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[转]机器学习算法与Python实践之(七)逻辑回归(Logistic Regression)

(2015-01-21 16:52:14)
标签:

lr

logistic

regression

逻辑回归

python

分类: 数据挖掘

zouxy09@qq.comhttp://blog.csdn.net/zouxy09

       机器学习算法与Python实践这个系列主要是参考《机器学习实战》这本书。因为自己想学习Python,然后也想对一些机器学习算法加深下了解,所以就想通过Python来实现几个比较常用的机器学习算法。恰好遇见这本同样定位的书籍,所以就参考这本书的过程来学习了。

       这节学习的是逻辑回归(Logistic Regression),也算进入了比较正统的机器学习算法。啥叫正统呢?我概念里面机器学习算法一般是这样一个步骤:

1)对于一个问题,我们用数学语言来描述它,然后建立一个模型,例如回归模型或者分类模型等来描述这个问题;

2)通过最大似然、最大后验概率或者最小化分类误差等等建立模型的代价函数,也就是一个最优化问题。找到最优化问题的解,也就是能拟合我们的数据的最好的模型参数;

3)然后我们需要求解这个代价函数,找到最优解。这求解也就分很多种情况了:

      a)如果这个优化函数存在解析解。例如我们求最值一般是对代价函数求导,找到导数为0的点,也就是最大值或者最小值的地方了。如果代价函数能简单求导,并且求导后为0的式子存在解析解,那么我们就可以直接得到最优的参数了。

      b)如果式子很难求导,例如函数里面存在隐含的变量或者变量相互间存在耦合,也就互相依赖的情况。或者求导后式子得不到解释解,例如未知参数的个数大于已知方程组的个数等。这时候我们就需要借助迭代算法来一步一步找到最有解了。迭代是个很神奇的东西,它将远大的目标(也就是找到最优的解,例如爬上山顶)记在心上,然后给自己定个短期目标(也就是每走一步,就离远大的目标更近一点),脚踏实地,心无旁贷,像个蜗牛一样,一步一步往上爬,支撑它的唯一信念是:只要我每一步都爬高一点,那么积跬步,肯定能达到自己人生的巅峰,尽享山登绝顶我为峰的豪迈与忘我。

       另外需要考虑的情况是,如果代价函数是凸函数,那么就存在全局最优解,方圆五百里就只有一个山峰,那命中注定了,它就是你要找的唯一了。但如果是非凸的,那么就会有很多局部最优的解,有一望无际的山峰,人的视野是伟大的也是渺小的,你不知道哪个山峰才是最高的,可能你会被命运作弄,很无辜的陷入一个局部最优里面,坐井观天,以为自己找到的就是最好的。没想到山外有山,人外有人,光芒总在未知的远处默默绽放。但也许命运眷恋善良的你,带给你的总是最好的归宿。也有很多不信命的人,觉得人定胜天的人,誓要找到最好的,否则不会罢休,永不向命运妥协,除非自己有一天累了,倒下了,也要靠剩下的一口气,迈出一口气能支撑的路程。好悲凉啊……哈哈。

        呃,不知道扯那去了,也不知道自己说的有没有错,有错的话请大家不吝指正。那下面就进入正题吧。正如上面所述,逻辑回归就是这样的一个过程:面对一个回归或者分类问题,建立代价函数,然后通过优化方法迭代求解出最优的模型参数,然后测试验证我们这个求解的模型的好坏,冥冥人海,滚滚红尘,我们是否找到了最适合的那个她。

一、逻辑回归(LogisticRegression)

       Logistic regression (逻辑回归)是当前业界比较常用的机器学习方法,用于估计某种事物的可能性。之前在经典之作《数学之美》中也看到了它用于广告预测,也就是根据某广告被用户点击的可能性,把最可能被用户点击的广告摆在用户能看到的地方,然后叫他“你点我啊!”用户点了,你就有钱收了。这就是为什么我们的电脑现在广告泛滥的原因了。

       还有类似的某用户购买某商品的可能性,某病人患有某种疾病的可能性啊等等。这个世界是随机的(当然了,人为的确定性系统除外,但也有可能有噪声或产生错误的结果,只是这个错误发生的可能性太小了,小到千万年不遇,小到忽略不计而已),所以万物的发生都可以用可能性或者几率(Odds)来表达。“几率”指的是某事物发生的可能性与不发生的可能性的比值。

       Logistic regression可以用来回归,也可以用来分类,主要是二分类。还记得上几节讲的支持向量机SVM吗?它就是个二分类的例如,它可以将两个不同类别的样本给分开,思想是找到最能区分它们的那个分类超平面。但当你给一个新的样本给它,它能够给你的只有一个答案,你这个样本是正类还是负类。例如你问SVM,某个女生是否喜欢你,它只会回答你喜欢或者不喜欢。这对我们来说,显得太粗鲁了,要不希望,要不绝望,这都不利于身心健康。那如果它可以告诉我,她很喜欢、有一点喜欢、不怎么喜欢或者一点都不喜欢,你想都不用想了等等,告诉你她有49%的几率喜欢你,总比直接说她不喜欢你,来得温柔。而且还提供了额外的信息,她来到你的身边你有多少希望,你得再努力多少倍,知己知彼百战百胜,哈哈。Logistic regression就是这么温柔的,它给我们提供的就是你的这个样本属于正类的可能性是多少。

       还得来点数学。(更多的理解,请参阅参考文献)假设我们的样本是{x, y},y是0或者1,表示正类或者负类,x是我们的m维的样本特征向量。那么这个样本x属于正类,也就是y=1的“概率”可以通过下面的逻辑函数来表示:

       这里θ是模型参数,也就是回归系数,σ是sigmoid函数。实际上这个函数是由下面的对数几率(也就是x属于正类的可能性和负类的可能性的比值的对数)变换得到的:

       换句话说,y也就是我们关系的变量,例如她喜不喜欢你,与多个自变量(因素)有关,例如你人品怎样、车子是两个轮的还是四个轮的、长得胜过潘安还是和犀利哥有得一拼、有千尺豪宅还是三寸茅庐等等,我们把这些因素表示为x1, x2,…, xm。那这个女的怎样考量这些因素呢?最快的方式就是把这些因素的得分都加起来,最后得到的和越大,就表示越喜欢。但每个人心里其实都有一杆称,每个人考虑的因素不同,萝卜青菜,各有所爱嘛。例如这个女生更看中你的人品,人品的权值是0.6,不看重你有没有钱,没钱了一起努力奋斗,那么有没有钱的权值是0.001等等。我们将这些对应x1, x2,…, xm的权值叫做回归系数,表达为θ1, θ2,…, θm。他们的加权和就是你的总得分了。请选择你的心仪男生,非诚勿扰!哈哈。

       所以说上面的logistic回归就是一个线性分类模型,它与线性回归的不同点在于:为了将线性回归输出的很大范围的数,例如从负无穷到正无穷,压缩到0和1之间,这样的输出值表达为“可能性”才能说服广大民众。当然了,把大值压缩到这个范围还有个很好的好处,就是可以消除特别冒尖的变量的影响(不知道理解的是否正确)。而实现这个伟大的功能其实就只需要平凡一举,也就是在输出加一个logistic函数。另外,对于二分类来说,可以简单的认为:如果样本x属于正类的概率大于0.5,那么就判定它是正类,否则就是负类。实际上,SVM的类概率就是样本到边界的距离,这个活实际上就让logistic regression给干了。

       所以说,LogisticRegression 就是一个被logistic方程归一化后的线性回归,仅此而已。

好了,关于LR的八卦就聊到这。归入到正统的机器学习框架下,模型选好了,只是模型的参数θ还是未知的,我们需要用我们收集到的数据来训练求解得到它。那我们下一步要做的事情就是建立代价函数了。

       LogisticRegression最基本的学习算法是最大似然。啥叫最大似然,可以看看我的另一篇博文“从最大似然到EM算法浅解”。

       假设我们有n个独立的训练样本{(x1, y1) ,(x2, y2),…, (xn, yn)},y={0, 1}。那每一个观察到的样本(xi, yi)出现的概率是:


       上面为什么是这样呢?当y=1的时候,后面那一项是不是没有了,那就只剩下x属于1类的概率,当y=0的时候,第一项是不是没有了,那就只剩下后面那个x属于0的概率(1减去x属于1的概率)。所以不管y是0还是1,上面得到的数,都是(x, y)出现的概率。那我们的整个样本集,也就是n个独立的样本出现的似然函数为(因为每个样本都是独立的,所以n个样本出现的概率就是他们各自出现的概率相乘):

       那最大似然法就是求模型中使得似然函数最大的系数取值θ*。这个最大似然就是我们的代价函数(cost function)了。

       OK,那代价函数有了,我们下一步要做的就是优化求解了。我们先尝试对上面的代价函数求导,看导数为0的时候可不可以解出来,也就是有没有解析解,有这个解的时候,就皆大欢喜了,一步到位。如果没有就需要通过迭代了,耗时耗力。

       我们先变换下L(θ):取自然对数,然后化简(不要看到一堆公式就害怕哦,很简单的哦,只需要耐心一点点,自己动手推推就知道了。注:有xi的时候,表示它是第i个样本,下面没有做区分了,相信你的眼睛是雪亮的),得到:

       这时候,用L(θ)对θ求导,得到:


       然后我们令该导数为0,你会很失望的发现,它无法解析求解。不信你就去尝试一下。所以没办法了,只能借助高大上的迭代来搞定了。这里选用了经典的梯度下降算法。

二、优化求解

2.1、梯度下降(gradient descent)

        Gradient descent 又叫 steepest descent,是利用一阶的梯度信息找到函数局部最优解的一种方法,也是机器学习里面最简单最常用的一种优化方法。它的思想很简单,和我开篇说的那样,要找最小值,我只需要每一步都往下走(也就是每一步都可以让代价函数小一点),然后不断的走,那肯定能走到最小值的地方,例如下图所示:

      但,我同时也需要更快的到达最小值啊,怎么办呢?我们需要每一步都找下坡最快的地方,也就是每一步我走某个方向,都比走其他方法,要离最小值更近。而这个下坡最快的方向,就是梯度的负方向了。

对logistic Regression来说,梯度下降算法新鲜出炉,如下:


      其中,参数α叫学习率,就是每一步走多远,这个参数蛮关键的。如果设置的太多,那么很容易就在最优值附加徘徊,因为你步伐太大了。例如要从广州到上海,但是你的一步的距离就是广州到北京那么远,没有半步的说法,自己能迈那么大步,是幸运呢?还是不幸呢?事物总有两面性嘛,它带来的好处是能很快的从远离最优值的地方回到最优值附近,只是在最优值附近的时候,它有心无力了。但如果设置的太小,那收敛速度就太慢了,向蜗牛一样,虽然会落在最优的点,但是这速度如果是猴年马月,我们也没这耐心啊。所以有的改进就是在这个学习率这个地方下刀子的。我开始迭代是,学习率大,慢慢的接近最优值的时候,我的学习率变小就可以了。所谓采两者之精华啊!这个优化具体见2.3 。

       梯度下降算法的伪代码如下:

################################################

初始化回归系数为1

重复下面步骤直到收敛{

        计算整个数据集的梯度

        使用alpha x gradient来更新回归系数

}

返回回归系数值

################################################

      注:因为本文中是求解的Logit回归的代价函数是似然函数,需要最大化似然函数。所以我们要用的是梯度上升算法。但因为其和梯度下降的原理是一样的,只是一个是找最大值,一个是找最小值。找最大值的方向就是梯度的方向,最小值的方向就是梯度的负方向。不影响我们的说明,所以当时自己就忘了改过来了,谢谢评论下面@wxltt的指出。另外,最大似然可以通过取负对数,转化为求最小值。代码里面的注释也是有误的,写的代码是梯度上升,注销成了梯度下降,对大家造成的不便,希望大家海涵。

 

2.2、随机梯度下降SGD (stochastic gradient descent)

      梯度下降算法在每次更新回归系数的时候都需要遍历整个数据集(计算整个数据集的回归误差),该方法对小数据集尚可。但当遇到有数十亿样本和成千上万的特征时,就有点力不从心了,它的计算复杂度太高。改进的方法是一次仅用一个样本点(的回归误差)来更新回归系数。这个方法叫随机梯度下降算法。由于可以在新的样本到来的时候对分类器进行增量的更新(假设我们已经在数据库A上训练好一个分类器h了,那新来一个样本x。对非增量学习算法来说,我们需要把x和数据库A混在一起,组成新的数据库B,再重新训练新的分类器。但对增量学习算法,我们只需要用新样本x来更新已有分类器h的参数即可),所以它属于在线学习算法。与在线学习相对应,一次处理整个数据集的叫“批处理”。

        随机梯度下降算法的伪代码如下:

################################################

初始化回归系数为1

重复下面步骤直到收敛{

        对数据集中每个样本

               计算该样本的梯度

                使用alpha xgradient来更新回归系数

 }

返回回归系数值

################################################

 

2.3、改进的随机梯度下降

      评价一个优化算法的优劣主要是看它是否收敛,也就是说参数是否达到稳定值,是否还会不断的变化?收敛速度是否快?

       上图展示了随机梯度下降算法在200次迭代中(请先看第三和第四节再回来看这里。我们的数据库有100个二维样本,每个样本都对系数调整一次,所以共有200*100=20000次调整)三个回归系数的变化过程。其中系数X2经过50次迭代就达到了稳定值。但系数X1和X0到100次迭代后稳定。而且可恨的是系数X1和X2还在很调皮的周期波动,迭代次数很大了,心还停不下来。产生这个现象的原因是存在一些无法正确分类的样本点,也就是我们的数据集并非线性可分,但我们的logistic regression是线性分类模型,对非线性可分情况无能为力。然而我们的优化程序并没能意识到这些不正常的样本点,还一视同仁的对待,调整系数去减少对这些样本的分类误差,从而导致了在每次迭代时引发系数的剧烈改变。对我们来说,我们期待算法能避免来回波动,从而快速稳定和收敛到某个值。

       对随机梯度下降算法,我们做两处改进来避免上述的波动问题:

1)在每次迭代时,调整更新步长alpha的值。随着迭代的进行,alpha越来越小,这会缓解系数的高频波动(也就是每次迭代系数改变得太大,跳的跨度太大)。当然了,为了避免alpha随着迭代不断减小到接近于0(这时候,系数几乎没有调整,那么迭代也没有意义了),我们约束alpha一定大于一个稍微大点的常数项,具体见代码。

2)每次迭代,改变样本的优化顺序。也就是随机选择样本来更新回归系数。这样做可以减少周期性的波动,因为样本顺序的改变,使得每次迭代不再形成周期性。

       改进的随机梯度下降算法的伪代码如下:

################################################

初始化回归系数为1

重复下面步骤直到收敛{

       对随机遍历的数据集中的每个样本

              随着迭代的逐渐进行,减小alpha的值

              计算该样本的梯度

              使用alpha x gradient来更新回归系数

    }

返回回归系数值

################################################

       比较原始的随机梯度下降和改进后的梯度下降,可以看到两点不同:

1)系数不再出现周期性波动。2)系数可以很快的稳定下来,也就是快速收敛。这里只迭代了20次就收敛了。而上面的随机梯度下降需要迭代200次才能稳定。

三、Python实现

      我使用的Python是2.7.5版本的。附加的库有Numpy和Matplotlib。具体的安装和配置见前面的博文。在代码中已经有了比较详细的注释了。不知道有没有错误的地方,如果有,还望大家指正(每次的运行结果都有可能不同)。里面我写了个可视化结果的函数,但只能在二维的数据上面使用。直接贴代码:

logRegression.py

 

[python] view plaincopy在CODE上查看代码片派生到我的代码片
  1. #################################################  
  2. logRegression: Logistic Regression  
  3. Author zouxy  
  4. Date   2014-03-02  
  5. HomePage http://blog.csdn.net/zouxy09  
  6. Email  zouxy09@qq.com  
  7. #################################################  
  8.   
  9. from numpy import  
  10. import matplotlib.pyplot as plt  
  11. import time  
  12.   
  13.   
  14. calculate the sigmoid function  
  15. def sigmoid(inX):  
  16.     return 1.0 (1 exp(-inX))  
  17.   
  18.   
  19. train logistic regression model using some optional optimize algorithm  
  20. input: train_x is mat datatype, each row stands for one sample  
  21.        train_y is mat datatype too, each row is the corresponding label  
  22.        opts is optimize option include step and maximum number of iterations  
  23. def trainLogRegres(train_x, train_y, opts):  
  24.     calculate training time  
  25.     startTime time.time()  
  26.   
  27.     numSamples, numFeatures shape(train_x)  
  28.     alpha opts['alpha']; maxIter opts['maxIter' 
  29.     weights ones((numFeatures, 1))  
  30.   
  31.     optimize through gradient descent algorilthm  
  32.     for in range(maxIter):  
  33.         if opts['optimizeType'== 'gradDescent'gradient descent algorilthm  
  34.             output sigmoid(train_x weights)  
  35.             error train_y output  
  36.             weights weights alpha train_x.transpose() error  
  37.         elif opts['optimizeType'== 'stocGradDescent'stochastic gradient descent  
  38.             for in range(numSamples):  
  39.                 output sigmoid(train_x[i, :] weights)  
  40.                 error train_y[i, 0output  
  41.                 weights weights alpha train_x[i, :].transpose() error  
  42.         elif opts['optimizeType'== 'smoothStocGradDescent'smooth stochastic gradient descent  
  43.             randomly select samples to optimize for reducing cycle fluctuations   
  44.             dataIndex range(numSamples)  
  45.             for in range(numSamples):  
  46.                 alpha 4.0 (1.0 i) 0.01  
  47.                 randIndex int(random.uniform(0len(dataIndex)))  
  48.                 output sigmoid(train_x[randIndex, :] weights)  
  49.                 error train_y[randIndex, 0output  
  50.                 weights weights alpha train_x[randIndex, :].transpose() error  
  51.                 del(dataIndex[randIndex]) during one interation, delete the optimized sample  
  52.         else 
  53.             raise NameError('Not support optimize method type!' 
  54.       
  55.   
  56.     print 'Congratulations, training complete! Took %fs!' (time.time() startTime)  
  57.     return weights  
  58.   
  59.   
  60. test your trained Logistic Regression model given test set  
  61. def testLogRegres(weights, test_x, test_y):  
  62.     numSamples, numFeatures shape(test_x)  
  63.     matchCount 0  
  64.     for in xrange(numSamples):  
  65.         predict sigmoid(test_x[i, :] weights)[000.5  
  66.         if predict == bool(test_y[i, 0]):  
  67.             matchCount += 1  
  68.     accuracy float(matchCount) numSamples  
  69.     return accuracy  
  70.   
  71.   
  72. show your trained logistic regression model only available with 2-D data  
  73. def showLogRegres(weights, train_x, train_y):  
  74.     notice: train_x and train_y is mat datatype  
  75.     numSamples, numFeatures shape(train_x)  
  76.     if numFeatures != 3 
  77.         print "Sorry! can not draw because the dimension of your data is not 2!"  
  78.         return 1  
  79.   
  80.     draw all samples  
  81.     for in xrange(numSamples):  
  82.         if int(train_y[i, 0]) == 0 
  83.             plt.plot(train_x[i, 1], train_x[i, 2], 'or' 
  84.         elif int(train_y[i, 0]) == 1 
  85.             plt.plot(train_x[i, 1], train_x[i, 2], 'ob' 
  86.   
  87.     draw the classify line  
  88.     min_x min(train_x[:, 1])[00 
  89.     max_x max(train_x[:, 1])[00 
  90.     weights weights.getA()  convert mat to array  
  91.     y_min_x float(-weights[0weights[1min_x) weights[2 
  92.     y_max_x float(-weights[0weights[1max_x) weights[2 
  93.     plt.plot([min_x, max_x], [y_min_x, y_max_x], '-g' 
  94.     plt.xlabel('X1'); plt.ylabel('X2' 
  95.     plt.show()  

 

四、测试结果

        测试代码:

test_logRegression.py

 

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  1. #################################################  
  2. logRegression: Logistic Regression  
  3. Author zouxy  
  4. Date   2014-03-02  
  5. HomePage http://blog.csdn.net/zouxy09  
  6. Email  zouxy09@qq.com  
  7. #################################################  
  8.   
  9. from numpy import  
  10. import matplotlib.pyplot as plt  
  11. import time  
  12.   
  13. def loadData():  
  14.     train_x []  
  15.     train_y []  
  16.     fileIn open('E:/Python/Machine Learning in Action/testSet.txt' 
  17.     for line in fileIn.readlines():  
  18.         lineArr line.strip().split()  
  19.         train_x.append([1.0float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])  
  20.         train_y.append(float(lineArr[2]))  
  21.     return mat(train_x), mat(train_y).transpose()  
  22.   
  23.   
  24. ## step 1: load data  
  25. print "step 1: load data..."  
  26. train_x, train_y loadData()  
  27. test_x train_x; test_y train_y  
  28.   
  29. ## step 2: training...  
  30. print "step 2: training..."  
  31. opts {'alpha'0.01'maxIter'20'optimizeType''smoothStocGradDescent' 
  32. optimalWeights trainLogRegres(train_x, train_y, opts)  
  33.   
  34. ## step 3: testing  
  35. print "step 3: testing..."  
  36. accuracy testLogRegres(optimalWeights, test_x, test_y)  
  37.   
  38. ## step 4: show the result  
  39. print "step 4: show the result..."    
  40. print 'The classify accuracy is: %.3f%%' (accuracy 100 
  41. showLogRegres(optimalWeights, train_x, train_y)   

        测试数据是二维的,共100个样本。有2个类。如下:

testSet.txt

 

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  1. -0.017612   14.053064   0  
  2. -1.395634   4.662541    1  
  3. -0.752157   6.538620    0  
  4. -1.322371   7.152853    0  
  5. 0.423363    11.054677   0  
  6. 0.406704    7.067335    1  
  7. 0.667394    12.741452   0  
  8. -2.460150   6.866805    1  

 

         训练结果:

       (a)梯度下降算法迭代500次。(b)随机梯度下降算法迭代200次。(c)改进的随机梯度下降算法迭代20次。(d)改进的随机梯度下降算法迭代200次。

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