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二分图最大匹配与最小路径覆盖..

(2011-08-19 21:13:49)
标签:

杂谈

分类: ACM

我觉得还比较靠谱的关于原理的解释:

http://stqdd.com/archives/124

 

copy:

在讲述这两个算法之前,首先有几个概念需要明白:

二分图:

二分图又称二部图,是图论中的一种特殊模型。设G=(V,E)是一个无向图,如果顶点V可以分割为两个互不相交的子集(A,B),并且图中的每条边(i,j)所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A, j in B), 则称图G是二分图。e.g.

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匹配:

给定一个二分图,在G的一个子图G’中,如果G’的边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点,则称G’的边集为G的一个匹配

最大匹配:

在所有的匹配中,边数最多的那个匹配就是二分图的最大匹配了

顶点覆盖:

在顶点集合中,选取一部分顶点,这些顶点能够把所有的边都覆盖了。这些点就是顶点覆盖集

最小顶点覆盖:

在所有的顶点覆盖集中,顶点数最小的那个叫最小顶点集合。

独立集:

在所有的顶点中选取一些顶点,这些顶点两两之间没有连线,这些点就叫独立集

最大独立集:

在左右的独立集中,顶点数最多的那个集合

路径覆盖:

在图中找一些路径,这些路径覆盖图中所有的顶点,每个顶点都只与一条路径相关联。

最小路径覆盖:

在所有的路径覆盖中,路径个数最小的就是最小路径覆盖了。

熟悉了这些概念之后,还有一个二分图最大匹配的König定理,这个定理的内容是:最大匹配 = 最小顶点覆盖。此处不证明其正确性。有了这个定理之后还可以得出一些二分图特有的公式:

最大独立集 = 顶点个数 – 最小顶点覆盖(最大匹配)

这个公式,我们可以利用最大匹配来找到最大的独立集。而最大独立集和最小路径覆盖有个千丝万缕的关系。

对于二分图的最大匹配,常用的求解方法是hungarian算法和最大流算法。以poj上的题目为例说明:

POJ2271: 题目大意是,一群男孩和女孩共N人,某些男孩和女孩之间会发生恋爱关系(满足一定的关系),现在希望找到最多的孩子,他们之间不会发生恋爱关系。

分析:找到最多的孩子,没有恋爱关系,这实质上是找最大独立集。假设男孩在左有a个,女孩在右有b个,那么如果某男孩和某女孩之间有关系,就连线。最大独立集就是找到最多顶点,顶点之间没有联系,正好就是所求,而最大独立集就是 N-最大匹配,所以问题得到解决。试想,如果二分图中没有连线,那么所有的孩子都可选,最大独立集也是N,他们是等价的。如果存在一条连线,那么去掉一个孩子就是所找的孩子,最大独立集此时是N-1.依次类推。在试想,最大匹配其实就找到了几对恋爱对象,假设是这样的

a b

B0 G0

B1 G1

… …

Bi Gi

… …

我们只需要把他们的另一半去掉,就是我们找的孩子。不过会有这样的疑问,如果我取出了B1的另一半G1,B1会不会和其余的孩子恋爱呢,比如说B1和b会恋爱,那么好吧,去掉G1的另一半B1,这样就不会有问题了吧。还有担心?G1会不会和其余的孩子恋爱呢,比如说G1和a会恋爱,不过这样的情况是不会出现的。假如G1和a好,B1和b好,那么最大匹配中出现的是两条边G1->a B1->b,而不是现在的B1和G1.所以,既然最大匹配中选择了B1和G1,去掉他们中间的一个肯定是可行的。所以答案就是N-最大匹配了。

POJ3692:题目大意是,一群男孩B个(他们互相认识),一群女孩G个(他们互相认识),某些男孩和某些女孩相识,现在找出最多的孩子,他们互相认识

分析:这个题目和上面的有些相似。对于利用二分图最大匹配算法解题最重要不是匹配算法本身,而是如何问题转化为二分图模型。一旦模型建立,就很容易了。题目要找的是一群孩子,他们之间都互相认识,也就是说这是一个团(图的概念,任意两个顶点之间都有连线)。可是如果直接去找团,可能比较麻烦。因为这是二分图,自然要利用二分图的性质。在二分图的算法里面没有找团的相关算法,所以我们可以考虑反问题,找出最多的孩子,他们之间互不认识,这不是就是求最大独立集嘛。建立这样的二分图,左边是男孩,右边是女孩,如果男孩和女孩不认识就连上边,在这样的二分图中,找最大独立集,其实就是找出所有的相互认识的孩子了。接下来就很容易了。此题说明模型的转化和构图很重要。

POJ3041:题目大意是,一个矩阵,某些位置有小行星,有一种炸弹,一次可以炸掉一行或者一列,现在问题是需要最少用多少这样的炸弹。

分析:模型转化,非常巧妙的利用二分图来解决。利用二分图必须有左顶点和右顶点,我们把行作为左顶点,列作为右顶点,如果该行和该列的交点有小行星,就连线。求此二分图的最大匹配就是了。对这个问题展开思考,为什么可以这么转化。其实从最小顶点覆盖的角度来想比较好理解,左边的顶点和右边的顶点只有当有小行星的时候才有连线,那么只要找到最少的顶点把所有的边覆盖了,那么就是所求的解了。最小顶点覆盖等值于最大匹配

POJ1466:题目大意是,一群人N,某人可能是多某些人有罗曼史,性别未知,但一定是异性。找出最多的同学,他们之间无罗曼史

分析:因为性别未知,所以可以把所有的人当成左顶点,右边也是所有的人,建立二分图,可以想象,这样求出来的最大匹配是男女分开建立的二分图的最大匹配的二倍。而题目让找最大独立集,所以应该是N-最大匹配/2;

POJ1325:题目大意是,有两台机器,有多个任务,每个任务都可在这两台机器上运行,不过不同的模式需要重启电脑,很浪费时间,现在要找出最好的调度方式,减少调度时间。

分析:最少的顶点覆盖最多的边(任务),所以是最小顶点覆盖问题

POJ2060:题目大意,有很多人预订出租车,如果出租车做完一个任务能够敢到下一个任务,就不需要在调度一辆出租车了,现在请问最少需要几辆出租车。

分析:最小路径问题,对任务构图,将一个任务拆开成两个点,建立二分图,如果一个任务能够完成之后赶到下个任务就连线,然后就是二分图问题了。最小路径等值于二分图的最大独立集

POJ2226:和3041相似,不过这里不是销毁一行或者一列,一次只能销毁连着的一行或者一列。可以把所有的行连续的段拿出来作为左顶点,所有的列连续的段拿出来作为右顶点,如果左段与右段之间有相交,就连线。然后求最小顶点覆盖

POJ1422:最小路径覆盖

POJ2594:特殊的最小路径覆盖,每个顶点可以有多条路径经过,这时需要事先把任意两点之间是否能够到达求出,然后在求路径覆盖。
POJ1548:最小路径覆盖

POJ3216:最小路径覆盖

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