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第四讲 数论-之同余问题

(2014-12-14 12:52:34)
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分类: 学习资料(奥数类)

第四讲 数论-之同余问题

u基础知识

定义:两个整数a,b,如果它们除以同一自然数m所得的余数想同,则称a,b对于模m同余。记作:a≡b(mod m)。读做:a同余于b模m。比如,12除以5,47除以5,它们有相同的余数2,这时我们就说,对于除数5,12和47同余,记做12≡47(mod 5)。同余的性质比较多,主要有以下一些:

 

性质(1)对于同一个除数,两个数之和(或差)与它们的余数之和(或差)同余。比如:32除以5余数是2,19除以5余数是4,两个余数的和是2+4=6。“32+19”除以5的余数就恰好等于它们的余数和6除以5的余数。也就是说,对于除数5,“32+19”与它们的余数和“2+4”同余,用符号表示就是:32≡2(mod 5),19≡4(mod 5),32+19≡2+4≡1(mod 5)

性质(2):对于同一个除数,两个数的乘积与它们余数的乘积同余。

 

性质(3):对于同一个除数,如果有两个整数同余,那么它们的差就一定能被这个除数整除。

 

性质(4):对于同一个除数,如果两个整数同余,那么它们的乘方仍然同余。

 

应用同余性质几萼体的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。把求一个较大的数除以某数的余数问题转化为求一个较小的数除以这个数的余数,使复杂的题变简单,使困难的题变容易。

 

u典型例题

例题1:求1992×59除以7的余数。

应用同余性质(2)可将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积,使计算简化。1992除以7余4,59除以7余3。根据同余性质,“4×3”除以7的余数与“1992×59”除以7的余数应该是相同的,通过求“4×3”除以7的余数就可知道1992×59除以7的余数了。

因为1992×59≡4×3≡5(mod 7)

所以1992×59除以7的余数是5。

举一反三

1、求4217×364除以6的余数。

 

 

 

2、求1339655×12除以13的余数。

 

 

 

3、求879×4376×5283除以11的余数。

 

 

例题2:已知2001年的国庆节是星期一,求2010年的国庆节是星期几?

一星期有7天,要求2010年的国庆节是星期几,就要求从2001年到2010年的国庆节的总天数被7除的余数就行了。但在甲酸中,如果我们能充分利用同余性质,就可以不必算出这个总天数。

2001年国庆节到2010年国庆节之间共有2个闰年7个平年,即有“366×2+365×7”天。因为366×2≡2×2≡4(mod 7),365×7≡1×7≡0(mod 7),366×2+365×7≡2×2+1×7≡4+0≡4(mod 7)

答:2010年的国庆节是星期五。

举一反三

1、已知2002年元旦是星期二。求2008年元旦是星期几?

 

 

 

2、已知2002年的“七月一日”是星期一。求2015年的“十月一日”是星期几?

 

 

 

3、今天是星期四,再过365的15次方是星期几?

 

 

 

 

例题3:求2001的2003次方除以13的余数。

2001除以13余12,即2001≡12(mod 13)。根据同余性质(4),可知2001的2003次方≡12的2003次方(mod 13),但12的2003次方仍然是一个很大的值,要求它的余数比较困难。这时的关键就是要找出12的几次方对模13与1是同余的。经试验可知12的平方≡1(mod 13),而2003≡2×1001+1。所以(12的平方)的1001次方≡1的1001(mod 13),即12的2002次方≡1(mod 13),而12的2003次方≡12的2002次方×12。根据同余性质(2)可知12的2002次方×12≡1×12≡12(mod 13)

因为:2001的2003次方≡12的2003次方(mod 13)

12的平方≡1(mod 13),而2003≡2×1001+1

12的2003次方≡12的2002次方×12≡1×12≡12(mod 13)

所以2001的2003次方除以13的余数是12。

举一反三

1、求12的200次方除以13的余数。

 

 

 

2、求3的92次方除以21余几。

 

 

 

3、9个小朋友坐成一圈,要把35的7次方粒瓜子平均分给他们,最后剩下几粒?

 

 

 

 

例题4:

自然数16520,14903,14177除以m的余数相同,m最大是多少?

自然数16520,14903,14177除以m的余数相同,换句话说就是16520≡14903≡14177(mod m)。根据同余性质(3),这三个饿数同余,那么它们的差就能被m整除。要求m最大是多少,就是求它们差的最大公约数是多少?

因为16520—14903=1617=3×7的平方×11

16520—14177=2343=3×11×71

    1490314177=726=2×3×11的平方

M是这些差的公约数,m最大是3×11=33。

举一反三

1、若2836458251646522四个整数都被同一个两位数相除,所得的余数相同。除数是多少?

 

 

 

2、一个整数除226192141都得到相同的余数,且余数不为0,这个整数是几?

 

 

 

3、当19911769除以某一个自然数m时,余数分别为21,那么m最小是多少?

 

 

 

例题5:某数用6除余3,用7除余5,用8除余1,这个数最小是几?

我们可从较大的除数开始尝试。首先考虑与18同余的数,9≡1(mod 8),但9除以7余数不是5,所以某数不是9。17≡1(mod 8),17除以7的余数也不是5。25≡1(mod 8),25除以7的余数也不是5。33≡1(mod 8),33除以7的余数正好是5,而且33除以6余数正好是3,所以这个数最小是33。上面的方法实际是一种列举法,也可以简化为下面的格式:

被8除余1的数有:9,17,25,33,41,49,57,65,73,81,89,……其中被7除余5的数有:33,89,……这些数中被6除余3的数最小是33。

举一反三

1、某数除以7余1,除以5余1,除以12余9。这个数最小是几?

 

 

2、某数除以76,除以51,除以113,求此数最小值。

 

 

3、在一个圆圈上有几十个孔(如图38-1),小明像玩跳棋那样从A孔出发沿逆时针方向每隔几个孔跳一步,希望一圈以后能跑回A孔,他先试着每隔2孔跳一步,也只能跳到B孔。最后他每隔6孔跳一步,正好跳回A孔。问:这个圆圈上共有多少个孔?

 

 

 

u同余问题练习题

1.2008除以7的余数.

 解:同学们也许会问,同余、同余,怎么求一个数除以另一个数的余数呢,它们两个数相除余数只有一个,谈不上"相同",你不要着急.因为只有你明白了这道题的来龙去脉,那么后面的题你也就会迎刃而解了.

可以先去掉7的倍数1400608,再去掉560还余下48,再去掉42最后余下6.这个过程可简单地记成: 2008→608→48→6.从这几个数我们可以看出,它们除以7都余6.

  答:2008除以7的余数是6.

  因为2008608486除以7的余数相同,所以2008-608608-482008-6608-6这几个算式的结果能被7整除.由此不难得出这样十分有用的结论:如果若干的数被同一个数除余数相同,那么这若干个数两两之差(大减小)必能被这个数整除.


2.有一个大于1的整数,它除10002001,967得到相同的余数(不为0),那么这个整数是多少?

  解:由上面的结论,所求整数应能整除96710002001的两两之差,即

2001-1000=1001=7×11×13

1000-967=33=3×11

2001-967=1034=2×11×47

  这个整数是这三个差的公约数11.

  答:这个整数是11.

 

3.20012232除以整数n,得到相同的余数,而且这个余数是合数,求n.

 解:根据余数相同,所求的数应能整除20012232的差,即

2232-2001=231=3×7×11

  由此我们知道n可能是3711,究竟哪个符全合条件呢,这我们得认真对待,千万不能手懒.只要试一试即可,得711213377都符合条件.

  答:n711213377.

 

4.用一个自然数去除715903所得余数相同,且商相差4.求这个数.

  解:根据两个数除以同一个数余数相同的特点,我们可以得到903 -715的差能被这个数整除,又因为所得的商相差4,也就是903 -715的差除以这个数应该得4,要求这个数,即可用(903-715÷4=47,即所求的数为47.

  答:这个数是47.

  此类题可以归结为:甲乙两个数除以一个相同的数,余数相同,且商相差n(n>1),则这个相同的数为(甲-乙)÷n.


5.2836458251466522四个自然数被一个自然数相除,所得余数相同且为两位数,除数和余数的和为多少?

  解:根据若干个自然数除以同一个自然数所得余数相同,那么它们两两的差定能被这个自然数整除.于是得:

4582-2836=1746

5164-4582=582

6522-5164=1358

  因为(17465821358=194,所以除数是194的大于10的约数.符合条件的只有97194.如果除数=1945164÷194=26……120(此处可以用原题中四个自然数中的任意一个都可,为什么?)余数不是两位数,与题意不符.如果除数是97,经检验,余数都是23,除数+余数=97+23=120.

  答:除数与余数的和是120.


6.有三个不同的三位数,它们分别除以a ,得到的余数相同而且是最大二位偶数,当a为两位数时,这三个数最小的和是多少?

  解:这道题看似很难,但我们不妨换个角度去考虑.我们先从相同的余数入手,因为余数是最大的两位偶数,我们马上意识到余数是98,既然余数为98a只能得99.这样此题便可很轻松的完成.最小的三位数是 1×99+98=197,另外的两个三位数分别为296395.(仔细看这三个数,有什么规律吗?对!相邻的两个数相差99)于是得到此题结果为197+396+395=1188.

  答:三个数的最小和是1188.

  如果给的不是三个三位数而是其它的任意情况,同样可以采取这种方法去解题.


7.将一批货物共375千克装入纸箱,每箱装10千克,最后余多少千克?

  解:此题我们不可能将求出来,然后去除以10,求出余数.但我们可以借助同余的办法来求,我们首先看下面一组说明:

3除以10的余数是3

32除以10的余数是9

33除以10的余数是7

34除以10的余数是1

35除以10的余数是3

36除以10的余数是9

37除以10的余数是7

38除以10的余数是1

……

  这就说明每隔4个数除以10的余数就相同.又因为75÷4=18……3 375除以10的余数与 33除以10所得余数相同,得7.

  答:每箱装10千克最后余下7千克.

 

8.1~500的自然数中,除以1640余数(0除外)相同的数有多少个?

  解:因为1640的最小公倍数是801~500的自然数除以1640相同的余数情况有:1234……15,共15种,也就是在连续的80个数中有15个数符合条件,500个自然中有的个数为:500÷80=6……20,在余下的20个数中有15个余数相同.这证明有715,所以在1~500中除以1640余数相同的数有15×7=105.

  列式:[1640]=80

500÷80=6……20

  (6+1×15=105

  答:在1~500的自然数中,除以1640余数相同的数共有105.

9.希望小学六年级和五年级去春游,每辆车可乘36.六年级先坐满几车,剩下的16人与五年级坐满一车,五年级又坐满若干车.到达目的地后,每一个五年级的学生和每一个六年级学生合影一张,每个胶卷可拍36.全部学生照相完毕,最后一个胶卷还剩几张未拍?

 

  解:解答此题的关键是求出最后一个胶卷归了几张,即以全影张数为被除数,36为除数,求余数.假如将五、六年级合乘一车的16名学生和2036-16=20)人去掉,那么其余五、六年级的学生合影正好可以用掉整数卷胶卷.这样一来我们只考虑五年级那16人与六年级那么20人即可.因为每人都要与不同年级的人合影,所以这16人与20人要合影320(根据乘法原理16×20=320)张.所有人都拍完后的总张数除以36所得的余数与320除以36余数相同,为32,所以最后一个胶卷照了32.于是有36-32=4张,即最后一个胶卷还剩4.

  列式:36-16=20(人)

16×20=320(张)

320÷36=8……32

36- 32 = 4(张)

  答:最后一个胶卷还剩 4.

 

10.甲、乙、丙、丁四个学校分别有69人、85人、93人、97人旅行.现在要把这四校学生分别进行分组,并使每组的人数尽可能多,以便乘车参观游览.已知甲、乙、丙三个学校分组后,所剩的人数相同,问丁校分组后还剩下几个人?

 

  分析:从表面上看,这道题目问的是"剩余"人数,但我们知道"剩余"是因为不能被整除而产生的,所以,解答这道题目的关键是求"每组有几人"(即求除数)

这个除数在何处找呢?其实呀,它远在天边,近在眼前,这个除数就藏在它的"".这是为什么呢?我们可以这样想:既然甲、乙、丙三个学校人数被某数除的余数相同,那么这三个数的两两之差一定能被这个数整除(因为它们相减时,余数恰好相互"抵消"了).

  懂得了以上这个道理之后,再来解答这个问题就不困难了.甲、乙、丙三校人数的差分别是:93-69=24

85-69=16

93-85=8

  不难看出,它们的最大公约数是8.这也正是我们所要寻找的"除数".

  验证如下:

69÷8=8……5(分成8组,剩下5人)

85÷8=10……5(分成10组,剩下5人)

93÷8=11……5(分成11组,乘下5人)

  最后来推算丁校分组情况:

97÷8=12……1

  答:丁校分组后剩下1.

 

[方法归纳]如果若干个自然数除以同一个自然数,余数相同,那么这些自然数两两之差必能被这个自然数整除.

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