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揭秘量子密码、量子纠缠与量子隐形传态

(2016-08-18 21:07:38)
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杂谈

揭秘量子密码、量子纠缠与量子隐形传态


施郁

(复旦大学物理学系,上海 200433)


摘要 本文以光子的偏振态为例,对量子力学、量子态、量子密码、量子纠缠和量子隐形传态作简要通俗而又力求准确的介绍。首先通过与经典物理的对比,引进量子力学的基本思想和量子态的基本涵义。接着介绍量子密码的BB84量子密钥分配方案。然后介绍量子纠缠,强调它不违反相对论。 在此基础上,介绍了量子隐形传态,强调了经典通讯在这个过程中的必不可少。


关键词  量子力学; 量子态; 量子密码; 量子纠缠; 量子隐形传态

【注: 抱歉数学公式有点乱码,可忽略,亦可参见: 施郁科学网博客


量子信息指利用量子力学的基本原理进行信息处理,在最近一些年,得到了很多发展。量子信息包括量子通信、量子计算,等等。量子通信包括量子密码、量子隐形传态,等等。量子隐形传态和量子计算都基于量子纠缠。量子纠缠是量子力学中的一个基本概念。本文对量子力学、量子态、量子密码、量子纠缠和量子隐形传态作简要通俗而又力求准确的介绍。


1. 揭秘量子力学与量子态



为了解释什么是量子力学,我们从经典物理说起。


经典物理包括以牛顿三大定律为核心的牛顿力学(或称经典力学),以及以麦克斯韦方程组为核心的经典电动力学(或称电磁学)。 对于速度接近光速,以及强引力场情况,还要考虑狭义及广义相对论,但是相对于量子力学而言,它们仍然属于经典物理的范畴。


在经典物理中,每个物理量,比如位置、动量、角动量、电场强度、电流,等等,在每个时刻都有明确的取值,都是一个客观实在。而它们随时间变化的情况就是动力学,由牛顿力学及经典电动力学的基本定律决定。只要知道某个时刻的物理量的值,就可以从动力学得到其它任意时刻的取值。 因此本质上经典物理是决定论的。


经典物理里也有几率,或称概率。但这是一种粗粒化描述。在不了解或者无法控制细节时,考虑各种可能性,从而得到几率分布。比如掷骰子。骰子的运动其实是一个决定论的过程,没有本质上的随机性。如果了解它的力学细节,比如质量分布、初始位置、方位、速度、整个下落过程中的受力情况等等,其实是可以预言最后哪一面朝上的。当然,在实际中一般做不到这一点。而对于各种细节情况作平均,就可以预言,如果投掷N次,其中每一面朝上的次数大约N/6次。也就是说,每一面朝上的几率大概是1/6。


经常有这样的情况,即细节描述不但不可能,而且没有必要,而几率描述更抓住问题的本质,比如一团气体在给定温度下,各种微观状态有一个几率分布,由此可以得到给定温度下的宏观性质,比如平均总能量、压强等等。这就是统计物理。基于经典力学的经典统计物理中的几率抓住了问题的本质,但这种几率和骰子类似,不是实质性的,也就是说,微观细节仍然是服从经典物理的决定论过程。


那么,什么样的几率是实质性的,也就是说背后没有决定论的过程?答案就是量子力学中的几率。量子力学的中心概念是量子态,而根据量子态,可以计算出各种几率分布。下面我们将了解到,量子态比几率分布的涵义还要多。


量子态不是一个物理量,而是一个描述。由此决定各相关物理量被测量后的各种取值的几率,从而可以计算出每个相关物理量的期望值,或称平均值。而一旦作了某个物理量的测量,就得到这些可能值中的一个。而量子态也相应地更新为一个新的量子态,在这个量子态上,刚测得的物理量取值的几率为1。


举一个例子。光有个性质叫偏振,代表了电场振动方向,它总是位于与传播方向垂直的平面上。如果偏振方向沿着这个平面上的一个特定方向,这种光就是线偏振光。如果偏振方向在这个平面上旋转,这种光就是圆偏振光。偏振性质不同的光可以混合成非偏振或者部分偏振光。而非偏振的自然光透过偏振片,可以产生偏振方向沿着透光轴的线偏振光。如果让线偏振光垂直入射一个偏振片,它透过的强度是原来强度的cos2θcos2⁡θ , 其中θθ 是光入射前的线偏振方向与偏振片透光轴方向的夹角。


光是由光子组成的,光子服从量子力学。现在让我们考虑单个的光子。 单个光子的偏振方向总是位于与动量正交的平面上。线偏振的光子透过偏振片的几率是cos2θcos2⁡θ 。


几率的涵义如下。如果有N个(N很大)偏振量子态都是|θ⟩|θ⟩ 的光子分别入射到这个偏振片上,也就是说,对于同样的量子态|θ⟩|θ⟩ ,重复NN 次相同的过程,那么有Ncos2θNcos2⁡θ 个光子透射过去。


但是对于每一个光子来说,无法预测它究竟能否透射过去,完全不能。所以我说量子力学的几率是实质性的。


量子力学有一套理论框架描述这些性质。 光子的偏振由一个量子态描述。我们可以把它记为|ψ⟩|ψ⟩ 。 它在数学上是一种矢量。


我们知道,空间中的矢量,比如位置,由几个坐标(或者叫分量)确定。任意一个矢量都可以分解为几个互相正交的基本矢量。它们平行或反平行于坐标轴,长度大小就是坐标的绝对值,方向由坐标的符号代表。它们称作基矢。与之类似,量子态这种矢量也可以分解为几个互相正交的基矢,它们称为基矢态。这里的矢量不是在我们所生活的空间,而是在一个抽象的数学空间里,称作矢量空间。它是这个量子系统的所有可能的量子态的集合,服从一定的运算规则。这些矢量的正交也有它的定义。


在我们生活的空间里,坐标的选择是任意的。与之类似,对于一个量子态来说,选择哪一套基矢态来展开或者分解也是任意的。但是为了计算某个测量的几率,选择与这个测量对应的基矢态比较方便。光子透过偏振片可以看作一个测量过程,如果偏振方向沿着偏振片的透光轴方向,就会穿透;而如果垂直于透光轴方向,就不能穿透。


为简单起见,我们考虑某个垂直入射偏振片的线偏振光子。假设在偏振片上定义一个xy平面,光子的线偏振沿着θθ 方向。我们将这个偏振量子态记作|θ⟩|θ⟩ 。


现在先假设偏振片的透光轴沿着x方向。为了计算光子透过偏振片的几率,可以把光子原来的量子态分解如下,

|θ⟩=cosθ|↔⟩ sinθ|↕⟩,


其中|↔⟩|↔⟩ 与|↕⟩|↕⟩ 互相正交,|↔⟩|↔⟩ 代表光子偏振方向沿着x方向,即目前偏振片的透光轴,|↕⟩|↕⟩ 代表光子偏振方向沿着y方向,即垂直于偏振片的透光轴。


光子入射偏振片,量子态变得非此基矢态即彼基矢态,要么变成|↔⟩|↔⟩ ,从而透过偏振片;要么变成|↕⟩|↕⟩ , 从而不能通过偏振片。 前者的几率是cos2θcos2⁡θ ,后者的几率是sin2θsin2⁡θ 。几率等于展开式(1)式右侧各基矢态前面的系数(通常称作展开系数)的模的平方。这是由量子态决定几率的基本规则。这些系数的模的平方之和等于1,因为各种可能的几率之和应该是1。 因此,光子穿透偏振片的几率是cos2θcos2⁡θ ,穿透后的量子态变为|↔⟩|↔⟩ 。


现在我们改变一下偏振片的方位,将它逆时针转动45o45o ,然后再将处于同样偏振量子态|θ⟩|θ⟩ 的光子入射。现在将光子的量子态|θ⟩|θ⟩ 作如下分解比较方便,

|θ⟩=cosθ′|↗⟩ sinθ′|↖⟩,


其中θ′=θ−45oθ′=θ−45o ,|↗⟩|↗⟩ 代表光子偏振方向沿着45o45o 方向,即目前偏振片的透光轴,|↖⟩|↖⟩ 代表光子偏振方向沿着135o135o 方向,即垂直于偏振片目前的透光轴。可以看出,对于目前的偏振片透光轴方向,光子穿透偏振片的几率是 cos2θ′cos2⁡θ′ , 穿透后的量子态成为 |↗⟩|↗⟩ 。


事实上, 式(1)也适用于|↗⟩|↗⟩ 和|↖⟩|↖⟩ , 分别对应于θ=45oθ=45o 和θ=135oθ=135o ,也就是说,

|↗⟩=1/√2(|↔⟩ |↕⟩),

|↖⟩=1/√2(−|↔⟩ |↕⟩).


反过来就是


|↔⟩|↕⟩==12√(|↗⟩−|↖⟩),12√(|↗⟩ |↖⟩).|↔⟩=12(|↗⟩−|↖⟩),|↕⟩=12(|↗⟩ |↖⟩).


后两式也可以分别通过将θ=45oθ=45o 和θ=135oθ=135o 带入(2)式得到。


也有复杂一点的测量方法,可以做到测量一个光子的偏振态而且不失去它。比如,借助于一个双折射晶体和两个偏振片,使得每个光子都能随机地从一个偏振片透射出来,非此即彼,每个偏振片分别对应于一个基矢态。下面所讨论的对偏振态的测量就是这样。为了简单起见,这里不赘述细节。


一般来说,一个量子态用基矢态展开,比如圆偏振态用线偏振基矢态展开,展开系数是复数。但是为简单起见,本文所用的例子中,展开系数都是实数。


对于不同的物理性质有不同的量子态。比如偏振是一个物理性质,动量是另一个物理性质。如果不同的物理性质之间没有耦合,相应的量子态也没有耦合,只需要考察相关的量子态。比如在上面这个例子里,关于光子的动量或者位置当然也有量子态,但是与我们关心的偏振现象没有关系,所以不去关心。


在测量之前,量子态随时间的演化是由一个动力学方程决定的,这个方程被称作薛定谔方程,因为历史上第一个例子(描写氢原子中的电子)是由薛定谔提出的。与相关物理性质有关的能量是一个常数时,相应的量子态在测量之前就不变。本文下面的讨论都属于这种情况。 在量子力学里,量子态、几率分布以及物理量的期望值都可以有决定论的动力学演化,但是这改变不了量子力学的几率本质,因为在每个量子态上,作一个物理量的测量,都有一个内在随机性。


什么情况下用经典物理,什么情况下必须用量子力学?它们的分界线在哪里?严格来说,这是一个没有完全解决的问题。对于具体的实际情况(for all practical purposes),一般能够判断,比如,一般来说,小分子层次以下的微观粒子必须要用量子力学,而我们周围的宏观物体服从经典物理。但是随着实验技术的进步,越来越大的物体表现出量子效应。所以有可能所有的物质本质上都服从量子力学,只是在环境的作用下,表观上显示出经典物理。但是也有可能量子力学的适用范围是有限的。笔者认为,按物理学目前的水平来说,这两种可能都是存在的。


2. 量子密码,巧妙在哪?


一个量子系统的基矢态的数目可能无限多,基矢态对应的物理量取值的分布是连续的,比如动量量子态,不同的动量就对应不同的基矢态,而动量是可以连续变化的。一个量子系统的基矢态数目也可能是有限的,基矢态所对应的物理量取值的分布是分立的, 比如我们这里讨论的偏振量子态。分立的情况适合用于信息处理,这就是量子信息。可以用一个双态系统(基矢态只有两个)的两个基矢态代表比特(二进制数)0 和1。 因为它们是量子态,所以它们代表的是量子比特,服从量子力学的规律。


量子信息包括若干方面。本章介绍量子密码。 密码的一个关键是密钥,比如一串比特,即每个数是二进制数0或1。发出信息的一方将信息转换为一串比特,然后将每个比特与密钥中的比特以二进制规则相加,而且每个比特保持一位,即逢2回到0。这就是加密。加密后的比特串发给接收信息的一方。其收到后再将每个比特分别与密钥中的比特相加并逢2回0(也就是相减,二者结果一样)。由此就得到原来的信息,这就是解密。量子密码的一个主要方法就是利用量子态产生密钥,这就是量子密钥分配。注意,最后得到的密钥本身仍然是经典的。


量子密钥分配的一个主要方案是由Bennett和Brassard在1984年提出的BB84方案。下面我用光子的偏振态解释。假设两个人A和B要确定一组共享的密钥。A先随机地用|↔⟩|↔⟩ 或者|↗⟩|↗⟩ 代表0,并随机地用|↕⟩|↕⟩ 或者|↘⟩|↘⟩ 代表1。A以此方法产生一批光子,发送给B。B对于每个光子测量其偏振态,每次测量又都是随机选择|↔⟩|↔⟩ 和|↕⟩|↕⟩ 这组基或者|↗⟩|↗⟩ 和|↘⟩|↘⟩ 这组基。然后A和B交流,对于每个光子的产生和测量,分别是用了哪组基,但不说明具体的态。他们的这个交流不需要保密,可以是公开的。然后将产生和测量用的基不一样的情况剔除,剩下的光子的偏振态在A发出和B测量后应该是一样的,而且别人不知道。


理想情况下,这些光子既然产生与测量的基一致,那么它们在B测量后的偏振态也就应该与在A 处产生时一样,除非被`` 窃听''过。假设某个光子曾在传输途中被E截留,E测量其偏振态,然后再发给B。这就是所谓`` 窃听''。E当时不知道该光子是通过哪组基产生的。假设他随机地选择这两组基之一来测量。如果E测量所用的基碰巧与光子在A处产生时的基一致(有1/2 几率是这样),那么E就会正确地测量得到光子的偏振态,而且未作改变,又发给了B。 这样,光子的偏振态就与没有被窃听的情况一样。B收到该光子后,如果用与A一样的基测量,得到的结果就与光子产生发出时的偏振态一样。E的窃听就不能被发现。但是如果E窃听时用的基与原来的不一样(有1/2 几率是这样),那么测量之后,光子偏振态就改变了,变成E测量所用的基上的两个基矢态之一。B 收到该光子后,如果用与A一样的基测量,那么其中只有1/2 几率得到的结果与产生时一样。另有1/2几率得到的结果与产生时的偏振态相正交,这就出错了。这些几率是从式(3)和(4)算出的。 因此总的来说,如果存在窃听,就会引起可观的错误率,在上述窃听方案下,引起的错误率是1/4。


举个更具体的例子。假设A产生一个偏振态|↔⟩|↔⟩ 的光子。被E截获,E在|↔⟩|↔⟩ 和|↕⟩|↕⟩ 这组基上测量。结果当然是|↔⟩|↔⟩ 。然后E将光子发出,被B收到。B选择了在|↔⟩|↔⟩ 和|↕⟩|↕⟩ 这组基上测量(所以后来这个光子在A和B 交流产生与测量时所用的基以后才会留下)。结果当然还是|↔⟩|↔⟩ ,情况与没有被E窃听的情况一样。但是如果E截留后,在|↗⟩|↗⟩ 和|↘⟩|↘⟩ 这组基上测量,结果要么是|↗⟩|↗⟩ ,要么是|↘⟩|↘⟩ 。测量后,发给B。B在|↔⟩|↔⟩ 和|↕⟩|↕⟩ 这组基上测量。不管光子偏振态在E测量后是|↗⟩|↗⟩ ,还是|↘⟩|↘⟩ ,B的测量结果中有1/2 几率是|↔⟩|↔⟩ ,1/2几率是|↕⟩|↕⟩ 。 总之,虽然B测量该光子所用的基与A产生它时一致, 但是有1/2 几率光子的偏振态与产生时不一样了。


因此A和B可以从产生与测量所用的基相同的光子中选择一部分来做抽查。将它们产生与测量的偏振态作比较。如果没有被窃听过,这些光子被B测量得到的结果应该与在A 出产生时一样。而如果被窃听过,其中有一些光子的偏振态就有变化。如果E每次窃听是完全随机选择这两套基中的一个,那么偏振态发生变化的光子占1/4。由此A和B可以判断出是不是存在窃听。


这个方案的保密性基于不同的基之间的不相容,即互为叠加态。


3. 量子纠缠违反相对论吗?


现在我们开始讨论量子纠缠。这是复合量子系统(由2个或以上的子系统构成)的量子态的性质。


我们还是用偏振态作为例子。 考虑两个光子a和b的偏振量子态, 记作 |ψ⟩ab|ψ⟩ab 。 下标代表这个态的载体。有一种可能是这两个光子a和b的偏振分别由一个量子态描述,也就是说,两者是互相独立的。这可以写成

|ψ⟩ab=|ϕ⟩a|ϕ⟩b.|ψ⟩ab=|ϕ⟩a|ϕ⟩b.


这种情况下,对a光子作任何测量或操作都不会影响b光子的量子态,二者相互独立。无论你将|ϕ⟩a|ϕ⟩a 或者|ϕ⟩b|ϕ⟩b 用什么样的一套基矢态分解,都改变不了|ψ⟩ab=|ϕ⟩a|ϕ⟩b|ψ⟩ab=|ϕ⟩a|ϕ⟩b 。 这样的量子态称作可分离态。


但是还有一种情况,每个光子的偏振没有独立的量子态,也就是说|ψ⟩ab|ψ⟩ab 不可能写成|ϕ⟩a|ϕ⟩b|ϕ⟩a|ϕ⟩b 的形式。 对于光子a的偏振,或者光子b的偏振,不管选择怎样的一套基矢态,|ψ⟩ab|ψ⟩ab 的展开式中总是至少有两项相加。这样的量子态称作量子纠缠态。比如,

|Φ ⟩=12√(|↔⟩|↔⟩ |↕⟩|↕⟩).|Φ ⟩=12(|↔⟩|↔⟩ |↕⟩|↕⟩).


这里左边是两个光子组成的复合系统的态,右边每一项中的两个态依次分别是两个光子a和b 的基矢态。每个态的载体省略未写,一方面是为了简洁,一方面也为了后面将这个表达式用于另外的光子。如果这两个光子都用|↗⟩|↗⟩ 和|↖⟩|↖⟩ 这组基,那么|Φ ⟩|Φ ⟩ 就改写为另一种形式


|Φ ⟩=12√(|↗⟩|↗⟩ |↖⟩|↖⟩).|Φ ⟩=12(|↗⟩|↗⟩ |↖⟩|↖⟩).


上两式代表的是同一个双光子态|Φ ⟩|Φ ⟩ 。


为了讨论方便,我们假设光子a被A所控制,光子b被B所控制。现在A测量a的偏振,假设偏振片的透光轴沿着x方向,那么根据上面|Φ ⟩|Φ ⟩ 的第一个表达式,可以知道有1/2 的几率测得它的偏振沿着x,测量之后其量子态变为|↔⟩|↔⟩ 。两项之和变为第一项,也就是说整个系统的态变为|↔⟩|↔⟩|↔⟩|↔⟩ 。 在这个态中,光子b 的态显然是 |↔⟩|↔⟩ 。另一方面,如果a的偏振测得是沿y方向, 也就是说它的量子态在测量之后变为|↕⟩|↕⟩ 。两项之和变为第二项,也就是说整个系统的态变为|↕⟩|↕⟩|↕⟩|↕⟩ ,在这个态中b的态是|↕⟩|↕⟩ 。因此,A通过对两个纠缠光子中一员a的偏振进行测量,可以预言另一个光子b的偏振。


这一点奇怪吗?其实经典几率中也有类似的情况。量子态是一种描述,经典几率也是一种描述。假设有一个容器里装着红色的球,另一个容器里装着蓝色的球,但是从外面看不出哪个容器装着什么颜色的球。现在随机选择一个容器,从中拿出两个球分别放在密封的盒子里,交给A和B。A和B只知道它们来自同一个容器,所以颜色一样,但不知道颜色究竟是什么。然后A和B 分别到相距很远的两地。在A打开盒子之前,她的球是红色和蓝色的几率各为1/2。 A 打开盒子,知道了她的球的颜色,所以也立即知道了B的球的颜色。 对此,没有人觉得奇怪。所以在这一点上,量子纠缠还不奇怪。


与之相比较,量子纠缠的不同或者说``奇怪''如下。这个不同来自量子态具有超越几率的涵义,而测量可以选择不同的基。A完全可以用另外一个基来测量光子a 的偏振态。比如可以用|↗⟩|↗⟩ 和|↖⟩|↖⟩ 这组基。那么将|Φ ⟩|Φ ⟩ 写成第二个表达式比较方便。 从中可以看出, A有1/2的几率测得光子a的偏振沿着45o45o 方向,也就是说,测量之后a的量子态变为|↗⟩|↗⟩ 。两项之和变为第一项,也就是说整个系统的态变为|↗⟩|↗⟩|↗⟩|↗⟩ 。 其中光子b的态是 |↗⟩|↗⟩ 。 另一方面,如果光子a的偏振测得是沿135o135o 方向, 也就是说它的量子态在测量之后变为|↖⟩|↖⟩ 。 两项之和变为第二项,也就是说整个系统的态变为|↖⟩|↖⟩|↖⟩|↖⟩ ,其中光子b的态是|↖⟩|↖⟩ 。


但是,这并不意味着违反相对论。虽然A通过对光子a的测量,确定或者说预言了光子b的偏振,但是如果A不把测量结果告知B,B是无法确认的。如果这时B测量光子b,结果确实与A的预言一致。但是,原来的纠缠态也预言了B是有1/2几率测量得到b的这个偏振态的,所以B无法觉察A作过测量。而如果A分别对处于同样的|Φ ⟩|Φ ⟩ 的N个光子对a和b作测量,N个a的测量结果是随机分布的,由此导致的A对b的态的预言也是随机分布的。对于光子b来说,两种情况,一个是在纠缠态|Φ ⟩|Φ ⟩ 下测量,一个是在a已经被A测量但是B不知道,多次测量的几率分布和相关物理量的平均值,结果是完全一样的,也就是说单靠B对于b的测量,是无法分辨的。 而如果A将测量a所得的结果告诉B,这个通讯过程就受到物理定律的限制,不能超过光速。对这一点的忽略使得很多人觉得量子纠缠很神秘。


我们再列举3个纠缠态的例子:

|Φ−⟩=12√(|↔⟩|↔⟩−|↕⟩|↕⟩).|Φ−⟩=12(|↔⟩|↔⟩−|↕⟩|↕⟩).


|Ψ ⟩=12√(|↔⟩|↕⟩ |↕⟩|↔⟩).|Ψ ⟩=12(|↔⟩|↕⟩ |↕⟩|↔⟩).


|Ψ−⟩=12√(|↔⟩|↕⟩−|↕⟩|↔⟩).|Ψ−⟩=12(|↔⟩|↕⟩−|↕⟩|↔⟩).


|Φ ⟩|Φ ⟩ 、 |Φ−⟩|Φ−⟩ 、 |Ψ ⟩|Ψ ⟩ 和|Ψ−⟩|Ψ−⟩ 这4个纠缠态的结构类似,有时统称贝尔(Bell)态,其中|Ψ−⟩|Ψ−⟩ 又称爱因斯坦-波多尔斯基-罗森- 玻姆(EPRB)态。它们都是最大纠缠态。上面与|Φ ⟩|Φ ⟩ 相比较的经典情形也适用于与|Φ−⟩|Φ−⟩ 作比较。而可以用来与|Ψ ⟩|Ψ ⟩ 和|Ψ−⟩|Ψ−⟩ 相比较的一个经典情形是一双手套(一左一右)分装在一个密封盒子里,被A和B随机拿走其中一只。A打开盒子知道自己的是哪一只之后,立即知道B处的手套是哪一只。而量子纠缠超越这一点,因为可以在另一个基上测量。


贝尔态也可以作为两光子偏振态的基矢态。将贝尔态的表达式反过来,可以得到

|↔⟩|↔⟩|↕⟩|↕⟩|↔⟩|↕⟩|↕⟩|↔⟩)====12√(|Φ ⟩ |Φ−⟩),12√(|Φ ⟩−|Φ−⟩),12√(|Ψ ⟩ |Ψ−⟩),12√(|Ψ ⟩ |Ψ−⟩).|↔⟩|↔⟩=12(|Φ ⟩ |Φ−⟩),|↕⟩|↕⟩=12(|Φ ⟩−|Φ−⟩),|↔⟩|↕⟩=12(|Ψ ⟩ |Ψ−⟩),|↕⟩|↔⟩)=12(|Ψ ⟩ |Ψ−⟩).


量子纠缠的特别之处是爱因斯坦、波多尔斯基和罗森首先发现的,然后薛定谔赋予量子纠缠这个名词,并指出``我不说这是量子力学的一个特征,而说这就是量子力学的特征,它导致了与经典思想的彻底偏离”。 关于爱因斯坦等人的观点以及后来的发展,笔者将另文评述。


4. 量子隐形传态


前文已指出,虽然纠缠的两个粒子中的一个被测量造成整个量子态发生变化,但是除非将测量结果通知另一方,这个变化不会被另一方所觉察。所以量子纠缠与相对论没有矛盾、和平共处。


而另一方面,如果借助经典通讯,就可以利用量子纠缠实现一些特殊的信息处理过程。量子隐形传态就是其中的典型。下面我们还是用光子偏振态来介绍。


在量子隐形传态中,除了一对处于最大纠缠态(比如|Φ ⟩|Φ ⟩ )的光子a 和b以外,还有一个单光子c,这个单光子c的偏振量子态|ψ⟩|ψ⟩ 可以是未知的。上面我们说过任意的量子态都可以用基矢态展开,所以|ψ⟩|ψ⟩ 总可以写成

|ψ⟩=α|↔⟩ β|↕⟩,|ψ⟩=α|↔⟩ β|↕⟩,


其中αα 和ββ 是展开系数,可以是未知的。处于纠缠态|Φ ⟩|Φ ⟩ 中的光子a 和b分别为A和B控制,A和B处于可以相距很远的两地,c也处于A处。隐形传态是将c的量子态传到光子b上,使得b的量子态变为|ψ⟩|ψ⟩ ,不再与a纠缠,而c和a则纠缠起来。过程如下。


一开始,3个光子的量子态是

|ψ⟩c|Φ ⟩ab=(α|↔⟩c β|↕⟩c)12√(|↔⟩a|↔⟩b |↕⟩a|↕⟩b).|ψ⟩c|Φ ⟩ab=(α|↔⟩c β|↕⟩c)12(|↔⟩a|↔⟩b |↕⟩a|↕⟩b).


将右边展开,也就是


|ψ⟩c|Φ ⟩ab=α2√|↔⟩c|↔⟩a|↔⟩b α2√|↔⟩c|↕⟩|↕⟩ β2√|↕⟩c|↔⟩a|↔⟩b β2√|↕⟩c|↕⟩a|↕⟩b.|ψ⟩c|Φ ⟩ab=α2|↔⟩c|↔⟩a|↔⟩b α2|↔⟩c|↕⟩|↕⟩ β2|↕⟩c|↔⟩a|↔⟩b β2|↕⟩c|↕⟩a|↕⟩b.


为了方便起见,现在我们对于c和a这两个光子用上一章最后所说的贝尔态作为基矢态展开。这3个光子的偏振态可以写为


|ψ⟩c|Φ ⟩ab=12|Φ ⟩ca(α|↔⟩ β|↕⟩)b 12|Φ−⟩ca(α|↔⟩−β|↕⟩)b 12|Ψ ⟩ca(α|↕⟩ β|↔↕⟩)b 12|Ψ−⟩ca(α|↕⟩−β|↔⟩)b.|ψ⟩c|Φ ⟩ab=12|Φ ⟩ca(α|↔⟩ β|↕⟩)b 12|Φ−⟩ca(α|↔⟩−β|↕⟩)b 12|Ψ ⟩ca(α|↕⟩ β|↔↕⟩)b 12|Ψ−⟩ca(α|↕⟩−β|↔⟩)b.


注意,到目前为止,物理上什么也没做,只是数学表达式的改写。


现在A对于她所掌握的c和a两个光子作一个贝尔测量,也就是一个以4个贝尔态为基矢态的测量,从而c 和a的量子态以各1/4的几率成为4个贝尔态中的一个,相应地,这3个光子的量子态成为上式的4项中的一项。


这是上一章所讲的2个纠缠光子中一方被测量的情况的推广。如果A不把测量结果通知B,B无法觉察b的任何变化。隐形传态的一个关键步骤是A告知B关于c和a的测量结果,即c和a的量子态变成了哪个贝尔态。这可以用通常的经典通讯手段。 B 从而就知道了b光子处于以下4个可能量子态中的哪一个:

α|↔⟩ β|↕⟩,α|↔⟩−β|↕⟩,α|↕⟩ β|↔⟩,α|↕⟩−β|↔⟩.α|↔⟩ β|↕⟩,α|↔⟩−β|↕⟩,α|↕⟩ β|↔⟩,α|↕⟩−β|↔⟩.


注意αα 和ββ 可以是未知的。但是不管αα 和ββ 是什么,这4 个态与最初c 的态|ψ⟩=α|↔⟩ β|↕⟩|ψ⟩=α|↔⟩ β|↕⟩ 的关系是普适的,即不依赖于αα 和ββ 。上列4 个可能的态中,从上到下,第一个态就是|ψ⟩|ψ⟩ ,第二个


态是将基矢态|↕⟩|↕⟩ 变为−|↕⟩−|↕⟩ ,第三个态是将|↔⟩|↔⟩ 与|↕⟩|↕⟩ 互换,第四个态是将基矢态|↔⟩|↔⟩ 变为|↕⟩|↕⟩ ,同时又将|↕⟩|↕⟩ 变为−|↔⟩−|↔⟩ (注意,这两个改变是同一操作对于不同基矢态的效果)。


所以得知A的测量结果后,B只要对b作相应的操作,总可以得到|ψ⟩|ψ⟩ 。 具体来说,如果c和a 的态成为
|Φ ⟩|Φ ⟩ , b的态就是|ψ⟩|ψ⟩ , 不需要作任何操作;如果c和a的态成为
|Φ−⟩|Φ−⟩ , 那么对b作使得|↕⟩|↕⟩ 变为−|↕⟩−|↕⟩ 的操作;如果c和a的态成为
|Ψ ⟩|Ψ ⟩ , 那么对b作将|↔⟩|↔⟩ 与|↕⟩|↕⟩ 互换的操作;如果c和a的态成为
|Ψ−⟩|Ψ−⟩ , 那么对b作将|↔⟩|↔⟩ 变为−|↕⟩−|↕⟩ ,同时又将|↕⟩|↕⟩ 变为|↔⟩|↔⟩ 的操作。这些操作可以通过光子b的动力学演化实现。


这样,就将量子态|ψ⟩|ψ⟩ 从光子c传到了光子b上。注意:(1)光子本身没有传送,是量子态被传送;(2)该量子态原来的载体c光子改载其它态,事实上它与a一起处于一个纠缠态;(3)经典通讯是关键。最后一点容易被人忽略而造成误解。






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