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数学的用处(一)

(2013-10-21 06:25:05)
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杂谈

作为科学家的我们相信,世界是一个复杂但逻辑高度自洽的体系。但因为世界的复杂性,大部分简单直观逻辑都走不远,或不可靠。比如说,某地发生火灾,天气因素(A)更重要还是人为因素(B)更重要?对于这个问题,大部分人可能会下意识地猜一个答案,但更精确的答案可能既非A也非B,而是“夏天A重要,冬天B重要”(条件),或者是“A和B单独出现影响都不大,但是同时出现影响就很大”(相关),甚至是“A后于B出现则A重要,B后于A出现则B重要”(时序),更有可能是“A出现一次没影响,B出现一次就挺重要,但A出现很多次则成为主要因素”(频率)。如果一旦通过数据和理论分析,能得到这样精细的结果,那我们对世界的认识就又深了一层。反之,如果一个学科没有反直觉的结果,一切都顺理成章,一通到底,那它一定是还没有发展得太深入。

面对这样的任务,我们平常使用的自然语言就暴露出不足来了。首先是不够简洁,前面的例子读者可能已经注意到,每一次我们使用自然语言来描述天气(A)和人为(B)之间的关系,句子都非常长非常绕口。更严重更麻烦的问题,是自然语言有二义性,说风不是风,说雨不是雨。今天说风,是指空气流动,明天说风,指时尚流行,后天说风,指疾病伤痛。这种概念的不确定性在日常生活中比比皆是,甚至是想象力、创造力和幽默感的源头,却也会给研究带来麻烦。试想,若是同一符号指两个不同的概念,那同行间该如何交流?若是今天写下的词句和明天写下的意义不同,那如何重复别人的逻辑分析和实验?究其根源,是自然语言与环境的交互太过剧烈,一句话乃至一个字,不仅仅是表达字面意思,背后都承载着我们此时此地的所思所想和喜乐哀愁,乃至文字的历史和文化的传承。而做研究,可是要轻装上阵的。

与文字类似,比喻和插图也会有同样二义性的问题。虽说一图胜千言,但图毕竟是二维,图上画的也多半是日常物体,它所表达的含义,能有小半接近复杂世界的运转规律,那就是不错了。事实往往是:分析的理论很抽象,但日常生活太局限,找不到一个具体物品和它有百分之一百的完全对应,于是就只好东一块西一块,对理论的每部分做个局部的比喻,以让人有大致而正确的形象。但要说理论能用一两张图完全解释清楚,就不是每次都能做到的。

举个例子,说电流像水流,从高势能处流向低势能处,这个是对的,但是水流没有极性,电流的载流子却有极性。因此“水流说”不能解释电流在磁场中的霍尔效应。黑洞像吸尘器,能把周围的一切物质都吸进去,但黑洞还有霍金辐射,这个吸尘器说不能解释。一句话,形象的比喻能让听众抓住要点,但远远不是事实的全部。(当然或许有人说吸尘器也可以把吸起去的物质倒出来,但是和霍金辐射比,两者的机制是完全不同的,强要类比只会给人错误的印象。)

数学很好地解决了这两个问题。首先,每个数学符号本身毫无意义,它们的意义完全是它们所在的公式、定理及理论框架赋予的,这样不管读者是哪国人,受哪种教育,不管他的人生经历和社会经验,不管他的性格是外向开朗还是内向深沉,只要从头细细看起,就都能完全把握理论的所有成分,而不会导致误解的发生。其次,因为符号的意义明确,不同符号间的简单拼接就能表达复杂但明确的含义,因此书写简洁。相比之下,如果拿“金木水火土”充当一个理论体系中的数学符号,那因为它们在日常生活中有根深蒂固的含义,理论内外的界限就不一定会非常清楚,很多时候一不小心就会误读,思考也会被常识“绑架”而偏离正确方向,就达不成准确表达的目标了。

当然,数学对理论的发展还有更多作用,之后的几篇会一一陈述。

有了数学作靠山以后,很多文字及图片的二义性可以消除,而科学专著的作者们,也就可以任意使用漂亮形象但不太精确的图示,做有趣生动但不太准确的比喻了。正因为如此,这些用于让逻辑关系形象化的文字解释、比喻和插图,都是在特定理论下产生的,只能做特定的解读,导出特定的结果。脱开理论背景而孤立地看,就恢复其二义的本性,存在被天马行空地误读的危险,千万要小心。比如说“薛定谔的猫”仅仅只是用来说明“微观的量子叠加态的宏观对应非常不可思议”,但不能理解成”薛定谔的猫很牛“,“做猫就要做薛定谔的猫”之类。

理解了数学的功能和作用,做研究的时候拿它当“定船的铁锚”是再好不过了。在学习理解前人的工作时,先把文艺细胞和想象力创造力收起来,把自己变成一个完全没有创造思维的人,按照文献里展开的故事,一步一步地照着去推演,去理解。为了验证理解的准确性,问自己问题和做习题是一个很有效的办法,在这个环节中数学可以提供最为精细的反馈,指出哪里正确,哪里错误。一旦对这门学科的理解大体正确了,进入前沿研究阶段,创造力才可以涌入,运用该学科的基本原理,推陈出新。在这个时候,思维可以随意游走,做各种尝试,科学的直感可以在迷茫中点亮明灯,但只有它们经过了数学的考验,在逻辑上能和已有的理论自洽共处,在实验中和已有的数据相符,这块新大陆才真正是被征服了。

在做过若干次这样的探索后,才会体会到“世界是简单的”这句话的精神实质。所谓简单,是指在充分认识和体会到世界的复杂之后,突然发现了一些共通的原理,发现了一些有趣精巧的结构,而从心底发出的感叹,世界是简单的,但是是以一种常人想像不到的方式简单;问题被漂亮地解决了,但方式方法却在当初的意料之外。要是一开始把简单作为指导方针去看待世界,去研究问题分析问题的话,那我觉得是本末倒置了,只有在经历过各种烦人细节之后,才能知道主次取舍,知道怎么抓住主干而忽略其余,问题分析才能简明又透彻。

除了极少纯粹的空想最后实现的例子,在大部分情况下,不对问题有深刻理解,不规范想象力的产出,是不可能得到任何有意义的结果的。想象力就如很多只猴子踩打字机,可能每天踩几百页纸出来,但要让它们踩出一部好作品,概率微乎其微;如果是一个八岁的孩子,每次能打出一个完整的单词,那概率就会变大;更进一步,如果是一位作家在码字,那概率就已经高很多了。一句话,想像力越强,则成果越多(但未必有意义);基础知识越丰富思考越深入,成果越可信质量也越高,两个缺一不可。

爱因斯坦说“想象力比知识更重要”,那是站在他的水准上说的。

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