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[转载]点击高考关于平面向量的考查 --蔡兰芳

(2013-04-16 06:03:50)
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分类: 高中数学

点击高考关于平面向量的考查

蔡兰芳

广东省深圳市南头中学 518052

注:工作室学员蔡兰芳的这篇论文发表在《广东教育》高中版2012年第11期上

备考引航:

 

理科(题号及考查知识点)

文科(题号及考查知识点)

2008年

8(与平面几何交汇)

3(坐标线性运算)

2009年

10(坐标线性运算)

16(与三角函数交汇)

3(坐标线性运算)

16(与三角函数交汇)

2010年

10(坐标线性运算)

5(坐标线性运算)

2011年

3(坐标线性运算)

5(与线性规划交汇)

3(坐标线性运算)

6(与线性规划交汇)

2012年

3(坐标线性运算)

8(新定义,向量数量积)

3(坐标线性运算)

10(新定义,向量数量积)

从近五年新课程高考对平面向量的考查情况来看,这部分内容大多考查平面向量的加减、数乘、数量积等坐标线性运算及其几何意义,有时会与平面几何、三角函数、解析几何等知识点相交汇,体现平面向量“数与形”的双重身份,题型主要是选择题和填空题,与三角函数和解析几何交汇往往在大题中,分值一般在5~10分,难度不大,属于中低档难度的题型.

上述表格以广东高考为例,其他省市相差不大。
考点扫描

考点1 平面向量的有关概念

(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的长度(或模).

(2)零向量:长度为0的向量叫做零向量,其方向是任意的.

(3)单位向量:长度等于1个单位的向量.

(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量,任一组平行向量都可以移到同一条直线上.

规定:0与任一向量平行.

(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量.

例1 给出下列命题:①若clip_image002,则clip_image004;②若A,B,C,D是不共线的四点,则clip_image006是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;③若clip_image008满足clip_image010clip_image012clip_image014同向,则clip_image016

④若clip_image012[1]clip_image014[1]clip_image014[2]clip_image021,则clip_image012[2]clip_image021[1]

其中正确命题的序号是 (请把正确命题的序号都填上).

解析:对①,若clip_image002[1],则clip_image012[3]clip_image014[3]不一定共线,故不能得出clip_image004[1];对②,根据向量相等的条件显然成立;对③,因为向量除了有大小还有方向,故向量是不能比较大小的,所以不对;因为clip_image027的方向是任意的,对任意向量clip_image012[4],都有clip_image027[1]clip_image012[5],所以在④中,令clip_image030则知该命题不对.

综上所述,只有②是正确的.

解题宝典:正确理解向量的概念与向量的模,零向量、单位向量、相等与相反向量、平行向量(也叫共线向量)等概念及其含义是解题的关键.相等向量是指大小相等,方向相同的向量;相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性;共线向量即为平行向量,它们均与起点无关;向量不能比较大小,但向量的模能比较大小.

现学现用1给出下列命题:

clip_image032clip_image034为实数,若clip_image032[1]aclip_image034[1]b,则ab共线;②若=,则ABCD为平行四边形;③若abbc,则ac;④clip_image032[2]a=0(clip_image032[3]为实数),则clip_image032[4]必为零.

其中正确命题的个数是( )

A.0 B.1 C.2 D.3

解析:选A.①错,当clip_image032[5]clip_image034[2]=0时,clip_image032[6]aclip_image034[3]b,此时,ab可以是任意向量.②错,因为=,则可能ABDC四点在一条直线上.③错.当a0时,不论clip_image032[7]为何值,clip_image032[8]a0.④错,若b0,则对不共线的向量ac,也有a00c,但ac不平行.

考点2 平面向量的线性运算
1.向量的加法和减法

(1)加法

①法则:服从三角形法则、平行四边形法则.

②运算性质:abba(交换律);(ab)+ca+(bc)(结合律);a00aa

(2)减法

①减法与加法互为逆运算;

②法则:服从三角形法则.

2.实数与向量的积

(1)长度与方向规定如下:

①|clip_image032[9]a|=|clip_image032[10]||a|;

②当clip_image032[11]>0时,clip_image032[12]aa的方向相同;当clip_image032[13]<0时,clip_image032[14]aa的方向相反;当clip_image032[15]=0时,clip_image032[16]a=0.

(2)运算律:设clip_image032[17]clip_image034[4]R,则:

clip_image036clip_image032[18](clip_image034[5]a)=(clip_image032[19]clip_image034[6])a;②(clip_image032[20]clip_image034[7])aclip_image032[21]aclip_image034[8]a;③clip_image032[22](ab)=clip_image032[23]aclip_image032[24]b

例2(2012年东北三校模拟)如图所示,若四边形ABCD是一个等腰梯形,ABDCMN分别是DCAB的中点,已知=a,=b,=c,试用abc表示= ,+= .

解析:∵=++,∴=-=-c

=-=-b,==a.∴=abc

+=+++=2=a-2bc

解题宝典:(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三条边间的相互关系,能熟练地找出图形中的相等向量,并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.

clip_image038(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是:①观察各向量的位置;②寻找相应的三角形或多边形;③运用法则找关系;④化简结果.

现学现用2 在△ABC中,=,DEBCAC于点EBC边上的中线AMDE于点N.设=a,=b,用ab表示向量、、、、、.

解析:⇒==b.=-=ba

由△ADE∽△ABC,得==(ba).

AM是△ABC的中线,DEBC,∴==(ba),=+=a

a+(ba)=(ab).

由⇒==( ab).

3 共线向量问题

两个向量共线定理:向量ba(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数clip_image032[25],使得bclip_image032[26]a

例3 设两个非零向量ab不共线.

(1)若=ab,=2a+8b,=3(ab).

求证:ABD三点共线;

(2)试确定实数k,使kabakb共线.

解析:(1)证明:∵=ab,=2a+8b,=3(ab),

∴=+=2a+8b+3(ab)=2a+8b+3a-3b=5(ab)=5

∴、共线,又∵它们有公共点B,∴ABD三点共线.

2)∵kabakb共线,∴存在实数λ,使kabλ(akb),

kabλaλkb.∴(kλ)a=(λk-1)b

ab是不共线的两个非零向量,∴kλλk-1=0,∴k2-1=0.∴k=±1

解题宝典:(1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意待定系数法的运用和方程思想.

(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.

现学现用3已知ab是不共线的向量,若=λ1ab,=aλ2b(λ1λ2R),则ABC三点共线的充要条件为( )

A.λ1λ2=-1 B.λ1λ2=1 C.λ1λ2-1=0 D.λ1λ2+1=1

解析:ABC三点共线⇔∥⇔λ1λ2-1×1=0⇔λ1λ2=1,故选C.

4 向量的坐标运算

(1)设a=(x1y1),b=(x2y2),则ab=(x1x2y1y2),ab=(x1x2y1y2),λa=(λx1λy1).

(2)已知A(x1y1),B(x2y2),则=(x2x1y2y1),即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去始点的坐标.

例4 已知A(1,-2),B(2,1),C(3,2),D(-2,3),则以,为一组基底来表示++=

解析:∵=(1,3),=(2,4),=(-3,5),=(-4,2),=(-5,1),

∴++=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8).

根据平面向量基本定理,必存在惟一实数对mn使得++=mn

∴(-12,8)=m(1,3)+n(2,4).∴得m=32,n=-22.

∴++=32-22.

解题宝典:利用平面向量基本定理而引入参数是解决向量问题的常用技巧,而方程(组)是求解工具,体现了向量坐标运算的优越性.特别需要注意:向量的一个方程相当于实数的两个方程,横坐标一个,纵坐标一个.

现学现用4 在△ABC中,点PBC上,且=2,点QAC的中点,若=(4,3),=(1,5),则等于( )

A.(-2,7) B.(-6,21) C.(2,-7) D.(6,-21)

解析:=3=3(2-)=6-3=(6,30)-(12,9)=(-6,21),故选B.

5 向量坐标运算的应用

平面向量共线的坐标表示:设a=(x1y1),b=(x2y2),其中b≠0,则ab共线⇔aλbx1y2x2y1=0.

例5 平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).

(1)若(akc)∥(2ba),求实数k

(2)设d=(xy)满足(dc)∥(ab)且|dc|=1,求d

解析:(1)∵(akc)∥(2ba),又akc=(3+4k2+k),2ba=(-5,2),

∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,∴k=-.

(2)∵dc=(x-4,y-1),ab=(2,4),又(dc)∥(ab)且|dc|=1,

∴, 解得或

d=(,)或d=(,).

解题宝典:向量平行的坐标公式实质是把向量问题转化为实数的运算问题.通过坐标公式建立参数的方程,通过解方程或方程组求得参数,充分体现了方程思想在向量中的应用.

现学现用5已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5)且=+t

(1)求点P在第二象限时,实数t的取值范围;

(2)四边形OABP能否为平行四边形?若能,求出相应的实数t;若不能,请说明理由.

解析:O(0,0),A(1,2),B(4,5),∴=(1,2),=(4-1,5-2)=(3,3).

(1)设P(xy),则=(xy),若点P在第二象限,则且(xy)=(1,2)+t(3,3),

∴,∴,∴-<t<-.

(2)因为=(1,2),=-=(3-3t3-3t),若四边形OABP为平行四边形,则=.∵,无解,∴四边形OABP不可能为平行四边形.

6 平面向量数量积的运算

(1)平面向量数量积的意义

ab是两个非零向量,它们的夹角为θ,则数|a|·|b|·cosθ叫做ab的数量积,记作a·b,即a·b=|a|·|b|·cosθ.规定0·a=0;当ab时,θ=90°,这时a·b=0.

a·b的几何意义

a·b等于a的长度|a|与ba的方向上的投影|b|cosθ的乘积.

2)向量数量积的性质

①如果e是单位向量,则a·ee·a=|a|cos〈ae〉.

aba·b=0且a·b=0⇒ab

a·a=|a|2,|a|=.

④cos〈ab〉=.

⑤|a·b||a||b|.

3)数量积的运算律

①交换律a·bb·a

②分配律(abca·cb·c

③对λRλ(a·b)=(λaba·(λb).

4)数量积的坐标运算

aclip_image040bclip_image042,则

① (1)a·bclip_image044

abclip_image044[1]=0.

③|a|=.

④cos〈ab〉=.

例6e1e2是夹角为的单位向量,且a=2e1e2b=-3e1+2e2,则a·b等于( )

A.1 B.-4 C.- D.

解析:依题意,e1·e2=|e1|·|e2|·cos=,

a·b=(2e1e2)·(-3e1+2e2)=-6|e1|2+2|e2|2e1·e2=-6+2+=-,选C.

解题宝典:熟练掌握向量数量积的定义与数量积的运算率是解决本题的关键.

clip_image046现学现用6 O是平面上一点,ABC是平面上不共线三点,动点P满足=+λ(+),当λ=时,·(+)的值为________.

解析:由=+λ(+),λ=,得=(+),即P为△ABCBC边的中点.∴+=0.∴·(+)=·0=0.

7 平面向量数量积的运用

(1)求向量的模与夹角

7 已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2ab)=61.

(1)求ab的夹角θ

(2)求|ab|和|ab|;

解析:(1)由(2a-3b)·(2ab)=4|a|2-4a·b-3|b|2=61及|a|=4,|b|=3,得a·b=-6,

∴cosθ===-,又θ∈[0°,180°],∴θ=120°.

(2)|ab|====,

同理,|ab|==.

解题宝典:解这类题关键是理顺思路,用对公式,避免出现一些不必要的错误.例如,计算|ab|时,利用(ab)2a2+2a·bb2得到的a·b是数量积|a||b|cosθ,而不是|a||b|.在△ABC中求角时,还应注意向量与的夹角并非三角形内角∠ABC

现学现用7nm是两个单位向量,其夹角是60°,求向量a=2mnb=2n-3m的夹角.

解析:由|m|=1,|n|=1,夹角为60°,得m·n=.

则有|a|=|2mn|===.

|b|===.

a·b=(2mn)·(2n-3m)=m·n-6m2+2n2=-,

ab的夹角为θ,则cosθ===-.又θ∈[0°,180°],故ab夹角为120°.

2)两平面向量的垂直与平行

例8clip_image048R,向量clip_image050clip_image052,则clip_image054clip_image056

解析:clip_image058clip_image060,由clip_image062clip_image064

解题宝典:以数量积为载体考查两向量垂直和平行是高考中经常出现的题型,完成手段是熟练运用向量垂直与平行的坐标运算公式.

现学现用8 已知A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),O为原点.

(1)若∥,求tanα的值;

(2)若⊥,求sin2α的值;

解析:(1)=(cosα,sinα),=(0,3)-(3,0)=(-3,3).

∵∥,∴3cosα+3sinα=0,即sinα+cosα=0,∴tanα=-1.

(2)=(cosα-3,sinα),=(cosα,sinα-3),

∵⊥,∴·=0,即(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=0,

∴1-3(cosα+sinα)=0,∴sinα+cosα=,两边平方得1+sin2α=,∴sin2α=-.

8 向量与三角函数的交汇

例9在△ABC中,角ABC所对的边分别为abc,设向量m=(sinA,cosB),n=(cosA,sinB).

(1)若mn,求角C

(2)若mnB=15°,a=+,求边c的大小.

解析:(1)由mn⇒sinAsinB-cosAcosB=0⇒cos(AB)=0,

因为0<AB<180°,所以AB=90°,C=180°-(AB)=90°.

(2)由mn⇒sinAcosA+sinBcosB=0⇒sin2A+sin2B=0,

已知B=15°,所以sin2A+sin30°=0,sin2A=-,

因为0<2A<360°-2B=330°,所以2A=210°,A=105°,

C=180°-15°-105°=60°.

根据正弦定理=⇒=⇒c=,

因为sin105°=sin(45°+60°)=,所以c==2.

解题宝典:与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型.解答此类问题,除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外,还应掌握三角恒等变换的相关知识.

现学现用9设函数f(x)=a·b,其中向量a=(2cosx,1),b=(cosxclip_image066sin2x),x∈R.

(Ⅰ)若f(x)=1-clip_image066[1]x∈[-clip_image069clip_image069[1]],求x

(Ⅱ)若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m,n)(|m|<clip_image072)平移后得到函数y=f(x)的图象,求实数m、n的值.

分析:利用向量的数量积,平移公式及三角函数的性质解决.

解:(Ⅰ)依题设,f(x)=2cos2x+clip_image066[2]sin2x=1+2sin(2x+clip_image075),由1+2sin(2x+clip_image075[1])=1-clip_image066[3],得sin(2x+clip_image075[2])=-clip_image080

∵-clip_image069[2]xclip_image069[3],∴-clip_image072[1]≤2x+clip_image075[3]clip_image085,∴2x+clip_image075[4]=-clip_image069[4],即x=-clip_image087

(Ⅱ)函数y=2sin2x的图象按向量c=(m,n)平移后得到函数y=2sin2(x-m)+n的图象,即函数y=f(x)的图象.由(Ⅰ)得f(x)=2sin2(x+clip_image089)+1.

∵|m|<clip_image072[2],∴m=-clip_image089[1],n=1为所求.

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