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量子幾何學、非交換幾何學

(2016-07-01 15:03:11)
标签:

物理學

數學

分类: 物理學

量子幾何學、非交換幾何學 (寫於 2015年8月15日)

 

感想:本世紀剩餘年份的物理學的出路,可能是量子物理學的進一步幾何化。已經有人把它稱之為[量子幾何學]。物理學至今困難重重,出路在哪里?在幾何學,在物理學與新幾何學的結合。這種新幾何學比黎曼幾何更進了一層,也更難,更難建立與更難理解。我們還要等待,等待像黎曼那樣的天才,比黎曼還要天才的幾何學天才。除此以外物理學別無它法。

 

西方近代文明的源頭是古希臘文化,古希臘文化有兩大內容:科學與民主。亦就是陳獨秀在五四時提出的賽先生與德先生。而古希臘的科學,建構於幾何學。就是從最直觀的圖形上找到了邏輯,這樣的邏輯的體係就是理性的核心。可見幾何學對於科學的形成有非凡的意義。雅典的柏拉圖學院,它的門前竪了塊牌子:「不懂幾何學的人別進來」幾何學成為理性思維的訓練方式與文化的基礎。那段話的希臘文原文是:

 

ΜΗΔΕΙΣ ΑΓΕΩΜΕΤΡΗΤΟΣ ΕΙΣΙΤΩ ΜΟΥ ΤΗΝ ΣΤΕΓΗΝ

(不懂幾何的人就不必進來了)

 

古希臘文化在亞歷山大大帝時代達到了頂峰,公元前三百多年,馬其頓的年輕有為的國王亞歷山大大帝開始在尼羅河出口處建立亞歷山大市,他想建立一個世界的文化中心,並想讓它成為一個新的雅典,他當然是想讓整個二河流域(底格裏斯河與幼發拉底河)希臘化,他的繼承人在亞歷山大市建立了亞里斯多德圖書博物館。歷屆的館長之中,有一位就是大名鼎鼎的歐幾里德,他就是《幾何原本》的著者。幾何原本一書共有四百六十五個命題,經過兩千多年的檢驗,被證明沒有一個命題是錯的。

 

雅典的柏拉圖學院有很高的入學門檻(幾何學知識),貴族子弟想進這所學校,都得先補習幾何知識。歐幾里得寫那本《幾何原本》的初衷就是為這些未入門的初學者介紹幾何學的,等於現在的那種補習班教材。結果流傳下來的倒是它(也是唯一的),蓋因它普及而廣傳。所以那時真正的幾何學名著,我們後人可能都未見著。

 

我在初中12歲時學完了平面幾何(歐幾里得幾何),高中時再學完了立體幾何與解析幾何。後兩者比之平幾要簡單多了。離開大學後再靠自學而掌握了黎曼幾何。但深深地感到非歐幾何、黎曼幾何,都是不完整的。而可恨的是自己又沒有足夠的才智去開拓它。這是我這一生一直在糾結的一件事。

 

那麼,丘成桐他們不就在做這件事麽?他們不就是在發展量子幾何麽?唉,這點我有保留。我看了一些丘成桐的演講,也瞭解到他的多年前在幾何學上的工作為弦論打下了數學(幾何學)的基礎。他認為要「多想卡拉比猜想」,「多看弦論」。我還是有保留。我覺得大的方向(量子幾何)是對的,但小的方向(卡拉比-丘空間)則未必。物理學需要在幾何學上突破,但未必真會如此複雜。現在,物理學與幾何學之間還是處於水與油的關係。丘的工作是最好的幾何學,但未必真是一種未來物理所期待的幾何學。這世界還是缺少幾個既具有物理學的哲人頭腦,而又兼具數學天分的人。

 

幾何學與代數學,它們其實只是對於同一對象的兩種不同的銓釋語言。比如研究「平坦」的幾何體的歐幾里德幾何,就對應於代數學上「線性」的空間及其變換。而研究「彎曲」的幾何體的黎曼幾何,就對應於任何維數的空間及其代數拓樸。那麼它是否還能保存簡約而美妙的線性特質呢?關於這一點似乎還是很不清楚。

 

「非交換幾何」丶「非交換代數」。一種幾何係統必有一種對應的代數係統。非交換幾何所對應的代數係統就是非交換代數。舊的幾何學(包括黎曼幾何等非歐幾何)是實數係統與連續質點的係統,而非交換幾何進入了復數係統。量子理論的本質是一種復數係統,用於量子論的幾個方程(例如薛定鍔方程丶狄拉克方程)無一例外地是復數方程,此事並非偶然。

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