

解法6:(正弦定理)[广东陈泽桐(595682???)给出]

[转载]向量问题

解法7:(正弦定理)[揭阳陈卓章(153454???)给出]

[转载]向量问题

注意AM ADADM 为锐角,

所以ADM 最大为30°,从而BAC 最小为150°.

注:此法与解法6实质相同,只是辅助线的做法不同

【原创】2011 <wbr><wbr>年苏州市高三第一次调研测试13题-向量本质解法



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