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史瓦西度規空間的高斯曲率

(2016-04-15 10:15:13)
标签:

物理學

場論

標題:史瓦西度規空間的高斯曲率

日期:2016年4月14日

 

一,計算的結果

 

本命題主要闡述史瓦西度規(Schwarzschild Metric)空間的高斯曲率(又稱總曲率)的問題。這部份的計算是在2007年12月完成的。得到的結果是:史瓦西度規空間的高斯曲率是零值,因此它不但是一種常曲率空間,還是四維歐幾里德空間。這計算結果當時頗讓我感到意外,我事先查了很多書籍,想了解史瓦西度規的時空的高斯曲率是什麽,但翻遍一些書籍文章都找不到(也許我翻的還不夠多),於是只能自己來計算。全部計算共寫了八頁,算多還是少?蓋爾曼發現著名的夸克理論的報告只寫了三頁。陳省身最輝煌的工作是Chen-Weyl定理,全部工作只寫了六頁。與人文學科不同,自然科學的真理寓於簡潔之中。

 

二,關於史瓦茲度規的注釋

 

1915年愛因斯坦推出引力場的場方程(又稱愛因斯坦方程)後,史瓦西(Schwarzschild)在1916年求出該方程的第一個解,1963年克爾(Kerr)又求得了另一個解。理論上講,場方程的解是無限的,不同引力場的物理條件就有不同的解。但是在方程提出後長達一個世紀的時間裡,實際求得的解可能只有以上兩個(我不清楚現在是否有第三種以上的解)。愛因斯坦方程是建立在度規空間的假設之上的,因此方程的解就是四維時空的度規函數。於是史瓦西的解被稱為史瓦西度規,而克爾的解被稱為克爾度規。史瓦西度規是對角型的度規(只有g11、g22、g33、g44四個分量),克爾度規並不是對角型度規(除了以上四個對角分量外,還有非零的非對角分量g34、g43)。

 

三,關於曲率張量與高斯曲率的注釋

 

曲率張量是四階的張量,它有256個分量,但由於mijk四個指標的反對稱性,在256個分量中真正獨立的分量只有18個。曲率張量可由度規函數及其一階或二階偏導數的乘積所組合,用度規張量來對曲率張量進行指標缩并後可求得標量曲率,所謂的高斯曲率就是一種標量性質的曲率。當度規是對角型時,高斯曲率只與曲率張量的18個獨立分量中的6個分量有關。此時可以寫出高斯曲率與該6個分量的關系如下:

 

K = g{11}*g{22}*R(1212) + g{22}*g{33}*R(2323) + g{33}*g{11}*R(3131)

    g{11}*g{44}*R(1414) + g{22}*g{44}*R(2424) + g{33}*g{44}*R(3434)

                                (9.1)

這裏g{11}、g{22}、g{33}、g{44}是度規的逆變張量的四個對角分量,而式中R(1212)等,則是曲率張量R(mijk)的6種分量。K為高斯曲率,它是標量曲率R的二份之一,且符號與標量曲率相反。

 

四,討論

 

1,有荷源(這裡是質量荷)的引力場的空間是常曲率空間這是合理的。但從物理哲學上思考,它應該是負曲率的羅巴切夫斯基空間才對,或者至少也是個正曲率的黎曼空間。而一個零曲率的歐幾里德空間(四維)是一個有引力場的空間,這在物理哲學上很難被接受。即使對於無源的引力場也不合理,何況是屬於有源的引力場(史瓦西空間已預設了質量荷處於座標系的中心點上)。

 

2,我不明白主流物理學家們注意到上面這點沒有?好像從未見到有人談起這一點。也未見到有人談論到「史瓦西空間的高斯曲率是多少」的命題。為什麽這樣簡單的事卻無人提及?是不重要嗎(a)、還是被故意忽略了(b)、還是我的計算有錯(c)、還是定義高斯曲率的微分幾何本身有缺陷?(d)

 

3,關於c點,我的計算所用的工具其實並不復雜,它僅是運用了「現在公認的微分幾何學」的一些不很復雜的定義與公式而已。我反覆檢查過這八頁,有足夠的自信,如果黎曼幾何是對的,那麽它也是對的。關於d點,我確實有所顧慮,因為高斯與黎曼推出非歐幾何時,雖然也推廣到了n維空間,但對於是否可以把時間放在第四維的位置上,在他們的時代可還沒有出現,而且那也是物理學家做的事。物理學家們把時間放置於第四維,再運用數學家們的計算工具,得到了這種總曲率為零的結果,在數學上是否是完備的,我仍然沒有把握。而且我在研究這類問題時還意外的發現,運用現有的微分幾何去研究一個帶有靜止的引力場荷源的空間時還行,但如果對像是動體的引力場荷源時,會產生很矛盾的計算結果,似乎反映與暗示了現有的微分幾何並不完備。我懷疑現有的黎曼幾何的總曲率計算公式只適合於無撓率(Torsion)存在的空間,對於動體的情況,總曲率或許應該寫成更多項內容的平方和。這裡似乎提示了現有的微分幾何仍是不完備的。

 

4,關於上面這點,我比較深信愛因斯坦的觀點:「物理世界的基本結構是幾何」。我自己深感在面對這些前沿的物理命題時缺乏我需要的更多的幾何學知識,而自己卻又無足夠的能力去發展這種數學。另一方面,純數學家們獨自在進行的(微分幾何方面的)工作似乎對物理學並無多大的幫助。一方面物理學真正需要的數學,數學家並不知道。另一方面數學家熱衷去證明的數學理論,與物理學並無多大關系。我相信這才是造成現在的理論物理學停滯的主要原因,這方面的一個例子就是弦論,無論從純數學上講是多麽的美妙(如邱成桐說說),我不認為它在物理學中會成功。另一個例子就是Weyl,他是微分幾何領域繼高斯與黎曼後數一數二的大數學家,但是他在理論物理學領域所做的工作(他的這方面的代表性論文名為《引力與電力》)是完全失敗的。今天的物理學需要像牛頓那種能把握正確的自然哲學,又能自己發展出自己的研究對像所需要的新數學的人。但這樣的天才並不是很容易出現的。另外中國的所謂「民科」並不理解「物理世界的基本結構是幾何」,他們連用於現存物理學的數學知識都沒有完全掌握,卻想去發展理論物理,這與Weyl他們正好是在相反的另一個極端上。

 

5, 史瓦西度規空間的零曲率情況,與同是零曲率的洛倫茨度規倒有幾分相似。史瓦西度規的g11與g44的反比性質,更讓人聯系起狹相的長度收缩與時間延遲的反比性質。所以如果愛因斯坦的場方程正確,那麽,史瓦西度規空間的四維歐氏空間屬性應該與洛倫茨度規空間的歐氏空間屬性有關聯,但我現在並不知道這是種什麽關聯。

 

五,下一步的打算

 

1,單單計算史瓦西度規空間的高斯曲率是不夠的,還應該完成對另一個現存度規(克爾度規)空間的高斯曲率的計算才能讓人信服。愛因斯坦方程的解就這有限的幾個,需要全部計算一下才能放心。如果克爾度規的高斯曲率也為零,那麽愛因斯坦方程就值得進一步討論。如果果克爾度規的高斯曲率不為零,甚至不是常曲率,那麽另當別論。

 

2,單單從史瓦西解出的度函數去計算高斯曲率也是不夠的,還應該反過來去推演。就是像量子理論建立波動方程時所走過的路那樣,先有解後有方程。現在我們也可以這樣去做,假定史瓦西度規的物理條件是存在的,而在該度規函數的條件下去建立方程,這個方程理所當然地是高斯總曲率的方程。我想看一看,這樣反過來建立起的方程,與先前的那個導出史瓦西解的愛因斯坦場方程是不是同一個方程(後者是建立在一些未經嚴格證明的假設之上的)。如果是同一個方程,那麽愛因斯坦場方程就有了堅實的數學基礎。如果不是,哪麽就有一個取舍的問題,這就有更多的事等待我們去做了,這同樣是一個很有趣的問題。

 

 

(附:2007年12月八頁計算稿原件的照片)

 

史瓦西度規空間的高斯曲率

史瓦西度規空間的高斯曲率

史瓦西度規空間的高斯曲率

史瓦西度規空間的高斯曲率

史瓦西度規空間的高斯曲率

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