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立体几何的逻辑体系-四公理、三推论

(2019-05-18 21:49:04)
标签:

四公理三推论

逻辑体系

公理化精神

交线问题

正方体截面问题

分类: 初等数学
立体几何的逻辑体系-四公理、三推论
立体几何的逻辑体系-四公理、三推论
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立体几何的逻辑体系-四公理、三推论


几何学是一座美丽的城市,要方便地游览城市的各个景点,就需要好的市内交通系统、交通工具.这交通系统和交通工具,也就是几何学的展开结构和解题方法.但要从外部到达这个城市,则往往要经由城市的大门、车站、机场.几何学的公理系统,好比是城市的大门、机场、车站.

——《几何新方法和新体系》(张景中,科学出版社,2009

公理1

文字语言:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.

公理2

文字语言:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.

公理2有三个“著名”的推论,它们提供了确定平面的其他方式和依据.

推论1:过一条直线及直线外一点,有且只有一个平面.

推论2:过两条相交直线,有且只有一个平面.

推论3:过两条平行直线,有且只有一个平面.

注:以上证明开门见山地默认了两条平行直线是共面的,这是什么道理呢?下一节中,我们会讲空间中直线与直线的位置关系有且只有三种:(1)平行;(2)相交;(3)异面.其中,(1)(2)皆为共面直线,与(3)对立.如果有人问:为什么只有这三种呀?还有没有其他的?你说只有这三种,能不能证明给我看?这样的问题笔者无法回答,或许会有其他的位置关系,但显然已超出高中的讨论范围.笔者认为,空间中的位置关系是人们根据常识总结归纳并按逻辑原理划分出来的,无需证明.

公理3

文字语言:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

公理4

文字语言:平行于同一条直线的两条直线互相平行.



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