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立体几何的逻辑体系-直线与平面的垂直关系

(2019-07-18 22:39:08)
标签:

公理化精神

逻辑闭环推理结构

逻辑体系

直线垂直于平面

未解难题

分类: 初等数学
立体几何的逻辑体系-直线与平面的垂直关系
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不管是在二维平面几何中,还是在三维立体世界里,“平行”与“垂直”一直是我们关注和研究的两种特殊位置关系.前面已系统讲解空间中的平行关系,希望读者能从整体上把握并深刻理解“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”三者之间相互联系、相互转化的逻辑闭环推理结构.西安铁一中赵钊老师看过平行的讲义后说:“线线是基石,线面是桥梁,面面是彼岸;从低维到高维,这是判定;从高维到低维,这是性质”.赵老师的观点很是形象、凝练.

平行关系的梳理暂且告一段落,从这一讲转入空间中垂直关系的研究,包括直线与平面的垂直关系、平面与平面的垂直关系.与“平行”的研究类似,“垂直”也是从“定义”、“判定定理”、“性质定理”三个层面加以阐述.下面我们就开始吧!

在数学家眼里,很多事物里包含着数学.“大漠孤烟直,长河落日圆”,画家也许据此创作一幅寥廓苍凉的塞外黄昏景象,但数学家看来,说不定会想起一根垂直于平面的直线,一个切于直线的圆呢!

——《数学家的眼光》(张景中,中国少年儿童出版社,2007

在日常生活中,我们对直线与平面垂直有很多感性认知,比如,旗杆与地面的位置关系,大桥的桥柱与水面的位置关系等,都给我们以直线与平面垂直的形象.那到底什么是一条直线与一个平面垂直?该如何下定义呢?

思考:如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线是否与这个平面垂直?

:定义中“任意一条直线”与“所有直线”同义,但与“无数条直线”不同,请读者自己体会并举出反例.定义的实质就是直线与平面内的所有直线都垂直.

直线与平面垂直的定义严谨地刻画了什么叫一条直线与一个平面垂直.表面上看,定义似乎是一个单向推理,其实反方向的推理也是正确的,因为定义具有唯一指向性.也就是说,从直线与平面垂直的定义我们可以得到这样一条确切的论断——若一条直线垂直于一个平面,则该直线垂直于此平面内的任一条直线.因此直线与平面垂直的定义不仅是直线与平面垂直的判定方法(理论上),也是证明直线与直线垂直的重要且常用的方法,这给判定两条直线垂直带来了方便.

直线与平面垂直的判定定理是由直线与直线垂直得到直线与平面垂直,结合直线与平面垂直的定义,我们立马可得新的直线与直线垂直.由“有限”把握“无限”,再由“无限”推及“有限”,这体现了“直线与直线垂直”与“直线与平面垂直”互相转化的数学思想.

注:图中的三棱锥P-ABC很特殊——它的每一个面都是直角三角形,这样的三棱锥在中国古代有自己的名字——鳖臑

《必修2》中没有三垂线定理及其逆定理,但笔者以为,只要是逻辑正确的推理,跳步不是很大,都是可以接受的难道只是因为书上没有以黑体字的形式出现就不对了?这些定理都应在立体几何的逻辑体系之内.从考试的角度讲,可以不让学生直接使用(应试的束缚嘛);从研究的角度讲,当然是“朋友多了路好走”,而且是“近道越多越好走”;从优化逻辑推理体系的角度讲,我们要提倡“近道”,甚至要创造更多的“近道”.

判定两条直线平行的方法很多,直线与平面垂直的性质定理告诉我们,可以由两条直线与同一个平面垂直判定两条直线平行.直线与平面垂直的性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系.


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