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一个曾被遗弃的方法,重燃了证明黎曼假设的新希望?

(2019-05-28 14:38:11)
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杂谈

黎曼假设是数学中最令人费解的问题之一。1859年,德国数学家波恩哈德·黎曼(Bernhard Riemann, 1826-1866)在一篇论文中首次提出了这一假设,其终极目标是想要解开质数之谜。质数的神秘之处就在于,我们无法从根本上理解它们在数轴上的分布,因此我们很难预测每个质数会落在数轴上的什么位置。

一个曾被遗弃的方法,重燃了证明黎曼假设的新希望?

这是一个困难重重而又极具意义的问题,克雷数学研究所(Clay Mathematics Institute)将它列为千禧年大奖的七大难题之一。黎曼假设的核心是黎曼ζ函数。黎曼注意到,质数沿数轴的分布,与黎曼ζ函数中函数值为点密切相关。他意识到,如果黎曼ζ函数满足一定条件,就能揭示出一些质数的秘密,比如可以得出在一个给定数值之下存在多少个质数。

一个曾被遗弃的方法,重燃了证明黎曼假设的新希望?

黎曼泽塔函数有无穷多个函数值为0的点(位于图中颜色的回旋处)。黎曼假设预测,某些0点会位于一条直线上,在这幅图中,这条直线是水平方向的,在这条直线上,彩色条纹与红色相交。图片:Empetrisor/Wikimedia Commons

因此他推测,如果对黎曼ζ函数进行绘图,会看到函数中一些特定的(非平凡的)0点,都会落在一条特定的直线上。多数数学家认为,这个猜想应该是正确的。但是,由于黎曼ζ函数中含有无穷多个0,因此这并非一件容易证明的事。最近,数学家Michael Griffin、Ken Ono、Larry Rolen、Don Zagier通过使用一种本已被“抛弃”的陈旧方法,为证明黎曼假设带来了新的进展。

这种被重新启用的方法可以追溯到数学家约翰·延森(Johan Jensen, 1859-1925)和乔治·波利亚(George Polya, 1887-1985)的工作,他们为了能证实黎曼假设而制定了一个标准。利用黎曼ζ函数,我们可以构造一个无限的数学函数族,也就是所谓的Jensen多项式。Jensen多项式或许能成为解开黎曼假设的关键,它们是种复函数。但是,如果谁可以证明让Jensen多项式为0的值都是实数的话,那么就自动证明了黎曼假设为真。

但问题在于,Jensen多项式有无穷多个。在过去的90多年里,这一研究方向进展缓慢,只有一小部分Jensen多项式被证明是具有实根的。这使得数学家们在众多攻克黎曼假设的策略中,渐渐地淘汰掉了Jensen多项式,认为它是一种太慢、太笨的办法。然而,这次新的突破就是在研究Jensen多项式的表达式时所获得的。几位数学家证明,许多Jensen多项式的确是有实根的,这满足了证明黎曼假设所需的大部分条件。他们将这一成果发表在了5月21日的《美国国家科学院院刊》(PNAS)上。

一个曾被遗弃的方法,重燃了证明黎曼假设的新希望?

在新的论文中,数学家们设计了一个概念性的框架,他们将多项式进行分组,这种方法使他们能够为每组中全部而又是有限多个的多项式进行证明。这种方法具有令人震惊的普适性,它可以被用于看似毫无关联的问题之上。同时,这一结论的证明过程也非常精简,很容易理解。

这一想法的灵感源自于两年前,当时为了庆祝Zagier的生日,Ono为他准备了一个“玩具问题”作为礼物。Zagier将这个礼物描述为“一个关于涉及到欧拉配分函数的多项式的渐近性的可爱问题,是我和Ken(Ono)的一个心头爱,也是几乎所有经典数论学家的心头爱。”

一个曾被遗弃的方法,重燃了证明黎曼假设的新希望?

Ken Ono(左)和Don Zagier(右)图片:Emory University

后来Ono回忆说,他原本认为这个问题很难解决,所以根本不期待Zagier能在这个问题上作出什么进展。但没想到Zagier认为这是一个非常有趣的挑战,很快就想出了一个解决方案。而Ono的直觉让他敏锐的察觉到,这个解决方案可以变成一个更普遍的理论。于是,最终便有了这篇新的论文。

Griffin表示,他们的新的工作是一个有趣的项目,一个非常有创意的过程:“研究阶段的数学往往更像是一门艺术,而非计算。这一点在我们这里是肯定的。它要求我们以一种全新的方式去看待延森和波利亚近100年之久的想法。”许多数学家为此兴奋不已,圣保罗州立大学的数学家Dimitar Dimitrov说:“任何与黎曼假设相关的进展都是令人着迷的。而这是一个任何人都无法取得任何一丝进展的方向,他们却做到了。”

不过,也有一些数学家们对于这一证明能带来的前景持谨慎而保守的态度,他们不确定这一进展最终能带领我们走向黎曼猜想的终点,因此也不敢贸然就此作出任何预测。过去,黎曼假设也曾取得过许多进展,但每一项进展都有其不足之处。而且从近几十年来一些其他的重大数学问题(比如费马大定理)得到解决的经验来看,在这些问题得到真正的解决之前,我们似乎是无法判断解决方案是否近在咫尺了。

一个曾被遗弃的方法,重燃了证明黎曼假设的新希望?

从一定程度上看,新的结果似乎进一步支持了数学家们对黎曼假设的普遍认识,即黎曼假设是正确的,它为黎曼假设的正确性提供了新的证据。如果最终我们可以证明黎曼假设是完全正确的,那么它将不仅仅揭开了质数的谜题,而且还能即刻证实许多以黎曼假设正确为前提的数学思想。

因此,对于新的结果,我们很难不寄予一丝希望,因为哪怕只是离证明黎曼假设前进了一小步,它也让我们离那些非凡的数学奥秘的真实面貌更进了一点点。不过我们必须要强调的是,黎曼猜想或许是世界上最困难的问题了,因此即便这次数学家们取得了一些进展,也并不意味着它能带来最终的解决方案。毕竟,我们离拥有一个能完整地证明黎曼猜想的证据还非常遥远。

博科园|文:佐佑

转自:原理/principia1687

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