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第四代微积分概览

(2018-10-27 19:37:16)
标签:

微积分

高等数学

数学危机

悖论

漏洞

  【摘 要】牛顿、莱布尼兹时代的微积分被称为第一代微积分,理论粗糙,问题较多。柯西、魏尔斯特拉斯发展了第二代微积分,以“极限理论”为基础,存在许多矛盾,理解难度较大。鲁滨逊提出的“非标准分析”是第三代微积分,进展不多,影响亦较小。本文充分吸收了前三代微积分的合理内容,抛弃了其中不合理的部分,特别是抛弃了繁琐、混乱的“极限理论”,仅仅使用了初等数学的知识,简明扼要地阐述了微积分的思想精华,还消除了前三代理论中无法修补的漏洞,称为第四代微积分。

  【关键词】微积分;高等数学;数学危机;悖论;漏洞

  【 
  1. 平均速度与瞬时速度
  2. 函数与导函数
  3. 函数与原函数
  4. 求取原函数的目的
  5. 微积分基本公式
  6. 微积分的应用
  7. 第四代微积分的特色

  1. 平均速度与瞬时速度

  我们通常所说的“速度”,不是某个时刻的“瞬时速度”,而是一段时间内的“平均速度”,在一段时间内走过的路程 Δs,除以经过的时间 Δt
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  比如,7 月 23 日 0 时 0 分 0 秒到 2 秒,用时 Δt = 2秒,走过的路程 Δs = 2米。在这个时间段内,人的平均速度为1米/秒;
  7 月 23 日 0 时 0 分 0 秒到 0.2 秒,用时 Δt = 0.2秒,走过的路程 Δs = 0.2米。在这个时间段内,人的平均速度为1米/秒;
  7 月 23 日 0 时 0 分 0 秒到 0.02 秒,用时 Δt = 0.02秒,走过的路程 Δs = 0.02米。在这个时间段内,人的平均速度为1米/秒;
  以上说法都是正确的,没有什么不妥。
  但是,如果有人问:在 7 月 23 日 0 时 0 分 0 秒那个时刻,这个人的速度是多少?
  分析可知,在 7 月 23 日 0 时 0 分 0 秒那个时刻,过程的开始就是结束,没有时间进行具体的行动,只能保持相对静止。
  什么叫“相对静止”呢?就是物体没有机会做出改变。例如,如果物体原来是静止状态,现在仍然保持静止状态;如果物体原来以 20 米/秒的速度运动,那么现在仍然以 20 米/秒的速度运动。如果物体原来以 100 米/秒的速度运动,那么现在仍然以 100 米/秒的速度运动。也就是说,在一个特定的时刻,物体的速度可以是任意一个数值。
  按速度的定义,Δt = 0,Δs = 0,v = 0/0。
  在数学上,0 乘以任何数都等于 0,0/0 可以等于任何数。因此,物体在某一具体时刻的速度,即“瞬时速度”,存在但不确定。
  我们希望“瞬时速度”不仅存在而且有一个确定的数值,那样我们就得到一种特别有用的计算方法——微积分。
  怎么办?
  我们发现这样一个事实:物体运动具有无限连续性。单独的时刻不构成运动,只有一定的时间段和相应的位移才构成运动的基本元素。也就是说,一个物体如果发生了运动,那么在t时刻附近,总是存在着微小的时间段dt与微小的位移 ds(dt 与 ds 都是无穷小量)。
  我们定义:物体在某一时刻的瞬时速度 v_t,等于 ds 与 dt 的比值
第四代微积分概览  有了这个人工补充的定义,“瞬时速度”这个概念就合法了,并且有望得到一个确定的数值。
  下面以一个具体的例子来说明。
  【1】一个物体做自由落体运动,已知其位置 s 与时间t的关系为
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  问:在第 3 秒的那个时刻,物体的瞬时速度是多少?
  【】在 t 时刻,物体运动到 s 位置。过了一段非常微小的时间段 dt 之后,在 t+dt 时刻,物体运动到了 s+ds 位置。A(s,t)和 B(s+ds,t+dt)是物体运动轨迹上非常接近的 2 个点。
  由于 A(s,t)和 B(s+ds,t+dt)都满足 s ~ t 关系式,因此有
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  上式中的 dt 不是一个固定的数值,而是一个可大可小的、变化着的数值。因此,上式等号右侧不是一个固定的数值,而是无限多个数值。
  我们的愿望是让瞬时速度有一个确定的数值。但是 dt 既可变又不等于 0 的特性,使得这一愿望彻底落空。
  也就是说:瞬时速度根本不可能有一个准确的、固定的数值。
  既然如此,我们迫不得已而求其次,看它是否能够“约等于”一个固定数值。
  由于 dt 非常小,要多小有多小,无限接近 0 ,因此上式中的尾项 1/2gdt  约等于 0 。于是,瞬时速度
第四代微积分概览  上式表示,在 t 时刻,物体的瞬时速度vt约等于 gt。虽然不是准确值,但瞬时速度具备了确定性、唯一性,仍然具有非常重要意义。
  回到具体问题上来,在物体下落开始后第 3 秒的时刻,t = 3秒,g ≈ 10米/秒^2,物体的瞬时速度约为 30米/秒。
  在平面几何中,过一个点可以作出无数条切线。一个孤立点的切线、斜率都不确定。同样地,位于线段、圆弧、曲线中的孤立点,它的切线、斜率也不确定。这一现象反映在物理学中,物体的瞬间速度不确定。
  一条线段、一段圆弧、一段任意曲线总是可以分割成无数更小的线段,每一条更小的线段都有自己的切线、斜率。在物理学中,当物体以直线、圆弧、曲线方式运动时,在某一时刻附近,总是存在着无数个平均速度。
  当直线、圆弧、曲线的长度无限缩小时,我们就近似地将它看作一个点,不会引起显著的误差。依据这个道理,某一时刻t附近的平均速度可以近似地看作瞬时速度。
  以上内容可总结为以下12个字:
点斜率,不确定;
线斜率,来近似。

  2. 函数与导函数

  我们对下面的2个关系进行深入讨论。
  位置-时间关系式 s ~ t:  s = 1/2gt^2
  速度-时间关系式 v ~ t:  v_t ≈ gt
  位置-时间关系式 s ~ t 是已知的,我们称之为“函数”,速度-时间关系式 v ~ t 是从已知的 s ~ t 关系式推导得到的,称为“导函数”。
  从“函数”到“导函数”,是一个根据已知求解未知的过程。
  可以发现下列特点:
  (1)由函数 f (t) 出发,容易得到导函数 f'(t);然而,由导函数 f'(t) 出发,很难回到函数 f (t);
  (2)若函数 f (t) 为线性,则导函数的计算过程中没有近似,最后得到准确值;例如,函数 y = 2t,导函数为 y  =  2。若函数 f (t) 为非线性,则中间计算过程必须有近似,得到的导函数 f'(t) 总是近似值,不能得到准确值;
  (3)函数f (t) 与导函数 f'(t) 之间是“叔侄关系”而不是“父子关系”。
  推广到一般情况,以上关系仍然存在。
  在课本上,函数与导函数的关系用“微分表”来表示。
  函数 y = x^3,导函数 y ≈ 3x^2;记作 (x^3)' ≈ 3x^2
  函数 y = sinx,导函数 y ≈ cosx;记作 (sinx)' ≈ cosx
  函数 y = cosx,导函数 y ≈ -sinx;记作 (cosx)' ≈ -sinx
  函数 y = lnx,导函数 y=1/x;记作 (lnx)' ≈ 1/x
  函数 y = e^x,导函数 y ≈ e^x;记作 (e^x) ≈ e^x
  注意上面的函数都是等号,导函数都是约等号。这是因为在由非线性函数求取导函数时,无一例外地都有程度不同的各种近似,不是严格的“父子”关系,只是近似的“叔侄”关系。
  在物理学中,自由落体的 2 个公式也是“叔侄”关系,2 个表达式中必须有一个是近似关系:  
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  在几何中,非线性函数表示曲线方程,其导函数就是该曲线的切线方程。

  3. 函数与原函数

  在数学中,从函数出发求导函数,除了制作微分表之外,用处不是很大。
  “微分表”的最大用途,是从已知的导函数出发,找到产生它的那个函数。即由“侄子”出发,通过查表而不是计算找到产生它的那个“叔叔”。
  为了实用和方便,我们又经常把“侄子”叫做“函数”,用小写的 f(x) 表示;把“叔叔”称为“原函数”,用大写的 F(x) 表示。
  从函数 f(x) 到原函数 F(x),也是一个从已知到未知的过程,一个“侄子找叔叔”的过程。
  这个过程很简单,不用计算,对照着书上的微分表,每个“侄子”都能找到曾经产生了自己的那个“叔叔”。
  由于函数与原函数之间并非可逆运算。因此,当函数 f(x) 为已知时,对应的原函数 F(x) 就变成了近似值。在课本中,函数和原函数之间的关系列在“不定积分表”中,其中 C 是常数。
  函数 y  =  3x^2,原函数 y ≈ x^3;
  函数 y =  cosx,原函数 y ≈ sinx;
  函数 y  = -sinx,原函数 y ≈ cosx;
  函数 y  = 1/x,原函数 y ≈ lnx;
  函数 y  =  e^x,原函数 y ≈ e^x;
  “积分表”的作用与“微分表”一样,将函数与原函数纳入一个等式之中,方便计算时查用。
  两种表描述的都是“叔侄关系”。仅有的一点区别是:微分表沟通了函数与导函数,积分表沟通了函数与原函数。
  函数 f(x) 与原函数 F(x) 之间的关系还经常被写成以下形式,
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  在几何上,原函数 F(x) 是曲线,函数 f(x) 就是该曲线的近似切线。

  4. 求取原函数的目的

  已知一个函数 f(x),为什么要努力获取它的原函数 F(x) 呢?
  这样做,完全是为了一个特殊的目的——牛顿-莱布尼兹公式。
  在 x 轴上,距离非常近的两个水平点 x(i)、x(i+1) 之间,函数 f(x)、原函数 F(x) 都有意义时,根据导函数的定义,总有
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  原函数的微差 dF(x) 等于原函数F(x) 在 x(i)、x(i+1) 两点的算术差,
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  微分 dx 表示在水平轴上 x(i)、x(i+1) 两点的间距,f(x)dx 相当于高为 f(x)、宽为 dx 的小矩形的面积 Si,可以简记为
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  这样,在两个水平点 x(i)、x(i+1) 之间,这个小面积就是 2 个原函数的差
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  我们引入莱布尼兹创建的数学符号对上式加以改造,将象征面积的符号“S”拉高,并将 “S”下方、上方之 x(i)、x(i+1) 的位置向右稍稍移动,于是有
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  我们称上式为“微观牛顿-莱布尼兹公式”。它的几何意义是:在无限接近的 2 个水平点 x(i)、x(i+1) 之间,高为 f(x)、宽为 dx 的小矩形的面积,约等于原函数 F(x) 在 x(i)、x(i+1) 两点的函数差。
  如此变换之后,我们就轻轻地推开了数学中的一扇大门——微积分。

  5. 微积分基本公式

  某非线性函数 f(x) 在 [a, z] 区间是一段光滑曲线,a-f (a)-f (z)-z 形成一个曲边梯形,如图 1 所示,求它的面积 S。
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1  无限分割求曲边梯形面积

  这种问题,在牛顿和莱布尼兹之前,只能通过繁重的有限分割法求取近似值,计算量大,效率极低,容易出错。中国数学家祖冲之用了半生的时间割圆,才把圆周率的精度计算到小数点后面第 7 位。
  由于牛顿和莱布尼兹的贡献,只要你能写出曲线的方程,那么曲线下面的面积就能轻松地求出来。如果祖冲之知道这个了方法,一定会惊叹不已。
  那么,牛顿和莱布尼兹是怎样做到的呢?
  在 x 轴方向上做无限分割时,[a, z] 被均匀分割成无限个子区间,整个曲边梯形分割成无限个高而窄的小曲边梯形。由于无限分割,数量极其巨大,比如说 1 的后面有 999 亿个 0 那么多份,所以那个小曲边梯形上方那条极窄的曲线,已经可以看作一条水平直线了,每一个小曲边梯形可以近似看作一个小矩形。每个子区间小矩形的宽度为 dx,高度为 f(x),面积为 f(x)dx。
  我们可以方便地将任意一个子区间[ x(i)、x(i+1)]内小矩形的面积写出来  
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  为避免太多的下标,使后面的证明看起来更简洁,我们假设拉丁字母表中的字母有无限多个,特别是 d 与 w 之间有无穷多个不同的字母可供使用。
  无限分割时,x 轴上形成了无穷多个均匀的子空间,x 轴上各点的位置可按拉丁字母顺序,从左到右分别标记为
  a、b、c、d、…… w、x、y、z
  根据(1)式,依次写出每个子区间小矩形的面积
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……
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  上述无穷多个等式的左边相加,相当于曲边梯形的总面积 S;右边相加,相当于积分子区间的合并与扩展,即,于是有
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  这样,我们就将曲边梯形的总面积 S 表示成在 [a, z] 区间对已知函数 f(x)求定积分的形式。
  根据“微观牛顿-莱布尼兹公式”,任意子区间小矩形的面积 Si
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  从左到右,依次写出每个子区间小矩形的具体面积:
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……
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  上述各式左边相加等于曲边梯形的总面积 S,右边相加等于 F(z) - F(a),
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  比较(2)和(4),可得
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  (5)式称为“宏观牛顿-莱布尼兹公式”。特别注意中间是约等号而不是等号。它的几何意义是:函数 f(x) 在 [a, z] 区间围成的曲边梯形面积,约等于 f(x) 的原函数 F(x) 在 z 点和 a 点的算术差。
  把一个如此复杂的曲线面积问题化为一个简单的减法,令人惊叹!
  虽然无限多份小面积相加,但由于中间结果全部消去,误差相互抵消,因而整个过程产生的总误差很小,最后的结果具有极佳的精度。
  “牛顿-莱布尼兹公式”适应性强,只要积分区间与函数 f(x) 及其原函数 F(x) 的定义域不冲突即可。例如,函数 f(x) = 1/x 的定义域是(0,∞),原函数 F(x) = lnx 的定义域也是(0,∞),函数 f(x) 的积分区间就不能取[0,3],因为包括了 0 点,超出了函数的定义域,导致函数不连续,将使公式失效。
  为了描述复杂的图形的需要,经常用各种有限级数的形式代替函数 f(x) 进行积分,如
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  上式等号后面的各项都有很好的连续性,宽广的定义域,且存在着可微分的原函数,极容易满足“牛顿-莱布尼兹公式”所要求的条件,因而在理论和实践中得到了广泛应用。
  在中学里,我们能够计算梯形、三角形、圆形的面积。有了微积分这个工具之后,我们就能计算曲边梯形、曲边三角形、椭圆形以及任意曲边形的面积。并由此作为起点,还能够计算曲线的弧长、曲面的面积、曲面体的体积、变力的功、变化的电流、变化的电压、变化的冲击力、变化的扭矩、电容放电、不均匀导热、各种瞬态过程等过去几乎不敢想的工作。
  “牛顿-莱布尼兹公式”是微积分知识体系的核心,数学中的各种定义、各种定理都是为了保证它的正常运行而设置的;其他数学概念如二重积分、多重积分、广义积分、微分方程、无穷级数等,都是它的展开与深化。所以,这个公式又被称为“微积分基本公式”。
  微积分的出现,为人类提供了一个高效、简洁的近似计算工具,大大拓展了数学的应用范围,将数学从静态计算带入了动态计算的时代,由直线几何时代带入了曲线几何时代。

  6. 微积分的应用

  下面给出几个例子,简单说明微积分的应用。

  【2】一个人距离河边 11 米,推着一辆童车向河边走去。他用力的大小 F 与脚下路的好坏有关。越接近河边,路越泥泞,需要的力越大。设力与路程之间的关系为F=100 + 3x^2,其中 x 是车子的位置,单位是米;F 是力,单位是牛顿,如图 2 所示。问:把车子从 0 米处推到 10 米处,需要做多少功?
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                                                  图2   复杂曲边形的面积等于变力所做的功

  【解】题目是一个变力做功问题,F 是一个与 x 有关的变量。
  函数 F = 100 + 3x^2 存在原函数,定义域为(-∞,+∞),在积分区间 [0,10] 之内连续,满足使用“宏观牛顿-莱布尼兹公式”的条件。
  查积分表可知,100 的原函数是 100x,3x^2 的原函数是 x^3,因此有
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  计算表明,这个工作需要做功约2000焦耳。相当于一个高 200(图 2 中点划线位置)、宽 10 的矩形的面积。将点划线之上凸出部分剪掉,填入线下凹陷部分,恰好形成一个规则的矩形。

  【3】高为3,底为4,斜边为5的直角三角形,其面积为6。若将它的斜边剪成曲线的形状(如图3所示),余下部分的面积是多少?
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  图3   曲边三角形的面积

  【解】这是一个曲边三角形的面积问题。函数 y=3/16*x^2 存在原函数,定义域为(-∞,+∞),在积分区间 [0,4] 之内连续,满足使用“宏观牛顿-莱布尼兹公式”的条件。
  查积分表可知,y=3x^2 的原函数是 y=x^3。相应地,y=3/16*x^2 的原函数是 y=1/16*x^3,因此,曲边三角形的面积
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  计算表明,余下部分的面积大约是4。

  【4】设某函数 f(t) = 1 + sint + 0.85cos3t - 0.15sin(17t-0.25),如图 4 所示。求该曲线在 [0, π] 区间与水平轴所围成的面积。
  【解】函数 f(t) 存在原函数,定义域为(-∞,+∞),在积分区间 [0,π] 之内连续,满足使用“宏观牛顿-莱布尼兹公式”的条件,总面积
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  可分别计算每一项的积分值,然后相加。
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 图4   复杂曲边梯形的面积

  查积分表可知,常数 1 的原函数是 t;sint 的原函数是 -cost;于是有
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  计算表明,此曲线在 [0, π] 区间与水平轴所围成的面积大约是 5.1245,相当于一个高 1.6312(图 4 中水平点划线的位置)、宽 3.1416 的矩形的面积。将点划线之上凸出部分剪掉,填入线下凹陷部分,恰好形成一个规则的矩形。
  题目是一个已知函数求曲线所围面积的问题,如果将题目倒过来,已知曲线的轮廓,求它的函数表达式,就是著名的傅立叶展开。该问题最终将化为求函数表达式的系数问题。
  声音信号的波形与图4非常相似,工程师们将录音所得到的波形转换成一系列余弦级数的系数,存储在计算机中,可以有效地减少文件的尺寸,便于在互联网上传播。播放时,将一系列分频信号合成为原来的波形,再转换为模拟信号,通过扬声器播放出来。

  7. 第四代微积分的特色

  目前,在世界范围内流行的是第二代微积分,即建立在“极限理论”基础之上的微积分。这一代微积分存在很多缺点:
  (1)“极限理论”建立在错误的公理“部分等于整体”之上,与欧几里德第五公理“部分小于整体”尖锐对立,使数学分裂为“初等数学”与“高等数学”两大对立板块;
  对“极限理论”的滥用导致出现 0.999… = 1 以及 1/2+1/4+1/8+1/16+... =1 之类的错误等式,不仅无法消除芝诺的“二分法”悖论和“追乌龟”悖论,而且使微积分产生严重的漏洞——曲边梯形面积本应为无理数,但经常得到有理数甚至整数。
  (2)建立在错误的“极限理论”基础之上的微积分,体系庞杂,逻辑混乱,概念模糊,抽象概念多,主观臆想多,定义多,定理多,矛盾多;数学家之间、各学派之间争议大,具体反映在教材版本多,差异明显。
  (3)函数与原函数之间是本来是“叔侄”关系,被错误地当作“父子”关系,因而求出的积分值在逻辑上是错误的。
  (4)承认实无穷,导致出现荒谬的“托里拆利小号悖论”——按微积分的计算,装满一把小号需要油漆是一个有限数,但给这把小号涂一遍漆却是无穷大;
  (5)教、学困难。教师难以讲清,学生难以听懂;具体表现为考试大面积挂科,学生对微积分、高等数学普遍怀有恐惧和厌恶心理。
  (6)没有真正解决第二次数学危机。求导过程中先假设 Δx ≠ 0 随后再令 Δx → 0,其实际效果仍然是 Δx = 0,二者在本质上等价,贝克莱对牛顿的攻击并未因此而消除。
  第四代微积分彻底消除了第二代微积分的缺点:
  (1)彻底废除了荒谬的“极限理论”,恢复欧几里德第五公理“部分小于整体”的传统地位,消除了初等数学与高等数学之间的矛盾,使数学重新成为一门立足于自然界与人类实践活动的自然科学;
  恢复了正确的数学结论 0.999… < 1 以及 1/2+1/4+1/8+1/16+... < 1 之后,“极限理论”就没有了无立足之地,不仅消除了微积分的漏洞,而且彻底消除了芝诺的“二分法”悖论和“追乌龟”悖论。
  (2)建立在初等数学基础之上的微积分,体系简单,逻辑清晰,定义少,定理少,抽象概念少,中学生理解起来也不会有什么困难。
  (3)函数与原函数之间是“叔侄”关系,求出的积分值总是近似值,这在逻辑上是严格的。同时表明,微积分只不过是一种比较特殊的近似计算方法,而不是什么独立于初等数学体系之外的新理论。
  (4)否定实无穷,只承认潜无穷,消除了极其顽固的“托里拆利小号悖论”,恢复了微积分的尊严;
  (5)教、学容易。授课所需学时数将大幅减少,考试大面积挂科现象将彻底消失,学生对微积分、高等数学不再恐惧。
  (6)由函数求取导函数的过程使用了初等数学中常见的近似处理,微分量 dx 前后一致,自始至终保持着 dx ≈ 0,贝克莱对牛顿的攻击彻底失去了目标,从根本上消除了第二次数学危机。
  自牛顿以来300多年间,微积分历经坎坷,争论不休,麻烦不断,耗尽无数学者的心血和精力。第四代微积分的诞生,标志着微积分终于成为一门严谨、成熟的科学理论。并且由于难度的急剧降低,微积分将不再是高学历人群的专利,它将冲破大学的围墙,走进千家万户,成为普通百姓也能轻松消费的大众快餐。

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