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数学的用处(二)

(2013-10-27 11:46:28)
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杂谈

那么怎么学数学才好呢?

首先,要抓住大节。在一篇文章中,所有的概念,推理,公式全是为了达成某个目的,因此先把目的搞清楚就是最重要的。每篇文章的摘要和引言就是为此所设,既能让读者快速筛选文章,又能引导读者思路。读者有了思路之后,大脑中相关的数据都已载入内存,再去看正文,匆匆两眼就可以知道大体框架是什么,哪些概念和公式是主要的,哪些是细节,然后集中精力把主要脉落理顺就好了。这样去看文章,又快又好。

站在这个立场上,我不是很赞同“先学好数学,研究才能做好”的观点。一切手段都是要为目的服务的。数学分支何其庞杂,全部读完不知道要花多少精力,而且在没有定下目标之前就钻进书本里,就不知主次,经常有误把细节当成重点的事情发生,可以说是浪费时间了。举个例子,开集和闭集的区分,在拓扑学中很重要,两个集合就差一个点,性质有天壤之别;但是如果目标是改善数值计算的算法,那其实这两者没太大区别。

我有时候想,为什么大家总是很讨厌数学,就是因为我们要硬教给学生各种开路造桥的技巧,却不告诉他们目标在何方。学生们当然纳闷,自己明明想当个编辑,开路造桥和我有啥关系?反过来,如果先明确了“让飞机飞起来”或是“让机器下棋更聪明”的目标,那么为了完成它,空气动力学或者是机器学习就成了自然而然的必修课,我们也不会抱怨复杂的概念和繁琐的推导,而是拼尽全力地去思考学到的哪些东西能让我们达成目标,这一路走去,乐趣也就多多了。

当然,如果有大把的时间可以消费,那不妨多看点,因为对一个领域了解深刻了,才能切实地感受到要在这个领域做科研,会是什么滋味,对将来的选题大有帮助。以我的经验,以前因为兴趣而看的数学书,虽然对具体的研究都没什么用,但却培养出了一种“这样的模型是对的,那样的模型一定什么地方有问题”的直感,等到哪天碰上了难题,说不定就突然从脑子里跳出来了。

其次,要留意技巧。在科研探索的漫长探险中,数学技巧就是赖以生存的武器库。做科研,大家都从同一个目的地出发,去向不同的地方。有人攀上万丈山崖,有人潜入万米深海,有人探险酷热火山,有人志在冰寒极地。不论去哪里都是极好的,但每一条路,都需要相应的技巧才能达到别人达不到的地方。而武器库里的武器越多,小方法小技巧越多,则面对难题和困境时可以采用的方式方法越多,就越有可能达到新的层次,发现新的事实。

形象地来说,我们从出发地远行,依稀看见远处的峰顶,虽然高耸入云令人生畏,但数学告诉我们如何巧妙铺路建桥搭梯子到达目的地,并且知道的越多,办法就越多;若是望见镜花水月,虽然近得似乎触手可及,但数学告诉我们人力不可为,不用浪费时间,提早绕过的好。做学术也是这样,很多事看起来容易,但做起来难,比如说像费马大定理这种形式简单的命题,几百年来无人能解,最后居然是高深的椭圆曲线论的推论;反之,有时候问题看起来无从下手,数学却给你一条巧妙的捷径战而胜之。比如两个凸函数相加是不是还是凸函数呢?直觉上每个函数有唯一一个全局最小值,加起来可能有两个局部极小值,似乎情况很复杂。但是严格证明告诉你,相加得到的函数还是凸函数,还只有一个全局最小值。这些,都是每一门学科里“反直觉”的典型体现,是学科发展中的精华,把这些关系记下来反复运用,就会突破简单直觉的疆界,产生新的更准确的直觉和更贴切的比喻,一些本来不清不楚的问题就可以看清了,本来需要绞尽脑汁才明白的情况,现在在更抽象而简练的概念下,囊括在几句话中了。

我在读博之前,写过“学数学的七个阶段”,现在拿过来看,在磨练技巧方面,还是很有借鉴意义的:

阶段一:看到满天的公式不知所云,甚至油然而生一种敬畏心理,崇拜能看懂能让文章里充满公式的人。
 
阶段二:跨过了一所带来的挫败感,开始自学数学。可是书海茫茫,不知从哪里开始,也不知道学了能做什么。正因为不了解,因此对概念名词有新鲜感和神秘感,本能地想要找题目高深的书来看,但是符号众多,晦涩难懂,马马虎虎翻过之后,似乎没觉得学到了什么。
 
阶段三:跨过了理解不能的漫漫长夜之后,终于某一天发现自己开始能看懂公式,能通过公式了解别人想表达的观点了。兴奋之情难以言表,然而过了两日又发现自己的理解有误,如此反复推敲。其间可能数次将以前的观点完全推翻,或者因为长时间不能理解而沮丧甚至放弃。
 
阶段四:在看过很多书和文章,及无数次的冥想苦想之后,自己的理解力终于达到了“只要花时间下去就基本理解不错”的境界,一些粗看高深的书,经过咀嚼后发现原来如此。此时可以说体会到了理解数学精妙的快乐,学数学也就入门了。
 
阶段五:在四的基础上,继续看书看文章。发现有些高深的东西在怪异的符号后面其实没说什么,或者说用一两句话就能简单概括。于是意识到精妙的内容不一定需要唬人的形式,新的概念后面未必有新的实质,数学真正的“心”可以完全抛却符号公式而仅用言语就能讲得清楚,而符号或者公式不过只是为了保证逻辑严密性和表达简洁性的必要工具。
 
阶段六:有了五的发现,茫茫书海,篇篇文章开始有了高下之分。与人谈论时指点江山,叹有新意者少而炒冷饭者多,至忘情处颇有狂妄自得之态。
 
阶段七:眼光放远,勤思精修,还是发现令人拍案叫绝的好东西在十年百年前,迥异的思想,惊人的技巧,九曲十折而豁然开朗,零敲碎打而结论自成,那是一种令人心折的美丽。经典的永远是经典,时间只会证明它们的价值而不是抹去它们的存在。至此,便生敬畏之心,反省自己,想想平生所学微末伎俩与之相比判若云泥,虚妄自负尽去,自卑也生。然而决然之心更胜于前,因为方才得窥至美至妙,又何能禁得住继续观赏的冲动呢?

一言以蔽之,就是不断看不断总结,留意别人用过的技巧和提过的方案,并且仔细收集体会,比较不同文章间的异同,然后收纳入自己的武器库里面。为了做这样的收集,时间跨度,领域跨度都可以很大。我个人很热衷这些,05年刚开始看论文的时候,无视文章的领域,不记得作者是谁,不关心实验结果,跳过前两页,直接钻进模型里看各种技巧并且乐在其中。之后渐渐明白了文章的主旨和背景更重要,但这一习惯仍然顽固难改,并且仍将继续顽固下去:-)

这是研究极有乐趣的地方之一。久而久之,别人的办法都逃不出自己的武器库,猜功就会越来越好,读文章也会越来越快,而自己想出来的东西,也就总是比别人更新更有趣一点,发文也就比较容易中稿。这时候就会发现,一味欣赏崇拜或是羡慕前人的工作不再重要,简单套用已有理论去解决问题也不再有趣,却津津乐道于在已有的数学大厦中裁裁剪剪,在收集好的武器库中左顾右盼,抛开花哨而无用的概念,拾取简单却关键的核心,然后重新煅造,回炉成型,为所从事的领域,打一套量身订做的,精致自洽的新框架,并从这个框架出发,提出自己的观点和想法。

这个,就是第八阶段。

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