中国农业银行湖南祁阳支行 陈小刚      

         摘要：据说“五猴分桃问题”是一个首先由大物理学家狄拉克提出来的，中、外非常著名的趣味数学难题。研究这种类型题的简易计算方法曾困扰住了一些物理学家和数学家。李政道博士在中国科技大学讲学时也特意提到过此题，

    本文通过对该题目的分析,得到了“五猴分桃”题的简易计算方法:y=aⁿ-db/c,并进一步推导出了，能求解所有这种类型不定方程的通解公式：y=ka(a/m)^n-1－db/c和 y=[ka(a/m)^n-1－db]/c，公式有解或无解的条件,公式的解集及最小解，现将其发表如下，与大家共同分享。

    Summary: "Five monkey peach assignment problem", formerly known as "Sailor of the coconut," It is a well-known Chinese and foreign fun math puzzle. Studies find its simple calculation method has plagued a number of physicists and mathematicians. Dr. Li Zhengdao lectures at the Chinese, but also specifically mentioned the problem.
    The author, through the analysis of the problem, got to solve this kind of problem solving systems and formulas to make this mathematical problem has been half a century, to get a better solutio

 

     序：“五猴分桃问题”的前身是国外著名的“水手分椰子问题”,剧说，最早是由伟大物理学家狄拉克于1926年提出来的, 随后, 在经过美国数学科普大师马丁* 加德纳的介绍、推广后,该题得到了更为广泛的流传。1979年,“诺贝尔奖”获得者李政道博士, 在“中国科技大学少班”讲学时，特意提到此题。此后, 研究该题的简易计算方法，迅速风靡国内

    

曾对“水手分椰子(五猴分桃)”的广泛流传起过重要作用的, 著名现代数理逻辑学家怀德海, 对此题给出过一个答案为(-4)巧妙的特解。近几十年来, 在一些后来者的不断努力下，该问题的求解方法研究，也逐步的有了一些进展。但严格的来说：到目前为止所取得的成果，基本上还是局限于“五猴分桃”这一个具体题目上,离简便而又全面的求解所有这种类型的题目，还存在着较大的距离。

 

 1979年，受李政道博士的推广,本人有幸在月刊《中国青年》看到了“五猴分桃”一题，并用不定方程求得其解。随后演算推导出能解决这种类题型目的核心解题公式:y=aⁿ-db/c 。但直到前段时期才惊呀发现: 寻找“五猴分桃”类型题的简易计算方法，竟是一个有着较深背景的，国内、外已研讨了数十年的热门话题,而且至今仍未找到较好解决办法。于是本人通过继续对该问题的分析研究，进一步完善了该简易通解公式的求解体系，现发表与大家共同分享：

 

  一.五猴分桃类型题简易通解公式

 

 通解公式 (1), y=a(a/m)^n-1-db/c,   (用于b/c为正整数时)

 通解公式 (2), y=[ka(a/m)^n-1-db]/c,(用于b/c不为正整数时)

 其中:                   

 y ── 被分的的某物的总数（这里是总桃子数）

 n ── 总共要分配的次数

 a ── 每次分配的份数d+c=a,

 b ── 每次分配a份后的余数.

 c ── 每次分配a份后、拿走的其中的份数,

 d ── 每次分配a份拿走c份后,剩下再分的份数.

 m —— 是a和d共有的、包括m=1在内的最大公约数

 k ——  公式(2)中的、能使y值为整数的参数

 注：

 （a）在上试公式中，按照这种类型题题意的要求；y、a、b、c、d、n、m、都为正整数,且n大于等于2，(反之无意义）

 （b）对于公式(1)，若b/c为正整数,则通解公必定会有解。若b/c不是一个正整数,则用通解公式(2)求解,
    (c）对于公式(2)，若b/m为正整数,则通解公必定会有解。若b/m不是一个正整数,则通解公式(2)无解。,
    （d）通解公式（2）中的k，可通过求k公式:  k=(fc+b)(m/d)^n-1而得到, (试中k大于等于1, f 是能使k取整的自然数, 在一般情况下, k会小于=c),然后再将k值代进公式2, 便可很容易的直接得到解。

 

  对于五猴分桃这一题目，由于它的m为1，c也为1，a和d的最大公约数也为1，那么上述通解公式就可直接写成简易形式，y=aⁿ-d 的这种非常简单的形式，具体的计算也就变成了: 桃子个数：y=5⁵-4=3121个

 

 

 二，通解公式的推导及论证

   1，推导公式例题“九猴分桃”

  由于“五猴分桃”在本人推导出的“通解公式”里，已成了一个很简单的计算题目，不足以说明公式对这种类型题目的,全方位的通解能力；故加大该题目难度和复杂性，改成“九猴分桃”，其题如下：

 话说某天有9只猴子忙了一整天，采摘了一堆很大的桃子后，都因太疲劳而睡着了。晚上某只猴子先悄悄的起床, 将桃子分成9份，结果发现多了8个桃子于是它吃掉这8个桃子，并贪心的拿走了9份中的2份，然后把剩下的桃子混在一起放回原处后，悄悄的回去睡觉了。

 过了一会儿，另一只猴子也悄悄的起床，将剩下的桃子也分成9份, 结果也刚好多余8个桃子；它也吃掉了这8个桃子，然后也藏了9份中的2份，把剩下的桃子混在一起，也悄悄滴回去睡觉了。 

 又过了一会儿，第三只猴子.也是如上分桃和吃桃

  又过了一会儿，第四只猴子 ...... 

  ......

 又过了一会儿，第四只猴子 ...... 

  ......

 当第7只猴子也像前面的6只猴只一样，把桃子也分成了9份, 得意的吃着多余的8个

 桃子时,这时突然有几只老虎吼叫而来，吓得9只猴子连蹦带窜，落荒而逃。现在，请问各位，这堆桃子最少共有多少个,

 

  2，通解公式推导及论证
    推导方法一 

 设: 被分的桃子数总共为y个，每次分的总份数为a, 余数为 b.每次分a份后拿走的为c份，剩下再分的份数为b ，总共分的次数为n次，最后一个人分a份时的每份为x（x为正整数）

 那么, 最后一个分到桃子的猴子,看到的桃子数是 ：ax+b

 上一个猴子看到的桃子数则为 ：(xa+b)a/d+b=a²x/d+ba/d+b。

 再上一个猴子看到的桃子数为 ：

 (a²x/d+ab/d+b)a/d+b=a³x/d²+b(a/d)²+b(a/d)+b。  

 同样：再上一个猴子看到的桃子数为：a⁴x/d³+b(a/d)³+b(a/d)²+b(a/d)+b。 

 也同样有，最初一个猴子看到的桃子数y为：

 a⁷x/d⁶+[(a/d)⁶+(a/d)⁵+(a/d)⁴+(a/d)³+(a/d)²+(a/d)+1]b。

 根据等比数例递推公式并加以整理有：       

 y={aⁿx+{a^n-1[1-(d/a)ⁿ]/(1-d/a)}b}/d^n-1 

  ={aⁿx+{a^n-1[1-(d/a)ⁿ]}ba/c}/d^n-1

  =[aⁿx+(a^n-1-a^n-1dⁿ/aⁿ)ad/c]/d^n-1 

  =[aⁿx+(aⁿ-dⁿ)b/c]/d^n-1

  =(aⁿx+aⁿb/c-dⁿb/c)/d^n-1 

  =(aⁿx+aⁿb/c)/d^n-1-db/c

 y=aⁿ(x+b/c)/d^n-1-db/c

 从而得到这样一个求解的基础方程,并由此可申引出、二个姊妹通解公式, 现分别说明如下:

 

（1）当上式中的a(a/d)^n-1部分, 若(a/d)无公约数时,则aⁿ与d^n-1互质, 故上式可进一步写成：y=aⁿ[(x+b/c)/d^n-1]-db/c

 从上式可看出：根据题意d^n-1必然是正整数,当(b/c)也为正整数,则(x+b/c)/d^n-1 必可取得最小自然数1, 或1 的任意整倍数,即y=kaⁿ－db/c故(b/c)为正整数时,公式必定有解通常在计算时为了简便，k一般取最小自然数1, 则上述方程可简写成，简易公式：y=aⁿ－db/c,但是得到的这个公式不一定是最小解。

 

 （2）若出现a和d有公约数这种情况时，此时y值，还会有比公式，y=aⁿ－db/c更小的解，

  现在我们接着 y=aⁿ(x+b/c)/d^n-1-db/c，这一步继续求证，设m为a和d的最大公约数，则有：

 y＝a[(a/m)/(d/m)]^n-1(x+b/c)-db/c

  ＝a(a/m)^n-1(x+b/c)/(d/m)^n-1-db/c。

  根据上面第一种情况后面的同样道理，可得到最小解公式：y=a(a/m)^n-1－db/c，即公式1，

  这里需要十分注意的是：得到这个公式1的前提是:b/c是一个整数，否则就不能推导出这个公式，故如果若db/c能取得整数，而至使公式能取得某个整数，但这个整数仍不能成为公式的解，只有当b/c是一个整数的时候，公式所得到的整数解，才是公式的最小解）

  

 (3),若b/c不为正整数,则可用通解公式；y=[ka(a/m)^n-1－db]/c.(公式2），来求解,其公式推导如下:

 方法一, 对于基础方程: y=ka(a/m)^n-1(x+b/c)/(d/m)^n-1-db/c。,可将其中的 "a(a/m)^n-1(x+b/c)/(d/m)^n-1" 部分的分子和分母,同时剩以c,得到y=ka(a/m)^n-1(x+b/c)c/c(d/m)^n-1-db/c,记为h, 如果使(x＋b/c)c=k(d/m)^n-1 部份是一个正整数(k为正整数)，这样式h便可简化成：y=ka(a/m)^n-1/c-db/c,并进一步得到;y=[ka(a/m)^n-1-db]/c.(即通解公式2)

  

 (4)关于公式2,求k公式的推导; 对于上面（3）点中得到的y＝[ka(a/m)^n-1(x+b/c)c]/c(d/m)^n-1-db/c这一等式，对于其中的“(x+b/c)c/c(d/m)^n-1”部分，由于我们已经知道公式（2）中的b/c已不是一个整数，故我们设(x+b/c)c/c(d/m)^n-1＝k（k为某整数），则有x=[k(d/m)^n-1-b]/c, 进一步得到：cx+b=k(d/m)^n-1，继儿有k=cx+b/(d/m)^n-1，最后可得到: k=(fc+b)(m/d)^n-1 (k为正整数，f为能使k取整数的自然数，它实质上是分n次后，最后看到的每份的个数) 。  

  同样的的道理，只有当公式中的b/m是一个整数时，才能找到使公式二能得到整数解的k，否则找不到能使公式二为整数的解的正整数k．

 

  有了这个已得到通解公式,a(a/m)^n-1-db/c 以及对推导过程关健点的分析,我们便能很容易的得到; 通解公式推导方法二和推导方法三。

 

  推导方法二

 设: 第一次分配时,拿走数量为：(y-b)c/a；   

 剩下再分配的数量则为：(y-b)d/a。

 第二次分配时拿走数量为;{[(y-b)c/a]-b}c/a； 

 则剩下再分配的数量为:[(y-b)d/a-b]d/a=(y-b)(d/a²)-bd/a。

 同样有: 第三次,剩下再分配的数量为：(y-b)(d/a/)³-b(d/a)²-bd/a，

 第四次,剩下再分配的数量为：(y-b)(d/a/)⁴-b(d/a)³- b(d/a)²-bd/a，

 然后依次往后推 …… 最后可得到：第七次剩下再分配每份的数量为：

  x=[(y-b)(d/a)⁶-b(d/a)⁵-b(d/a)4-b(d/a)3- b(d/a)2-b(d/a)-b]/a

  yd⁶/a⁷-x=[(d/a)6+(d/a)5+(d/a)4+(d/a)3+(d/a)2+(d/a)+1]b/a 

  根据数列递推公式并整理后有:  

  x=ydn-1/an-{1[1-(d/a)n]/(1-d/a)}b/a                            

     x=ydn-1/an-[1-(d/a)n]b/c 

     x=ydn-1/an-b/c-bdn/can

     x=dn-1/an(y-bd/c)-d/c                 

     同样得到基本方程:y=aⁿ(x+b/c)/d^n-1-db/c,  

 这个推导(二)虽然比推导(一)要简单，但最后两步有具很大的跳跃性，且又不符合推导这类题型的正常思维，故很难想到。只是由于我们已经看到,目前的公式形态已非常接近目标公式y=a(a/m)^n-1－db/c 形态,于是我们才会想到可以这样去推导。

 后面的公式演算,与推导方法一相同,即接着y=a(a/m)^n-1(x+b/c)/(d/m)^n-1-db/c。这部分继续推算，最后也可得到简易通解公式：y=a(a/m)^n-1-db/c和 y=[ka(a/m)^n-1-db]/c。

 

 推导方法三 

 设：第7次分桃子的猴子看到的桃子数为：ax+b ,(x为,最后一次分a份时每份的个数) 。

  第6次分桃子的猴子看到的桃子数为：(ax+b)a/d+b=a²x/d+ba/d+b。  

  同样有，第5次分桃子的猴子看到的桃子数为：

  (a²x/d+ab/d+b)a/d+b=a³x/d²+b(a/d)²+ba/d+b。   

  然后，再一路往后推，可得第一次分桃子的猴子看到的桃子数为：

  y=a⁷x/d⁶+[(a/d)⁶+(a/d)⁵+(a/d)⁴+(a/d)³+(a/d)²+(a/d)+1]b,

  中括号内是一个公比为(a/d)的等比数例,根据等比数例递推公式有：

  y=aⁿx/d^n-1+{(a/d)^n-1[1-(d/a)ⁿ/(1-d/a)]}/b

  =aⁿx/d^n-1+[(a/d)^n-1-d/a]ab/c

  =aⁿx/d^n-1+baⁿ/cd^n-1-db/c

  =(x+b/c)aⁿ/d^n-1-db/c

  y=aⁿ(x+b/c)/d^n-1-db/c，

 这里跟据推导方法一，也同样可得到通解公式一：y=a(a/m)^n-1-db/c和通解公式二, y=[a(a/m)^n-1-db]/c

     三，后记

   本文在解决“五猴分桃问题”简易计算方法这个问题上，跳出了单个、局部考虑问题的思路, 从这个问题的分的规律来寻找整体解决方案，得到了简易通解公式(1):y=a(a/m)^n-1－db/c。和它的姊妹公式(2):y=[ka(a/m)^n-1－db]/c。在通解公式里，　

  1，由于a和n可为任意数,且其它影响计算结果的因素又都可以是变量; 因此 这个公式穷极了,求解这类问题的深度和广度。

　2、各个变量基本上都没有相关的系数计算，且除变量a以外，其它的变量都是单独出现,,另外公式有解无解的条件也简单明了，因此这个通解公式应又是求解这种类型题的最简计算公式。 　

  3、通解公式所得到的解，又是符合这类题目要求最小解的要求，因此可以说，这个提出来已半个多世纪的数学问题 ，已经得到较好的解决 。

 

                                   通解公式核心公式首次发表日期 2012-4-21

                                   通解公式第三次修改后发表日期 2014-1-26